Bài tập Vận dụng ước chung lớn nhất để rút gọn về phân số tối giản lớp 6 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Phân số tối giản là phân số mà tử số và mẫu số chỉ có ước chung lớn nhất là 1.

Xét các đáp án:

Phân số \(\frac{{14}}{{21}}\) có tử và mẫu cùng chia hết cho 7.

Phân số \(\frac{{15}}{{20}}\) có tử và mẫu cùng chia hết cho 5.

Phân số \(\frac{{15}}{{20}}\) có tử và mẫu cùng chia hết cho 6.

Phân số \(\frac{7}{{16}}\) có ƯCLN(7, 16) = 1 nên là phân số tối giản.

Đáp án đúng là: D

Để rút gọn phân số về dạng tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng.

Ta tìm ƯCLN (24, 36):

Phân tích ra thừa số nguyên tố: 24 = 2³ ∙ 3 và 36 = 2² ∙ 3².

Suy ra ƯCLN (24, 36) = 2² ∙ 3 = 12.

Vậy ta cần chia cả tử và mẫu cho 12.

Đáp án đúng là: C

Ta tìm ƯCLN(45, 60):

45 = 3² ∙ 5;

60 = 2² ∙ 3 ∙ 5

Suy ra ƯCLN(45, 60) = 3 ∙ 5 = 15.

Chia cả tử và mẫu cho 15, ta được: 45 : 15 = 3 và 60 : 15 = 4.

Vậy phân số tối giản là \(\frac{3}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Ta tìm ƯCLN (72, 108):

72 = 2³ ∙ 3²;

108 = 2² ∙ 3³

Suy ra ƯCLN (72, 108) = 2² ∙ 3² = 36.

Rút gọn phân số: \(\frac{{72}}{{108}} = \frac{{72:36}}{{108:36}} = \frac{2}{3}\).

Theo đề bài phân số tối giản là \(\frac{a}{b}\), suy ra a = 2.

Đáp án đúng là: B

Ta tìm ƯCLN (48, 84):

48 = 2⁴ ∙ 3

84 = 2² ∙ 3 ∙ 7

ƯCLN (48, 84) = 2² ∙ 3 = 12.

Thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho 12, ta có: \(\frac{{48:12}}{{84:12}} = \frac{4}{7}\).

Phân số \(\frac{4}{7}\) là phân số tối giản.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tử số và mẫu số đều là số chẵn nên cùng chia hết cho 2, do đó phân số chưa tối giản.

b) Đúng. Phân tích thừa số nguyên tố:

60 = 2² ∙ 3 ∙ 5 và 126 = 2 ∙ 3² ∙ 7.

Suy ra ƯCLN(60, 126) = 2 ∙ 3 = 6.

c) Đúng. Chia cả tử và mẫu cho 6 ta được: \(\frac{{60:6}}{{126:6}} = \frac{{10}}{{21}}\).

Phân số này đã tối giản vì ƯCLN(10, 21) = 1.

d) Sai. Phân số tối giản là \(\frac{{10}}{{21}}\). Các phân số bằng với phân số đã cho này phải có mẫu số là bội của 21.

Số 9 không phải là bội của 21 nên ta không thể viết được phân số đã cho thành phân số có mẫu số bằng 9.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. 18 và 24 đều là số chẵn nên có ước chung là 2, nên phân số \(\frac{{18}}{{24}}\) chưa tối giản.

b) Sai. Ta tính được ƯCLN (45, 60) = 15.

Khi đó \(\frac{{45}}{{60}}\) rút gọn về phân số \(\frac{9}{{12}}\) chưa phải là phân số tối giản (vì có thể rút gọn tiếp cho 3).

c) Đúng. Rút gọn lần lượt:

\(\frac{{18}}{{24}} = \frac{3}{4}\) (chia tử và mẫu cho 6);

\(\frac{{45}}{{60}} = \frac{3}{4}\) (chia tử và mẫu cho 15);

\(\frac{{63}}{{84}} = \frac{3}{4}\) (chia tử và mẫu cho 21).

Ba kết quả đều bằng nhau.

d) Sai. Theo ý c), các phân số bằng nhau và bằng \(\frac{3}{4}\) nên ta có thể viết thành \(\frac{{3k}}{{4k}}\)với k là số tự nhiên khác 0.

Tổng tử và mẫu là 3k + 4k = 7k.

Nếu tổng bằng 20 thì 7k = 20, suy ra k = \(\frac{{20}}{7}\) không phải là số tự nhiên.

Như vậy ta không viết được phân số bằng với các phân số đã cho sao cho tử số và mẫu số có tổng bằng 20.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. 84 = 2² ∙ 3 ∙ 7.

b) Sai. Phân tích: 84 = 2² ∙ 3 ∙ 7 và 140 = 2² ∙ 5 ∙ 7.

Như vậy 84 và 140 không có chung thừa số 3.

c) Đúng. ƯCLN (84, 140) = 2² ∙ 7 = 28.

d) Sai. Nếu chia cho 14 ta được phân số \(\frac{6}{{10}}\).

Phân số này chưa tối giản vì tử và mẫu vẫn chia hết cho 2.

Ta phải chia cho ƯCLN là 28 (theo ý c) mới được phân số tối giản là \(\frac{3}{5}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Thay x = 18 ta có phân số \(\frac{{18}}{{36}}\), có thể rút gọn thành \(\frac{1}{2}\).

b) Đúng. Theo định nghĩa, một phân số là tối giản nếu UCLN của tử và mẫu bằng 1.

c) Sai. Ta tìm các số nguyên tố cùng nhau với 36.

Vì 36 = 2² ∙ 3², nên x không được chia hết cho 2 và 3.

Các giá trị hợp lệ nhỏ hơn 36 là: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35.

Có tổng cộng 12 giá trị, không phải 10.

d) Sai. Phân số \(\frac{{35}}{{36}}\) đã là phân số tối giản vì ƯCLN (35, 36) = 1.

Phân số lớn nhất chưa tối giản phải là \(\frac{{34}}{{36}}\) (rút gọn được thành \(\frac{{17}}{{18}}\)).

Tổng của tử và mẫu là 34 +36 = 70.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có 135 = 3³ ∙ 5 và 180 = 2² ∙ 3² ∙ 5.

ƯCLN (135, 180) = 3² ∙ 5 = 45.

b) Sai. ƯCLN(2³ ∙ 3², 2² ∙ 3³ ∙ 5) = 2² ∙ 3².

c) Đúng. \(B = \frac{{{2^3} \cdot {3^2}}}{{{2^2} \cdot {3^3} \cdot 5}} = \frac{2}{{3 \cdot 5}} = \frac{2}{{15}}\).

d) Sai. Rút gọn phân số A: \(A = \frac{{135:45}}{{180:45}} = \frac{3}{4}\) có mẫu số là 4.

Theo b), rút gọn phân số B được \(\frac{2}{{15}}\) có mẫu số là 15.

Ta có 15 – 4 = 11, đây là số nguyên tố.

Vậy hai mẫu số của hai phân số tối giản hơn kém nhau 11 đơn vị, là một số nguyên tố.

Đáp án: 13.

Ta tìm ước chung lớn nhất của 132 và 156:

132 = 2² ∙ 3 ∙ 11

156 = 2² ∙ 3 ∙ 13

ƯCLN(132, 156) = 2² ∙ 3 = 12.

Chia cả tử và mẫu của phân số cho 12 ta được: \(\frac{{132:12}}{{156:12}} = \frac{{11}}{{13}}\).

Phân số tối giản là \(\frac{{11}}{{13}}\), có mẫu số bằng 13.

Đáp án: 21.

Trước tiên ta rút gọn phân số \(\frac{{42}}{{54}}\) về dạng tối giản.

ƯCLN (42, 54) = 6.

Phân số tối giản là \(\frac{{42:6}}{{54:6}} = \frac{7}{9}\).

Các phân số bằng \(\frac{7}{9}\) sẽ có dạng \(\frac{{7k}}{{9k}}\) (k là số tự nhiên khác 0).

Theo đề bài, tổng của tử số và mẫu số bằng 48, nên ta có:

7k + 9k = 48

16k = 48

k = 3.

Tử số cần tìm là: 7 ∙ 3 = 21.

Đáp án: 288.

Ta có: \(\frac{{252}}{x} = \frac{7}{8}\).

Nhận thấy tử số của phân số ban đầu là 252, sau khi rút gọn tối giản còn 7.

Nghĩa là tử số ban đầu đã được chia cho một số bằng: 252 : 7 = 36.

Số đó chính là ước chung lớn nhất đã dùng để rút gọn cả tử và mẫu.

Do đó, mẫu số ban đầu x cũng phải được chia cho 36 để thu được mẫu số tối giản là 8.

Suy ra: x : 36 = 8, từ đó x = 8 ∙ 36 = 288.

Đáp án: 21.

Rút gọn phân số về tối giản: ƯCLN (36, 48) = 12; \(\frac{{36}}{{48}} = \frac{3}{4}\).

Mọi phân số bằng \(\frac{3}{4}\) đều có dạng \(\frac{{3k}}{{4k}}\) (k là số tự nhiên khác 0).

Để cả tử số và mẫu số là các số tự nhiên có hai chữ số, ta cần điều kiện:

10 ≤ 3k ≤ 99 và 10 ≤ 4k ≤ 99.

Từ điều kiện tử số: 3k ≥ 10 suy ra k ≥ 4.

Từ điều kiện mẫu số: 4k ≤ 99 suy ra k ≤ 24 (vì 4 ∙ 25 = 100).

Kết hợp hai điều kiện, giá trị của k phải thỏa mãn: 4 ≤ k ≤ 24.

Tập hợp các giá trị hợp lệ của k là {4; 5; 6; ... ; 24}.

Số lượng phân số thỏa mãn bài toán tương ứng với số lượng giá trị của k là:

24 – 4 + 1 = 21 (phân số).

Đáp án: 60.

Lời giải chi tiết

Gọi d = ƯCLN(2n + 1, n + 2) (với n, d ∈ ℕ*; 10 ≤ n ≤ 99).

Khi đó, ta có: (2n + 1) ⋮ d và (n + 2) ⋮ d

Suy ra 2(n + 2) ⋮ d, tức là (2n + 4) ⋮ d.

Khi đó [(2n + 4) – (2n + 1)] ⋮ d hay 3 ⋮ d.

Do đó, d ∈ Ư(3) = {1; 3}.

⦁ Để phân số không tối giản thì d = 3, tức là cả tử số và mẫu số phải cùng chia hết cho 3.

Vì tử số bằng 2n + 1 = 2n + 4 – 3 = 2(n + 2) – 3, nên khi mẫu số (n + 2) ⋮ 3 thì tử số 2n + 1 ⋮ 3. Do đó, phân số không tối giản khi và chỉ khi (n + 2) ⋮ 3, tức là n chia cho 3 dư 1 (hay n = 3k + 1 với k ∈ ℕ).

⦁ Tổng số các số tự nhiên có hai chữ số từ 10 đến 99 là:

(99 – 10) : 1 + 1 = 90 (số).

Các số có hai chữ số chia cho 3 dư 1 (tức là có dạng 3k + 1) lập thành một dãy số cách đều 3 đơn vị bắt đầu từ số 10 đến số 97: 10, 13, 16, 19, ..., 97.

Số lượng các số làm cho phân số không tối giản là:

⦁ Suy ra, số lượng các số n có hai chữ số để phân số là phân số tối giản (tức là loại bỏ các số có dạng 3k + 1) là: 90 – 30 = 60 (số).

Vậy có tất cả 60 số tự nhiên n có hai chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.