Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 1234

Khoảng biến thiên \(R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 10 - 2 = 8\).

Chọn A.

Giao của hai tập hợp \(A\) và \(B\): \(A \cap B = \left[ { - 2;3} \right) \cap \left( {1;5} \right] = \left( {1;3} \right)\).

Chọn B.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: \(1,2,3,4,5,8,10\).

Kích thước mẫu \(n = 7\) (số lẻ), do đó trung vị \({M_e}\) là giá trị ở vị trí thứ \(\frac{{7 + 1}}{2} = 4\), tức là \({M_e} = 4\).

Chọn B.

Sắp xếp \(20\) số liệu theo thứ tự không giảm:

\(29,36,38,39,39,40,40,40,41,41,41,41,42,42,42,43,43,44,45,48\).

a) Đúng. Giá trị nhỏ nhất \({x_{{\rm{min}}}} = 29\).

b) Đúng. Giá trị trung bình của mẫu:

\(\bar x = \frac{{29 + 36 + 38 + 39 \cdot 2 + 40 \cdot 3 + 41 \cdot 4 + 42 \cdot 3 + 43 \cdot 2 + 44 + 45 + 48}}{{20}} = \frac{{814}}{{20}} = 40,7\).

c) Sai. Trung vị \({Q_2} = \frac{{41 + 41}}{2} = 41\).

Nửa số liệu bên trái \({Q_2}\) gồm 10 số: \(29,36,38,39,39,40,40,40,41,41\).

Do đó \({Q_1} = \frac{{39 + 40}}{2} = 39,5\).

Nửa số liệu bên phải \({Q_2}\) gồm 10 số: \(41,41,42,42,42,43,43,44,45,48\).

Do đó \({Q_3} = \frac{{42 + 43}}{2} = 42,5\).

Khoảng tứ phân vị: \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 42,5 - 39,5 = 3\).

d) Đúng. Phương sai mẫu: \({s^2} = \frac{1}{{20}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^{20} {\left( {{x_i} - 40,7} \right)^2} = 13,61\).

Độ lệch chuẩn mẫu: \(s = \sqrt {13,61}  \approx 3,69\).

a) Đúng. \(2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {MA} \).

Hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \[\overrightarrow {MB} \] ngược hướng nên \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\) (nằm giữa \(A\) và \(B\)).

b) Đúng. \(2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  = \vec 0 \Leftrightarrow  - 2\overrightarrow {AM}  + 3\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AM} } \right) = \vec 0 \Leftrightarrow 5\overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).

c) Sai. \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AC}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} \).

d) Đúng. \(\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CA}  \cdot \left( {\frac{3}{5}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB} } \right) + {\overrightarrow {AC} ^2}\).

Mặt khác: \(\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB}  =  - \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB}  =  - AC \cdot AB \cdot \cos 60^\circ  =  - 2a \cdot a \cdot \frac{1}{2} =  - {a^2}\).

Do đó: \(\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {CM}  = \frac{3}{5} \cdot \left( { - {a^2}} \right) + {\left( {2a} \right)^2} =  - \frac{3}{5}{a^2} + 4{a^2} = \frac{{17}}{5}{a^2}\).

Vì ô tô đứng yên nên hợp lực tác dụng lên ô tô bằng \(\vec 0\): \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}}  =  - \left( {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\).

Cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) là: \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|{^2} + \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|{^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\cos \left( {\widehat {AMB}} \right)} \).

Thay số: \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \sqrt {{{25}^2} + {{25}^2} + 2 \cdot 25 \cdot 25 \cdot \cos 60^\circ }  = \sqrt {625 + 625 + 625}  = 25\sqrt 3  \approx 43,3{\rm{\;N}}\).

Trả lời: \(43,3\).

Giải phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\). Do đó \(A = \left\{ {1;3} \right\}\).

Tập hợp \(B = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\mid \left| x \right| < 4} \right\} = \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Nhận thấy \(1 \in B\) và \(3 \in B\) nên \(A \subset B \Rightarrow A\backslash B = \emptyset \).

Số phần tử của \(A\backslash B\) là \(0\).

Trả lời: \(0\).

Thay giá trị lượng giác của các góc vào biểu thức:

\(\sin 90^\circ  = 1,\quad \cos 0^\circ  = 1,\quad \cos 60^\circ  = \frac{1}{2},\quad \cos 180^\circ  =  - 1\).

\(A = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 3 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot \left( { - 1} \right) = 3 + 2 - 1,5 - 10 =  - 6,5\).

Trả lời: \( - 6,5\).

Điểm \(I\left( {x;y} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên \(I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\).

Ta có:

\(I{A^2} = {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + 8x - 2y + 17\)

\(I{B^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 20\)

\(I{C^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 4x + 4y + 8\)

Từ \(I{B^2} = I{C^2}\):

\({x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 20 = {x^2} + {y^2} - 4x + 4y + 8 \Rightarrow 12y = 12 \Rightarrow y = 1\).

Thay \(y = 1\) vào phương trình \(I{A^2} = I{B^2}\):

\({x^2} + 1 + 8x - 2 + 17 = {x^2} + 1 - 4x - 8 + 20 \Rightarrow 12x =  - 3 \Rightarrow x =  - \frac{1}{4}\).

Do đó \(I\left( { - \frac{1}{4};1} \right)\) và \(x + y =  - \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4} = 0,75\).

Trả lời: \(0,75\).

Vẽ các đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\):

\({d_1}: - 2x + y = 2\) đi qua điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).

\({d_2}: - x + 2y = 4\) đi qua điểm \(\left( { - 4;0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).

\({d_3}:x + y = 5\) đi qua điểm \(\left( {5;0} \right)\) và \(\left( {0;5} \right)\).

\({d_4}:y = 0\) (trục hoành \(Ox\)).

Xác định nửa mặt phẳng nghiệm cho từng bất phương trình:

Thử gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\):

\( - 2 \cdot 0 + 0 = 0 \le 2\) (Đúng) nên miền nghiệm chứa \(O\left( {0;0} \right)\).

\( - 0 + 2 \cdot 0 = 0 \le 4\) (Đúng) nên miền nghiệm chứa \(O\left( {0;0} \right)\).

\(0 + 0 = 0 \le 5\) (Đúng) nên miền nghiệm chứa \(O\left( {0;0} \right)\).

\(y \ge 0\) là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục \(Ox\).

Tọa độ giao điểm của các đường giới hạn:

Giao điểm của \({d_1}\) và \({d_4}\): \(M\left( { - 1;0} \right)\).

Giao điểm của \({d_3}\) và \({d_4}\): \(N\left( {5;0} \right)\).

Giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\): Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x + y = 2}\\{ - x + 2y = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow P\left( {0;2} \right)\).

Giao điểm của \({d_2}\) và \({d_3}\): Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + 2y = 4}\\{x + y = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow Q\left( {2;3} \right)\).

Kết luận: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(MNQP\) (bao gồm cả biên) với tọa độ các đỉnh là \(M\left( { - 1;0} \right)\), \(N\left( {5;0} \right)\), \(Q\left( {2;3} \right)\), \(P\left( {0;2} \right)\).

Gọi \(x\) (ha) là diện tích trồng dứa, \(y\) (ha) là diện tích trồng củ đậu (\(x \ge 0,y \ge 0\)).

Theo đề bài, ta có các ràng buộc:

Tổng diện tích không vượt quá \(8{\rm{\;ha}}\): \(x + y \le 8\).

Tổng số công không vượt quá \(180\): \(20x + 30y \le 180 \Rightarrow 2x + 3y \le 18\).

Ta thu được hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 8}\\{2x + 3y \le 18}\end{array}} \right.\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) với các đỉnh:

\(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {8;0} \right)\), \(B\left( {6;2} \right)\) (là giao điểm của \(x + y = 8\) và \(2x + 3y = 18\)), \(C\left( {0;6} \right)\).

Tổng số tiền thu được (đơn vị: triệu đồng) là: \(F\left( {x;y} \right) = 3x + 4y\).

Tính giá trị \(F\left( {x;y} \right)\) tại các đỉnh của miền nghiệm:

Tại \(O\left( {0;0} \right)\): \(F\left( {0;0} \right) = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0\).

Tại \(A\left( {8;0} \right)\): \(F\left( {8;0} \right) = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 0 = 24\).

Tại \(B\left( {6;2} \right)\): \(F\left( {6;2} \right) = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 2 = 26\).

Tại \(C\left( {0;6} \right)\): \(F\left( {0;6} \right) = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 6 = 24\).

So sánh các giá trị, \(F\left( {x;y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(26\) triệu đồng tại \(x = 6\) và \(y = 2\).

Kết luận: Hộ nông dân cần trồng \(6{\rm{\;ha}}\) dứa và \(2{\rm{\;ha}}\) củ đậu để thu được nhiều tiền nhất là \(26\) triệu đồng.

Thời gian đi đoạn đường bằng \(AC\): \({t_{AC}} = \frac{{AC}}{{{v_1}}} = \frac{{10}}{{100}} = 0,1\) (giờ).

Tính độ dài hai đoạn dốc \(CD\) và \(DB\):

Trong tam giác \(BCD\), ta có: \(\widehat {BDC} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {DCB} + \widehat {DBC}} \right) = 180^\circ  - \left( {45^\circ  + 30^\circ } \right) = 105^\circ \).

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(BCD\): \(\frac{{CD}}{{\sin \left( {\widehat {DBC}} \right)}} = \frac{{DB}}{{\sin \left( {\widehat {DCB}} \right)}} = \frac{{BC}}{{\sin \left( {\widehat {BDC}} \right)}}\).

Suy ra \(CD = BC \cdot \frac{{\sin 30^\circ }}{{\sin 105^\circ }} = 20 \cdot \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{40}}{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }} = 10\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right){\rm{\;(km)}}\);

\(DB = BC \cdot \frac{{\sin 45^\circ }}{{\sin 105^\circ }} = 20 \cdot \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{40\sqrt 2 }}{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }} = 20\left( {\sqrt 3  - 1} \right){\rm{\;(km)}}\).

Thời gian leo dốc \(CD\): \({t_{CD}} = \frac{{CD}}{{{v_2}}} = \frac{{10\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right)}}{{10}} = \sqrt 6  - \sqrt 2 \) (giờ).

Thời gian xuống dốc \(DB\): \({t_{DB}} = \frac{{DB}}{{{v_3}}} = \frac{{20\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{50}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{5}\) (giờ).

Tổng thời gian hoàn thành chặng đường từ \(A\) đến \(B\):

\(t = {t_{AC}} + {t_{CD}} + {t_{DB}} = 0,1 + \left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right) + \frac{{2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{5} \approx 1,428\) (giờ).

Kết luận: Vận động viên mất khoảng \(1,428\) giờ (khoảng \(1\) giờ \(25{\rm{\;ph\'u t\;}}\,\,41{\rm{\;gi\^a y}}\)) để hoàn thành chặng đường.