Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Vạn Xuân (Hoài Đức-Hà Nội) có đáp án

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 180^\circ  - \widehat {ABC} = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \).

Tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a \cdot a \cdot \cos 120^\circ  = {a^2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{{{a^2}}}{2}\).

Chọn B.

Theo quy tắc hình bình hành áp dụng cho hình vuông \(ABCD\) ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

Độ dài vectơ tổng: \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \left|  =  \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 2 \).

Chọn A.

Vì \(k =  - 3 < 0\), nên vectơ \( - 3\vec a\) ngược hướng với vectơ \(\vec a\) và có độ dài bằng \(\left| { - 3\left|  \cdot  \right|\vec a\left| { = 3} \right|\vec a} \right|\).

Chọn B.

Xác định các thông số của Parabol \(\left( P \right)\) từ đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ \(x = 1\) và \(x = 5\).

Đỉnh của Parabol là \(I\left( {3; - 4} \right)\).

Đồ thị cắt trục tung tại \(\left( {0;5} \right) \Rightarrow c = 5\).

Phương trình Parabol có dạng: \(f\left( x \right) = a\left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) = a\left( {{x^2} - 6x + 5} \right)\).

Vì \(c = 5 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} - 6x + 5\).

Do đó \(a = 1,b =  - 6,c = 5\).

Xét từng phát biểu:

a) Đúng. Phần đồ thị \(f\left( x \right) < 0\) nằm phía dưới trục hoành ứng với \(x \in \left( {1;5} \right)\).

b) Sai. Đỉnh của Parabol là \(I\left( {3; - 4} \right)\), không phải \(I\left( { - 4;3} \right)\).

c) Sai. \({a^2} + {b^2} + {c^2} = {1^2} + {\left( { - 6} \right)^2} + {5^2} = 1 + 36 + 25 = 62 \ne 60\).

d) Đúng. Đỉnh có hoành độ \(x = 3\) và bề lõm hướng lên trên nên hàm số đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right)\).

b) Đúng. Điểm \(M\) thuộc đoạn \(AD\) nên \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MD} \) là hai vectơ ngược hướng. Mặt khác \(MA = 3MD\), nên \(\overrightarrow {MA}  =  - 3\overrightarrow {MD} \).

c) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

d) Sai. Vì \(I\) là trung điểm của \(MN\) nên theo quy tắc trung điểm với điểm \(D\) bất kỳ:

\(\overrightarrow {DI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {DN} } \right)\).

a) Đúng. Với \(x = \frac{1}{4}\) thì \(\overrightarrow {DK}  = x\overrightarrow {DC}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {DC}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \).

Ta có \(\overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DK}  = \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) - \frac{3}{4}\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \).

 \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0\) và \[AB = AD\]

Khi đó \(\overrightarrow {AK}  \cdot \overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0\).

Suy ra \(\overrightarrow {AK}  \bot \overrightarrow {MN} \), tức là \(AK \bot MN\).

Vì \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \) (góc tù) nên \(\cos \alpha  < 0\).

Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\), suy ra

\(\cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  =  - \sqrt {\frac{8}{9}}  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Thay vào biểu thức \(A\): \(A = 3\sqrt 2  \cdot \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) =  - 4\).

Đáp số: \( - 4\).

Chiều rộng mảnh đất là \(x\) (\(x > 0\)).

Chiều dài mảnh đất là \(x + 10\).

Diện tích mảnh đất là \(S = x\left( {x + 10} \right)\).

Theo bài ra, diện tích không nhỏ hơn \(200{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\):

\(x\left( {x + 10} \right) \ge 200 \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 200 \ge 0\)

Giải bất phương trình: \[{x^2} + 10x - 200 \ge 0 \Rightarrow x \ge 10\] hoặc \(x \le  - 20\).

Do \(x > 0 \Rightarrow x \ge 10\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(x\) bằng \(10\).

Đáp số: \(10\).

Tập hợp \(A\backslash B\) gồm các phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(B\) nên \(A\backslash B = \left\{ {4;5} \right\}\).

Số phần tử của \(A\backslash B\) là \(2\).

Đáp số: \(2\).

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\):

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Đỉnh \(I\left( {2; - 1} \right)\).

Trục đối xứng: Đường thẳng \(x = 2\).

Bề lõm quay lên trên do \(a = 1 > 0\).

Các điểm đặc biệt thuộc đồ thị:

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow \left( {0;3} \right)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3 \Rightarrow \left( {1;0} \right),\left( {3;0} \right)\).

Lấy điểm đối xứng với \(\left( {0;3} \right)\) qua \(x = 2\) ta được \(\left( {4;3} \right)\).

b) Bình phương cả hai vế của phương trình đã cho ta được \(2x - 1 = {\left( {x - 2} \right)^2}\).

Khai triển và biến đổi ta được \({x^2} - 6x + 5 = 0\).

Giải phương trình bậc hai trên ta được \(x = 1\) hoặc \(x = 5\).

Thử lại vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x = 5\) thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 5 \right\}\).

a) Ta có \(\vec u = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Pythagore:

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}}  = \sqrt {3{a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Do đó: \(\left| {\vec u\left|  =  \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 3 \).

b) Biến đổi vế phải: \(3\left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} \left| { = 3} \right|\overrightarrow {CB} } \right| = 3BC = 3 \cdot 2a = 6a\).

Biến đổi vế trái:

Gọi \(G\) là điểm cố định thỏa mãn \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + 4\overrightarrow {GC}  = \vec 0\).

Khi đó, với mọi điểm \(M\):

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC}  = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right)\)

\( = 6\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + 4\overrightarrow {GC} } \right) = 6\overrightarrow {MG} \).

Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} \left|  =  \right|6\overrightarrow {MG} } \right| = 6MG\)

Đẳng thức đã cho trở thành: \(6MG = 6a \Rightarrow MG = a\).

Vì \(G\) là điểm cố định nên tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm \(G\) bán kính \(R = a\).

Gọi \(x\) (phút) là thời lượng quảng cáo trên Radio (\(x \ge 0\)).

Gọi \(y\) (phút) là thời lượng quảng cáo trên Mạng xã hội (\(y \ge 0\)).

Từ các điều kiện thực tế của bài toán, ta lập hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 2}\\{0 \le y \le 5}\\{x + 2y \le 14}\end{array}} \right.\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta được một tứ giác \(ABCD\) với tọa độ các đỉnh:

\(A\left( {2;0} \right)\) là giao điểm của \(x = 2\) và \(y = 0\).

\(B\left( {2;5} \right)\) là giao điểm của \(x = 2\) và \(y = 5\).

\(C\left( {4;5} \right)\) là giao điểm của \(y = 5\) và \(x + 2y = 14\).

\(D\left( {14;0} \right)\) là giao điểm của \(x + 2y = 14\) và \(y = 0\).

Số lượng người tiếp cận thu được là: \(N\left( {x;y} \right) = 1000x + 3000y\).

Giá trị của \(N\left( {x;y} \right)\) đạt đại số lớn nhất tại một trong các đỉnh của đa giác \(ABCD\):

Tại \(A\left( {2;0} \right)\): \(N\left( {2;0} \right) = 1000 \cdot 2 + 3000 \cdot 0 = 2000\) người.

Tại \(B\left( {2;5} \right)\): \(N\left( {2;5} \right) = 1000 \cdot 2 + 3000 \cdot 5 = 17000\) người.

Tại \(C\left( {4;5} \right)\): \[N\left( {4;5} \right) = 1000 \cdot 4 + 3000 \cdot 5 = 19000\] người.

Tại \(D\left( {14;0} \right)\): \(N\left( {14;0} \right) = 1000 \cdot 14 + 3000 \cdot 0 = 14000\) người.

So sánh các giá trị, \(N\left( {x,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất là \(19.000\) người tại đỉnh \(C\left( {4;5} \right)\), ứng với \(x = 4\) phút và \(y = 5\) phút.

Tổng thời lượng quảng cáo trên cả hai nền tảng khi đó là: \(T = x + y = 4 + 5 = 9{\rm{\;(ph\'u t)}}\).

Kết luận: Công ty cần đặt tổng thời lượng quảng cáo là 9 phút gồm 4 phút trên Radio và 5 phút trên Mạng xã hội để đạt số lượng người tiếp cận lớn nhất.