Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Trần Phú (Hoàn Kiếm-Hà Nội) có đáp án

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 5m - 1\) có hệ số \(a =  - 1\), \(b =  - \left( {m + 2} \right)\), \(c = 5m - 1\).

Để \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), điều kiện là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0}\\{{\rm{\Delta }} < 0}\end{array}} \right.\).

Vì \(a =  - 1 < 0\) (luôn đúng), ta xét điều kiện biệt thức \({\rm{\Delta }} < 0\):

\({\rm{\Delta }} = {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( {5m - 1} \right) = {m^2} + 4m + 4 + 20m - 4 = {m^2} + 24m\).

\({\rm{\Delta }} < 0 \Leftrightarrow {m^2} + 24m < 0 \Leftrightarrow  - 24 < m < 0\).

Chọn C.

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ:

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \cdot AC \cdot \cos \left( {\angle BAC} \right)\)\( = 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ  = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20\).

Chọn D.

Hàm số xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 \ge 0\\{x^2} - 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ne  \pm 3\end{array} \right.\).

Vì \(x \ge 2\) nên điều kiện \(x \ne  - 3\) luôn luôn thỏa mãn. Do đó \(x \in \left[ {2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\).

Chọn D.

Trong hình bình hành \(ABCD\), hai đoạn thẳng \(CD\) và \(BA\) song song và bằng nhau, đồng thời hướng từ \(C\) đến \(D\) trùng với hướng từ \(B\) đến \(A\). Do đó, \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \).

Chọn B.

Quan sát bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) < 0\) (mang dấu âm) khi \(x\) nằm trong khoảng \(\left( {1;2} \right)\).

Chọn A.

Vì \(\vec a = k\vec b\) với \(k =  - 3 < 0\), nên \(\vec a\) và \(\vec b\) ngược hướng.

Độ dài của \(\vec a\) là: \(\left| {\vec a} \right| = \left| { - 3} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| = 3\left| {\vec b} \right|\).

Chọn D.

Tọa độ đỉnh \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right)\) của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) được xác định theo công thức:

\({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{3}\)

\({y_I} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2 \cdot \left( {\frac{1}{3}} \right) + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3}\)

Tọa độ đỉnh là \(I\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Chọn B.

Điều kiện để các biểu thức dưới căn xác định: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2x - 1 \ge 0}\\{ - {x^2} + 2x - 1 \ge 0}\end{array}} \right.\).

Xét bất phương trình \( - {x^2} + 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow  - {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Thử \(x = 1\) vào biểu thức \({x^2} - 2x - 1\) ta được \({1^2} - 2 \cdot 1 - 1 =  - 2 < 0\quad \left( {{\rm{kh\^o ng\;th/m\~a n}}} \right)\)

Do không có giá trị \(x\) nào thỏa mãn điều kiện xác định đồng thời, phương trình đã cho có \(0\) nghiệm.

Chọn C.

Xét tam giác \(ABD\) có \(AB = AD = a\) nên tam giác \(ABD\) cân tại \(A\).

Lại có \(\angle BAD = 60^\circ \) nên tam giác \(ABD\) là tam giác đều.

Do đó \(BD = a \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = a\).

Chọn B.

Giải phương trình \( - {x^2} - 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x =  - 5\).

Hệ số \(a =  - 1 < 0\).

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai, \(f\left( x \right) \ge 0\) khi \(x\) nằm trong đoạn giữa hai nghiệm:

\( - 5 \le x \le 1 \Rightarrow x \in \left[ { - 5;1} \right]\).

Chọn A.

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3\) có: \({\rm{\Delta '}} = {\left( { - 1} \right)^2} - 1 \cdot 3 =  - 2 < 0\).

Hệ số \(a = 1 > 0\).

Vì \[{\rm{\Delta '}} < 0\] và \(a > 0\) nên \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\).

Chọn C.

Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Do \(\left( {3;5} \right) \subset \left( {3; + \infty } \right)\) nên hàm số cũng đồng biến trên khoảng \(\left( {3;5} \right)\).

Chọn A.

a) SAI: Giao của \(\left( P \right)\) với trục \(Oy\) ứng với \(x = 0 \Rightarrow y = 3\). Tung độ giao điểm bằng 3.

b) ĐÚNG: Tọa độ đỉnh \(I\) của \(\left( P \right)\): \({x_I} =  - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2 \Rightarrow {y_I} = {2^2} - 4 \cdot 2 + 3 =  - 1 \Rightarrow I\left( {2; - 1} \right)\).

Giao của \(\left( P \right)\) với \(Ox\) (\(y = 0\)): \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).

Tọa độ \(A\left( {1;0} \right)\) và \(B\left( {3;0} \right) \Rightarrow AB = \left| {3 - 1} \right| = 2\).

Chiều cao hạ từ đỉnh \(I\left( {2; - 1} \right)\) đến \(Ox\) là \(h = \left| {{y_I}} \right| = 1\).

Diện tích tam giác \(IAB\): \({S_{{\rm{\Delta }}IAB}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1\).

c) ĐÚNG: Trục đối xứng của parabol là đường thẳng \(x = {x_I} = 2\).

d) ĐÚNG: Tọa độ đỉnh là \(I\left( {2; - 1} \right)\).

a) SAI: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a\).

b) SAI: Ta có \(\overrightarrow {BG}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CG} \).

Trong tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), độ dài đường trung tuyến là \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm là: \(CG = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BG}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

c) ĐÚNG: Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 2 \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

d) ĐÚNG: Áp dụng quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CB} \).

Gọi độ cao của máng nước (chiều rộng đoạn gấp hai bên) là \(x{\rm{\;(cm)}}\), với \(x > 0\).

Chiều rộng đáy của máng nước là \(32 - 2x{\rm{\;(cm)}}\), điều kiện \(32 - 2x > 0 \Rightarrow x < 16\).

Diện tích mặt cắt ngang hình chữ nhật của máng nước là:

\(S\left( x \right) = x\left( {32 - 2x} \right) =  - 2{x^2} + 32x\quad \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Theo bài ra, diện tích mặt cắt ngang phải đạt tối thiểu \(120{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\):

\( - 2{x^2} + 32x \ge 120 \Leftrightarrow 2{x^2} - 32x + 120 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} - 16x + 60 \le 0\).

Giải bất phương trình: \(\left( {x - 6} \right)\left( {x - 10} \right) \le 0 \Leftrightarrow 6 \le x \le 10\).

Vậy máng dẫn nước phải có độ cao ít nhất là \(6{\rm{\;cm}}\).

Đáp số: 6.

Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:

\(g\left( x \right) = m{x^2} - 2mx + 5m + 2 \ge 0,\quad \forall x \in \mathbb{R}\)

TH1: Với \(m = 0\) thì \(g\left( x \right) = 2 \ge 0,\quad \forall x \in \mathbb{R}\quad \left( {{\rm{th/m\~a n}}} \right)\)

TH2: Với \(m \ne 0\) thì \(g\left( x \right)\) là tam thức bậc hai. Để \(g\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\), điều kiện là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 0}\\{{\rm{\Delta '}} \le 0}\end{array}} \right.\).

Ta có \({\rm{\Delta '}} = {\left( { - m} \right)^2} - m\left( {5m + 2} \right) = {m^2} - 5{m^2} - 2m =  - 4{m^2} - 2m =  - 2m\left( {2m + 1} \right)\).

Vì \(m > 0\) nên \( - 2m < 0\) và \(2m + 1 > 0 \Rightarrow {\rm{\Delta '}} =  - 2m\left( {2m + 1} \right) < 0 \le 0\) (luôn đúng).

Do đó \(m > 0\) thỏa mãn.

Kết hợp cả hai trường hợp ta được \(m \ge 0\).

Do \(m\) nguyên và \(m \le 2025\), các giá trị thỏa mãn là \(m \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;2025} \right\}\).

Số giá trị nguyên là \(2025 - 0 + 1 = 2026\).

Đáp số: 2026.

Hàm số tốc độ truyền bệnh \(f\left( t \right) =  - 3{t^2} + 90t + 10\) là một hàm số bậc hai với \(a =  - 3 < 0\).

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại hoành độ đỉnh của parabol: \(t =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{90}}{{2 \cdot \left( { - 3} \right)}} = 15\).

Vậy tốc độ truyền bệnh đạt giá trị lớn nhất vào ngày thứ 15.

Đáp số: 15.

Vì \(M\) nằm trên đoạn \(BC\) và \(MB = 2MC\), hai vectơ \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng nhau, suy ra:

\(\overrightarrow {MB}  =  - 2\overrightarrow {MC}  \Rightarrow \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \vec 0\).

Biến đổi qua điểm đầu \(A\):

\(\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AM} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AM} } \right) = \vec 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC}  - 3\overrightarrow {AM}  = \vec 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).

Suy ra \(m = \frac{1}{3}\) và \(n = \frac{2}{3}\).

Tổng \(m + n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\).

Đáp số: 1.

Hàm số \(y = \frac{{3x + 4}}{{\sqrt {x - 1} }}\) xác định khi và chỉ khi biểu thức trong căn dưới mẫu thức dương:

\(x - 1 > 0\,{\rm{hay}}\,x > 1\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có: \( - 36{x^2} + 12x - 1 =  - \left( {36{x^2} - 12x + 1} \right) =  - {\left( {6x - 1} \right)^2}\).

Vì \({\left( {6x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \( - {\left( {6x - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Do đó bất phương trình chỉ thỏa mãn khi dấu bằng xảy ra: \( - {\left( {6x - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{6}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ {\frac{1}{6}} \right\}\).

Cách 1: Sử dụng tích vô hướng vectơ

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AD}  = k\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} \).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0\).

Để \(AC \bot DM\), điều kiện cần và đủ là:

\(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DM}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow k{\overrightarrow {AB} ^2} - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + k\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AB}  - {\overrightarrow {AD} ^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow k \cdot A{B^2} - A{D^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow k \cdot {3^2} - {4^2} = 0 \Leftrightarrow 9k - 16 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{16}}{9}\).

Cách 2: Sử dụng hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc \(A\left( {0;0} \right)\), tia \(Ax\) chứa \(B\), tia \(Ay\) chứa \(D\).

Tọa độ các đỉnh là \(A\left( {0;0} \right)\), \(B\left( {3;0} \right)\), \(D\left( {0;4} \right)\), \(C\left( {3;4} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AB}  = \left( {3k;0} \right) \Rightarrow M\left( {3k;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {DM}  = \left( {3k; - 4} \right)\).

\(AC \bot DM \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DM}  = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot \left( {3k} \right) + 4 \cdot \left( { - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 9k - 16 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{16}}{9}\).

Vậy \(k = \frac{{16}}{9}\).

Điều kiện: \(3x + 2 \ge 0\), tức là \(x \ge  - \frac{2}{3}\).

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được \(3{x^2} - 4x + 4 = {\left( {3x + 2} \right)^2}\).

Biến đổi và rút gọn phương trình trên ta được \(6{x^2} + 16x = 0\).

Giải phương trình ta được \(x = 0\) hoặc \(x =  - \frac{8}{3}\).

Thử điều kiện \(x \ge  - \frac{2}{3}\):

\(x = 0\) thỏa mãn điều kiện.

\(x =  - \frac{8}{3} <  - \frac{2}{3}\) (loại).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 0\).

Do vật đứng yên tại \(M\), tổng hợp lực tác dụng lên vật bằng vectơ \(\vec 0\):

\(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}}  =  - \left( {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\).

Cường độ lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) là: \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right|\).

Ta có: \({\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{F_1}}  \cdot \overrightarrow {{F_2}} \)\( = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\angle AMB} \right)\).

Thay \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 100{\rm{\;N}}\), \(\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 100{\rm{\;N}}\) và \(\angle AMB = 60^\circ \):

\({\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} = {100^2} + {100^2} + 2 \cdot 100 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ \)\( = 10000 + 10000 + 20000 \cdot \frac{1}{2} = 30000\).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \sqrt {30000}  = 100\sqrt 3 {\rm{\;N}}\).

Vậy cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) là \(100\sqrt 3 {\rm{\;N}}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với:

Trục \(Ox\) trùng với mặt đất.

Gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) là trung điểm của khoảng cách giữa hai chân cổng.

Trục đối xứng \(Oy\) đi qua đỉnh của cổng parabol.

Khi đó:

Khoảng cách giữa hai chân cổng là \(8{\rm{\;m}}\) nên tọa độ hai chân cổng là \(A\left( { - 4;0} \right)\) và \(B\left( {4;0} \right)\).

Phương trình parabol \(\left( P \right)\) có dạng: \(y = a{x^2} + c\) (với \(a < 0\), \(c\) là chiều cao đỉnh cổng).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua chân cổng \(B\left( {4;0} \right)\) nên \(a \cdot {4^2} + c = 0 \Rightarrow 16a + c = 0 \Rightarrow c =  - 16a\).

Một điểm \(C\) trên mặt đất cách chân cổng \(A\left( { - 4;0} \right)\) một khoảng \(0,5{\rm{\;m}}\) có hoành độ là:

\({x_C} =  - \left( {4 - 0,5} \right) =  - 3,5\).

Do đó điểm \(D\left( { - 3,5;2,93} \right) \in \left( P \right)\) nên \(a \cdot {\left( { - 3,5} \right)^2} + c = 2,93 \Rightarrow 12,25a + c = 2,93\).

Thay \(c =  - 16a\) vào phương trình trên:

\(12,25a - 16a = 2,93 \Rightarrow  - 3,75a = 2,93 \Rightarrow a =  - \frac{{2,93}}{{3,75}} =  - \frac{{293}}{{375}}\).

Từ đó tính chiều cao \(c\) của cổng: \(c =  - 16 \cdot \left( { - \frac{{293}}{{375}}} \right) = \frac{{4688}}{{375}} \approx 12,5013{\rm{\;m}}\).

Làm tròn kết quả đến hàng phần chục, chiều cao của cổng parabol xấp xỉ \(12,5{\rm{\;m}}\).