Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?
Nếu cả hai số chia hết cho 3 thì tổng hai số đó chia hết cho 3.
Nếu hai tam giác bằng nhau thì cúng có diện tích bằng nhau.
Nếu một số có chữ số tận cùng bằng 0 thì nó chia hết cho 5.
Nếu một số chia hết cho 5 thì nó có chữ số tận cùng bằng 0.
Mệnh đề “Nếu một số chia hết cho 5 thì nó có chữ số tận cùng bằng 0” có mệnh đề đảo là “Nếu một số có chữ số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5” là mệnh đề đúng. Chọn D.
Cho tập hợp \(X = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x - 1 > 0} \right\}\). Hãy chọn khẳng định đúng.
\(X = \left( {0;1} \right)\).
\(X = \left( {1; + \infty } \right)\).
\(X = \left( { - 1;0} \right)\).
\(X = \left( {0; + \infty } \right)\).
\(X = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x - 1 > 0} \right\} = \left( {1; + \infty } \right)\). Chọn B.
Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình \(2x - y + 1 < 0\)?
\(\left( {0; - 1} \right)\).
\(\left( {3;5} \right)\).
\(\left( {1;4} \right)\).
\(\left( {2; - 1} \right)\).
Thay tọa độ \(\left( {1;4} \right)\) vào bất phương trình ta được \(2.1 - 4 + 1 = - 1 < 0\) (đúng).
Do đó \(\left( {1;4} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình. Chọn C.
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y \ge 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} < 0\\y - x > 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z < 0\\y < 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + z < 0\\y > 0\end{array} \right.\).
Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn A.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định là \(\left[ { - 3;3} \right]\) và đồ thị của nó được biểu diễn bởi hình bên dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3;1} \right)\) và \(\left( {1;4} \right)\).
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( {1;3} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( {1;3} \right)\). Chọn D.
Tọa độ đỉnh I của parabol \(y = {x^2} - 4x + 1\)là
\(I\left( {4;1} \right)\).
\(I\left( { - 4;33} \right)\).
\(I\left( {2; - 3} \right)\).
\(I\left( { - 2;13} \right)\).
Tọa độ đỉnh I của parabol là \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\)\( \Rightarrow I\left( {2; - 3} \right)\). Chọn C.
Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) khi đa thức \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau
3.
2.
4.
1.
Dựa vào bảng xét dấu ta có \(f\left( x \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ {1;3} \right]\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2;3} \right\}\). Chọn A.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {5x + 6} = x - 6\) bằng
15.
6.
2 và 15.
2.
\(\sqrt {5x + 6} = x - 6\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 6 \ge 0\\5x + 6 = {x^2} - 12x + 36\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 6 \ge 0\\{x^2} - 17x + 30 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 6\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 15\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 15\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = 15\). Chọn A.
Quan sát ròng rọc hoạt động khi dùng lực để kéo một đầu của ròng rọc. Chuyển động của các đoạn dây được mô tả bằng các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) (tham khảo hình vẽ). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
\(\overrightarrow c \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng phương.
\(\overrightarrow c \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow c \) là hai vectơ cùng hướng.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng phương.
\(\overrightarrow c \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ ngược hướng. Chọn B.
Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm trên đoạn AB sao cho \(MA = \frac{1}{5}AB\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {MB} \).
\(\overrightarrow {MB} = - 4\overrightarrow {MA} \).
\(\overrightarrow {MB} = - \frac{4}{5}\overrightarrow {AB} \).
Ta có \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng và \(MA = \frac{1}{5}AB\) nên \(\overrightarrow {MB} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} \). Chọn D.
Cho hai điểm phân biệt \(A,B\). Điều kiện cần và đủ để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là
\(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \).
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \).
\(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BI} \).
\(IA = IB\).
Điều kiện cần và đủ để \(I\) là trung điểm của \(AB\) là \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \). Chọn A.
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 8;\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\). Tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \).
40.
\( - 40\).
13.
\( - 13\).
Vì vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng nên \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \).
Suy ra \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)\( = 8.5.\cos 0^\circ = 40\). Chọn A.
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác ABC biết \(AB = 8;AC = 5;\widehat A = 60^\circ \).
a)\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} + 2AB.AC.\cos A\).
b) Diện tích tam giác ABC bằng \(10\sqrt 3 \).
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng \(4\sqrt 3 \).
d) Điểm M thuộc cạnh BC sao cho \(BM = 4\). Khi đó \(AM = \frac{{4\sqrt {91} }}{7}\).
a) Có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\).
b) Diện tích tam giác ABC là \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.8.5.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 3 \].
c) Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\)\( = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos 60^\circ = 49 \Rightarrow BC = 7\).
Áp dụng định lí sin ta có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{7}{{\sqrt 3 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\).
d) Ta có \(\cos B = \frac{{{7^2} + {8^2} - {5^2}}}{{2.7.8}} = \frac{{11}}{{14}}\).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABM ta có \(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.\cos B = \frac{{208}}{7} \Rightarrow AM = \frac{{4\sqrt {91} }}{7}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a.
a) \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} \).
b) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
c) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \) bằng 2a.
d)\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {DB} = {a^2}\).
a) Theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} \).
b) Vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và AB = DC nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
c) Có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DB} \).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = a\sqrt 2 \).
d) Có \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {DB} = - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} = - \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BD} } \right) = - a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ = - {a^2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|2{x^2} - 75x - 77 = 0} \right\}\) có bao nhiêu phần tử?
\(2{x^2} - 75x - 77 = 0\) \( \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = \frac{{77}}{2}\). Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x = - 1\). Suy ra \(A = \left\{ { - 1} \right\}\).
Vậy tập hợp A chỉ có 1 phần tử.
Trả lời: 1.
Tính giá trị các biểu thức sau \(A = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + ... + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ \).
\(A = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + ... + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ \)
\[ = \left( {\cos 0^\circ + \cos 180^\circ } \right) + \left( {\cos 20^\circ + \cos 160^\circ } \right) + ... + \left( {\cos 80^\circ + \cos 100^\circ } \right)\]
\[ = \left( {\cos 0^\circ - \cos 0^\circ } \right) + \left( {\cos 20^\circ - \cos 20^\circ } \right) + ... + \left( {\cos 80^\circ - \cos 80^\circ } \right) = 0\].
Trả lời: 0.
Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G. Tìm số thực k thỏa mãn \(\overrightarrow {GM} = k\overrightarrow {GA} \).
Ta có \(\overrightarrow {GM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{1}{3}.\frac{3}{2}\overrightarrow {AG} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} \).
Trả lời: −0,5.
Cho hàm số \(y = {x^2} + ax + b\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) biết hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 tại \(x = - 1\). Tính \(a + b\).
Hàm số có \(a = 1 > 0\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(5\) tại \(x = - \frac{a}{2} = - 1\) \( \Rightarrow a = 2\).
Với \(a = 2\) thì hàm số có dạng \(y = {x^2} + 2x + b\).
Mà \(y\left( { - 1} \right) = 5\) nên \(1 - 2 + b = 5 \Leftrightarrow b = 6\).
Vậy \(a + b = 8\).
Trả lời: 8.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Nhân dịp Tết Dương lịch, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, lạp xưởng. Xí nghiệp đã nhập về 600 kg bột mì và 240 kg đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà xí nghiệp cần. Mỗi chiếc bánh nướng cần 120g bột mì, 60g đường. Mỗi chiếc bánh dẻo cần 160g bột mì và 40 g đường. Theo khảo sát thị trường, lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh nướng và sản phẩm của xí nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi 8000 đồng, mỗi chiếc bánh dẻo lãi 6000 đồng. Để đáp ứng nhu cầu thị trường đảm bảo lượng bột mì, đường không vượt quá số lượng mà xí nghiệp đã chuẩn bị và vẫn thu được lợi nhuận cao nhất thì xí nghiệp phải sản xuất m chiếc bánh nướng và n chiếc bánh dẻo với m; n là các số tự nhiên. Tìm m và n.
Gọi \(x;y\)(chiếc) là số lượng bánh nướng, bánh dẻo mà xí nghiệp cần sản xuất (\(x,y \in \mathbb{N}\)).
Khối lượng bột mỳ cần dùng là \(0,12x + 0,16y\) (kg).
Khối lượng đường cần dùng là \(0,06x + 0,04y\) (kg).
Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\y \le 3x\\3x + 4y \le 15000\\3x + 2y \le 12000\end{array} \right.\).
Số tiền lãi thu được là \(T = 8x + 6y\) (nghìn đồng).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(T = 8x + 6y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\y \le 3x\\3x + 4y \le 15000\\3x + 2y \le 12000\end{array} \right.\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC kể cả cạnh (phần không gạch) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {4000;0} \right),B\left( {3000;1500} \right),C\left( {1000;3000} \right)\).
Với \(O\left( {0;0} \right)\) thì \(T = 0\).
Với \(A\left( {4000;0} \right)\) thì \(T = 32000\).
Với \(B\left( {3000;1500} \right)\) thì \(T = 33000\).
Với \(O\left( {1000;3000} \right)\) thì \(T = 26000\).
Do đó để đạt được tiền lãi cao nhất thì xí nghiệp nên sản xuất 3000 chiếc bánh nướng và 1500 chiếc bánh dẻo.
Một diễn viên xiếc (coi là một vật rắn) trọng lượng 700 N đi trên dây làm dây võng xuống một góc 40°. Tính lực căng của dây trên khi diễn viên xiếc đứng cân bằng (hình mình họa) coi dây không giãn. Biết rằng khi ở vị trí cân bằng thì \(\overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} + \overrightarrow P = \overrightarrow 0 \).
Theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} = \overrightarrow F \).
Khi diễn viên xiếc đạt trạng thái cân bằng trên dây, ta có \(\overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} + \overrightarrow P = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow F = - \overrightarrow P \) và \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| { - \overrightarrow P } \right| = 700\) (N).
Ta có góc tạo bởi \(\overrightarrow {{T_1}} \) và \(\overrightarrow {{T_2}} \) bằng 140° \( \Rightarrow \widehat {CDA} = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).
Dây không giãn nên \(\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|\).
Xét \(\Delta ADC\) có \({F^2} = T_1^2 + T_2^2 - 2{T_1}{T_2}\cos \widehat {CDA}\)\( \Leftrightarrow {F^2} = 2T_1^2\left( {1 - \cos 40^\circ } \right)\)
\( \Rightarrow {T_1} = \sqrt {\frac{{{F^2}}}{{2\left( {1 - \cos 40^\circ } \right)}}} = \sqrt {\frac{{{{700}^2}}}{{2\left( {1 - \cos 40^\circ } \right)}}} \approx 1023\) N.
Tổng chi phí T (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất \(x\)sản phẩm được cho bởi biểu thức \(T = {x^2} + 20x + 4000\). Giá bán của 1 sản phẩm là 150 nghìn đồng. Số sản phẩm cần được sản xuất trong khoảng nào để đảm bảo không bị lỗ (giả thiết các sản phẩm được bán hết).
Doanh thu khi bán \(x\) sản phẩm là \(150x\).
Lợi nhuận khi bán \(x\) sản phẩm là \(150x - \left( {{x^2} + 20x + 4000} \right) = - {x^2} + 130x - 4000\).
Để không bị lỗ thì \( - {x^2} + 130x - 4000 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 50 \le x \le 80\).
Vậy số sản phẩm cần được sản xuất trong đoạn \(\left[ {50;80} \right]\) để đảm bảo không bị lỗ.
