a) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = x + 3:\)

Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 3;\)

Cho \(y = 0,\) ta có \(x = - 3.\)

Đồ thị hàm số \(y = x + 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( { - 3;0} \right).\)

⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{2}x + 3:\)

Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 3;\)

Cho \(y = 0,\) ta có \(x = 6.\)

Đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{2}x + 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {6;0} \right).\)

b)

Giao điểm đồ thị của hàm số (1) với trục hoành là \(M\left( { - 3;0} \right);\)

Giao điểm đồ thị của hàm số (2) với trục hoành là \(N\left( {6;0} \right);\)

Giao điểm của hai đồ thị hàm số (1) và hàm số (2) là \(P\left( {0;3} \right).\)

Vậy \(M\left( { - 3;0} \right);\,\,N\left( {6;0} \right);\,\,P\left( {0;3} \right).\)

c) Tính độ dài các cạnh của \(\Delta MNP:\)

\(MN = MO + ON = 3 + 6 = 9{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right);\)

\(MP = \sqrt {M{O^2} + P{O^2}} = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right);\)

\(NP = \sqrt {O{P^2} + O{N^2}} = \sqrt {{3^2} + {6^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Diện tích của \(\Delta MNP\) là: \({S_{\Delta MNP}} = \frac{1}{2}PO \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 9 = \frac{{27}}{2}\,\,\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Chu vi tam giác \(MNP\) là: \(9 + 3\sqrt 2 + 3\sqrt 5 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABM\) có \(MD\) là đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{DA}}{{DB}}\) \(\left( 1 \right)\) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Xét \[\Delta ACM\] có \(ME\) là đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{EA}}{{EC}}\) \(\left( 2 \right)\) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Do \(AM\) là đường trung tuyến của \[\Delta ABC\] nên \(M\) là trung điểm của \(BC,\) hay \(MB = MC = \frac{1}{2}BC.\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}.\)

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có \(\frac{{DA}}{{DA + DB}} = \frac{{EA}}{{EA + EC}},\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) suy ra \(AD \cdot AC = AE \cdot AB.\)

Xét \[\Delta ABC\] có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) theo định lí Thalès đảo ta có \[DE\,{\rm{//}}\,BC.\]

b) Xét \(\Delta ABM\) có \(DI\,{\rm{//}}\,BM,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{AI}}{{AM}}.\)

Xét \[\Delta ACM\] có \(IE\,{\rm{//}}\,MC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \[\frac{{IE}}{{MC}} = \frac{{AI}}{{AM}}.\]

Do đó \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{IE}}{{MC}}.\)

Mà \(MB = MC\) (chứng minh ở câu a) nên \(DI = IE,\) hay \[I\] là trung điểm của \(DE.\)

c) Ta có \(MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15{\rm{\;cm}}.\)

Theo câu a, ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}},\) suy ra \[\frac{{DA}}{{DA + DB}} = \frac{{MA}}{{MA + MB}} = \frac{{10}}{{10 + 15}} = \frac{{10}}{{25}} = \frac{2}{5}.\]

Do đó \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{5}.\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\,{\rm{//}}\,BC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{5}.\)

Suy ra \(DE = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)