Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 3456

Mệnh đề A sai (Ví dụ: \(9 \vdots 9\) nhưng.

Mệnh đề B đúng vì số nguyên tố chẵn duy nhất là \(2\), các số nguyên tố lớn hơn \(2\) đều là số lẻ.

Mệnh đề C sai (Ví dụ: \( - 3 < 1\) nhưng \({\left( { - 3} \right)^2} = 9 > {1^2} = 1\)).

Mệnh đề D sai (Hình chữ nhật chỉ có hai đường chéo bằng nhau, không vuông góc trừ trường hợp là hình vuông).

Chọn đáp án B.

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) và \( - 2 < x \le 3\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Số phần tử của tập hợp \(A\) là \(5\).

Chọn đáp án B.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) có dạng tổng quát là \(ax + by < c\) (hoặc \( > \), \( \le \), \( \ge \)), trong đó \(a,b\) không đồng thời bằng \(0\).

Do đó, \(5x - y < 0\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. (Phương án B là phương trình, phương án A chứa \({x^2}\), phương án C chứa \(xy\)).

Chọn đáp án D.

Thay tọa độ điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) vào hệ bất phương trình: .

Do đó điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ.

Chọn đáp án B.

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\), ta có: \({\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\).

Vì \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \) (góc tù) nên \(\cos \alpha  < 0\).

Suy ra: \(\cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{8}{9}}  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Chọn đáp án B.

Trong hình vuông \(ABCD\), hai cạnh \(AB\) và \(DC\) song song và bằng nhau, cùng hướng từ trái sang phải nếu liệt kê đỉnh theo thứ tự, do đó \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \). Suy ra \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {DC}  = \vec 0\).

Chọn đáp án B.

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) ngược hướng và có cùng độ dài, tức là \(\overrightarrow {MA}  =  - \overrightarrow {MB} \).

Độ dài \(MA = MB = \frac{{AB}}{2}\), tức là \(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}{2}\).

Chọn đáp án D.

Giả sử \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - 1;{y_B} - 4} \right)\).

Theo đề bài \(\overrightarrow {AB}  = \vec u = \left( {3; - 1} \right)\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} - 1 = 3\\{y_B} - 4 =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} = 3\end{array} \right.\).

Vậy \(B\left( {4;3} \right)\).

Chọn đáp án A.

Kết quả đo đạc được viết dưới dạng \(a \pm d\). do đó độ chính xác của phép đo là \(d = 0,5{\rm{\;m}}\).

Chọn đáp án A.

Giá trị lớn nhất \({x_{{\rm{max}}}} = 20\), giá trị nhỏ nhất \({x_{{\rm{min}}}} = 8\).

Khoảng biến thiên \(R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 20 - 8 = 12\).

Chọn đáp án A.

Hợp của hai tập hợp \(A\) và \(B\) chứa tất cả các phần tử thuộc \(A\) hoặc thuộc \(B\):

\(A \cup B = \left( { - \infty ;4\left]  \cup  \right[1;6} \right) = \left( { - \infty ;6} \right)\).\

Chọn đáp án B.

Mẫu số liệu gồm \(n = 8\) giá trị đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần: \(2,2,4,5,7,8,9,10\).

Nửa dưới của mẫu số liệu bao gồm 4 giá trị đầu tiên: \(2,2,4,5\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là trung vị của nửa dưới này: \({Q_1} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3\).

Chọn đáp án B.

a) ĐÚNG. Thời gian chờ lâu nhất là \(25\) phút \( < 30\) phút.

b) SAI. Số trung bình \(\bar x = \frac{{1 + 4 + 5 + 6 + 6 + 8 + 10 + 11 + 12 + 25}}{{10}} = \frac{{88}}{{10}} = 8,8 \ne 8\).

c) SAI. Cỡ mẫu \(n = 10\). Trung vị \({Q_2} = \frac{{6 + 8}}{2} = 7\).

Nửa dưới: \(1,4,5,6,6 \Rightarrow {Q_1} = 5\).

Nửa trên: \(8,10,11,12,25 \Rightarrow {Q_3} = 11\).

Khoảng tứ phân vị \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 11 - 5 = 6\).

d) ĐÚNG.

\({s^2} = \frac{1}{{10}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^{10} {\left( {{x_i} - 8,8} \right)^2}\)

    \(\begin{array}{l} = \frac{1}{{10}}\left[ {{{\left( {1 - 8,8} \right)}^2} + {{\left( {4 - 8,8} \right)}^2} + {{\left( {5 - 8,8} \right)}^2} + 2{{\left( {6 - 8,8} \right)}^2} + {{\left( {8 - 8,8} \right)}^2} + {{\left( {10 - 8,8} \right)}^2}} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left. { + {{\left( {11 - 8,8} \right)}^2} + {{\left( {12 - 8,8} \right)}^2} + {{\left( {25 - 8,8} \right)}^2}} \right] = 39,36.\end{array}\)

a) SAI. \(D,F\) lần lượt là trung điểm \(AB,BC \Rightarrow DF\) là đường trung bình của \({\rm{\Delta }}ABC \Rightarrow \overrightarrow {DF}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \). Do đó \(\overrightarrow {DF} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.

b) ĐÚNG.Ta có \(DF = \frac{1}{2}AC = AE\) và \(DF{\rm{//}}AE \Rightarrow ADFE\) là hình bình hành. Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DF}  = \overrightarrow {DE} \).

c) SAI. Vì \(\overrightarrow {DF} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {AC} \) và có độ dài bằng \(\frac{1}{2}AC\) nên \(\overrightarrow {DF}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

d) ĐÚNG. Tam giác \(ABC\) đều nên đường trung tuyến \(BE\) đồng thời là đường cao \( \Rightarrow BE \bot AC.\) Mà \(DF{\rm{//}}AC \Rightarrow BE \bot DF \Rightarrow \overrightarrow {DF}  \cdot \overrightarrow {BE}  = 0\).

Vì vật đứng yên nên tổng hợp lực tác dụng lên \(M\) bằng \(\vec 0\): \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}}  =  - \left( {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\).

Suy ra cường độ \(a = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right|\).

Ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right|{^2} = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|{^2} + \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|{^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\cos \left( {\widehat {AMB}} \right)\)

Suy ra \({a^2} = {\left( {20\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {20\sqrt 3 } \right)^2} + 2 \cdot \left( {20\sqrt 3 } \right) \cdot \left( {20\sqrt 3 } \right) \cdot \cos 60^\circ \)

Suy ra \({a^2} = 1200 + 1200 + 2 \cdot 1200 \cdot \frac{1}{2} = 3600 \Rightarrow a = 60{\rm{\;N}}\).

Đáp số: \(60\).

Vì \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \({x^2} + 1 \ge 1 > 0\).

Do đó: \(\left| {{x^2} + 1} \right| \le 2 \Leftrightarrow {x^2} + 1 \le 2 \Leftrightarrow {x^2} \le 1 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 1\).

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Tập hợp \(B\) có \(3\) phần tử.

Đáp số: \(3\).

Ta có các giá trị lượng giác đặc biệt:

\(\sin 30^\circ  = \frac{1}{2},\quad \cos 30^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\quad \sin 60^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\quad \cot 30^\circ  = \sqrt 3 \).

Thay vào biểu thức \(B\):

\(B = \frac{{2 \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}}{{1 - 2 \cdot {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + 4 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt 3 \)\( = \frac{{2 \cdot \frac{1}{4}}}{{1 - 2 \cdot \frac{3}{4}}} + 2\sqrt 3  - \sqrt 3  = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 - \frac{3}{2}}} + \sqrt 3  = \frac{{\frac{1}{2}}}{{ - \frac{1}{2}}} + \sqrt 3  =  - 1 + \sqrt 3  \approx 0,73\).

Đáp số: \(0,73\).

Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

Ta có:

\(\overrightarrow {AH}  = \left( {x + 4;y - 1} \right),\quad \overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 6} \right)\)

\(\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 2;y - 4} \right),\quad \overrightarrow {AC}  = \left( {6; - 3} \right)\)

Vì \(H\) là trực tâm nên \(AH \bot BC\) và \(BH \bot AC\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6\left( {y - 1} \right) = 0}\\{6x - 12 - 3y + 12 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{6x - 3 \cdot 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{y = 1}\end{array}} \right.\].

Tọa độ trực tâm là \(H\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).

Tính \(x + y = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = 1,5\).

Đáp số: \(1,5\).

Vẽ các đường thẳng ranh giới trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\):

Trục \(Ox:y = 0\) và trục \(Oy:x = 0\).

Đường thẳng \({d_1}:x + y = 6\) đi qua \(\left( {0;6} \right)\) và \(\left( {6;0} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:3x + y = 9\) đi qua \(\left( {0;9} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\).

Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình:

\(x \ge 0\): Nửa mặt phẳng bên phải trục \(Oy\).

\(y \ge 0\): Nửa mặt phẳng bên trên trục \(Ox\).

\(x + y \le 6\): Thử điểm \(O\left( {0;0} \right)\), ta có \(0 + 0 = 0 \le 6\) (đúng), miền nghiệm chứa gốc tọa độ \(O\).

\(3x + y \le 9\): Thử điểm \(O\left( {0;0} \right)\), ta có \(3 \cdot 0 + 0 = 0 \le 9\) (đúng), miền nghiệm chứa gốc tọa độ \(O\).

Miền nghiệm của hệ:

Miền nghiệm của hệ là tứ giác \(OABC\) (bao gồm cả các cạnh), với tọa độ các đỉnh:

\(O\left( {0;0} \right)\)

\(A\left( {3;0} \right)\) (giao điểm của \({d_2}\) với \(Ox\))

\(B\left( {1,5;4,5} \right)\) (nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 6}\\{3x + y = 9}\end{array}} \right.\))

\(C\left( {0;6} \right)\) (giao điểm của \({d_1}\) với \(Oy\)).

Gọi \(x,y\) (đơn vị: kg) lần lượt là khối lượng sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất (điều kiện \(x \ge 0,y \ge 0\)).

Số nguyên liệu sử dụng: \(2x + 4y{\rm{\;(kg)}}\).

Số giờ làm việc sử dụng: \(30x + 15y\) (giờ).

Theo bài ra, ta có hệ bất phương trình ràng buộc: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{2x + 4y \le 200}\\{30x + 15y \le 1200}\end{array}} \right.\) hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + 2y \le 100}\\{2x + y \le 80}\end{array}} \right.\].

Số tiền lời thu được là: \(F\left( {x;y} \right) = 40x + 30y\) (nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác \(OABC\) kể cả biên với các đỉnh:

\(O\left( {0;0} \right)\)

\(A\left( {40;0} \right)\) (giao điểm của \(2x + y = 80\) với trục \(Ox\))

\(B\left( {20;40} \right)\) (giao điểm của hai đường thẳng \(x + 2y = 100\) và \(2x + y = 80\))

\(C\left( {0;50} \right)\) (giao điểm của \(x + 2y = 100\) với trục \(Oy\))

Tính giá trị của \(F\left( {x;y} \right)\) tại các đỉnh:

\(F\left( O \right) = F\left( {0;0} \right) = 0\)

\(F\left( A \right) = F\left( {40;0} \right) = 40 \cdot 40 + 30 \cdot 0 = 1600\)

\(F\left( B \right) = F\left( {20;40} \right) = 40 \cdot 20 + 30 \cdot 40 = 800 + 1200 = 2000\)

\(F\left( C \right) = F\left( {0;50} \right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 50 = 1500\)

So sánh các giá trị, \(F\left( {x;y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(2000\) nghìn đồng tại \(x = 20\) và \(y = 40\).

Kết luận: Xưởng nên sản xuất \(20{\rm{\;kg}}\) sản phẩm loại I và \(40{\rm{\;kg}}\) sản phẩm loại II để thu được lợi nhuận cao nhất.

Thời gian đi đoạn đường bằng \(AC\): \({t_{AC}} = \frac{{AC}}{{{v_1}}} = \frac{{10}}{{100}} = 0,1\) (giờ).

Tính độ dài hai đoạn dốc \(CD\) và \(DB\):

Trong tam giác \(BCD\), ta có: \(\widehat {BDC} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {DCB} + \widehat {DBC}} \right) = 180^\circ  - \left( {45^\circ  + 30^\circ } \right) = 105^\circ \).

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(BCD\): \(\frac{{CD}}{{\sin \left( {\widehat {DBC}} \right)}} = \frac{{DB}}{{\sin \left( {\widehat {DCB}} \right)}} = \frac{{BC}}{{\sin \left( {\widehat {BDC}} \right)}}\).

Suy ra \(CD = BC \cdot \frac{{\sin 30^\circ }}{{\sin 105^\circ }} = 20 \cdot \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{40}}{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }} = 10\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right){\rm{\;(km)}}\);

\(DB = BC \cdot \frac{{\sin 45^\circ }}{{\sin 105^\circ }} = 20 \cdot \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{40\sqrt 2 }}{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }} = 20\left( {\sqrt 3  - 1} \right){\rm{\;(km)}}\).

Thời gian leo dốc \(CD\): \({t_{CD}} = \frac{{CD}}{{{v_2}}} = \frac{{10\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right)}}{{10}} = \sqrt 6  - \sqrt 2 \) (giờ).

Thời gian xuống dốc \(DB\): \({t_{DB}} = \frac{{DB}}{{{v_3}}} = \frac{{20\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{50}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{5}\) (giờ).

Tổng thời gian hoàn thành chặng đường từ \(A\) đến \(B\):

\(t = {t_{AC}} + {t_{CD}} + {t_{DB}} = 0,1 + \left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right) + \frac{{2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{5} \approx 1,428\) (giờ).

Kết luận: Vận động viên mất khoảng \(1,428\) giờ (khoảng \(1\) giờ \(25{\rm{\;ph\'u t\;}}\,\,41{\rm{\;gi\^a y}}\)) để hoàn thành chặng đường.