Bài tập Tính số đo các góc dựa vào tính chất góc ở vị trí đặc biệt và tia phân giác của một góc lớp 7 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì \(\widehat {xOy},\widehat {xOy'}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {xOy} + \widehat {xOy'} = {180^o}\).

Mà \(\widehat {xOy'} = 2\widehat {xOy}\)

Suy ra \(\widehat {xOy} + 2\widehat {xOy} = {180^o}\)

Suy ra \(3\widehat {xOy} = {180^o}\)

Do đó \(\widehat {xOy} = {60^o}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hai góc bù nhau có tổng bằng 180°.

Do đó, \(\widehat {yOz\,} = 180^\circ - \widehat {xOy} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Góc tạo bởi thân máy bay và mỗi sải cánh là: \(\widehat {xOz} = \widehat {yOz} = \frac{{\widehat {xOy}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {yOz}\) là hai góc kề bù nên ta có \(\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {xOy} = 180^\circ - \widehat {yOz} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).

Vì Ot là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\) nên \(\widehat {xOt} = \frac{1}{2}\widehat {xOy} = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Do hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O, nên \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {xOy'}\) là hai góc kề bù.

Do đó, \(\widehat {xOy} + \widehat {xOy'} = 180^\circ \) hay \(\widehat {xOy'} = 180^\circ - \widehat {xOy} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Vì Oz là tia phân giác của \(\widehat {xOy'}\) nên \(\widehat {xOz} = \widehat {zOy'} = \frac{{\widehat {xOy'}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \).

Do \(\widehat {xOz}\) và \(\widehat {x'Oz}\) là hai góc kề bù (vì hai tia Ox và Ox' đối nhau) nên \(\widehat {xOz} + \widehat {x'Oz} = 180^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {x'Oz} = 180^\circ - \widehat {xOz} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {yOz}\) kề nhau nên \(\widehat {xOz} = \widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ \).

Vì Ot là phân giác \(\widehat {xOz}\) nên \(\widehat {xOt} = \frac{{\widehat {xOz}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \).

Do đó, \(\widehat {yOt} = \widehat {xOt} - \widehat {xOy} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.         b) Sai.            c) Đúng.       d) Đúng.

a) Đúng. Vì Oa và Ob là hai tia đối nhau (thuộc đường thẳng ab) nên \(\widehat {aOm}\) và \(\widehat {bOm}\) là hai góc kề bù.

b) Sai. Cứ hai đường thẳng cắt nhau thì tạo ra 2 cặp góc đối đỉnh. Do đó, ba đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm sẽ tạo ra \(3 \cdot 2 = 6\) cặp góc đối đỉnh.

c) Đúng. Vì mn và pq là hai đường thẳng cắt nhau tại O nên \(\widehat {pOn}\) và \(\widehat {mOq}\) là hai góc đối đỉnh. Suy ra \(\widehat {mOq} = \widehat {pOn} = 8x^\circ \).

Do Oa và Ob là hai tia đối nhau nên tổng ba góc kề nhau tạo thành \(\widehat {aOb} = 180^\circ \)

Ta có: \(\widehat {aOm} + \widehat {mOq} + \widehat {qOb} = 180^\circ \) hay 50° + 8x° + 5x° = 180°.

Giải phương trình:

50 + 8x + 5x = 180

13x = 130

x = 10.

Vậy giá trị của x là 10.

d) Với x = 10, ta tính được số đo của tất cả các góc kề nhau tại nút giao O:

+) \(\widehat {aOm} = 50^\circ \ge 50^\circ \).

+) \(\widehat {mOq} = 8x^\circ = 80^\circ \ge 50^\circ \).

+) \(\widehat {qOb} = 5x^\circ = 50^\circ \ge 50^\circ \).

+) \(\widehat {bOn} = \widehat {aOm} = 50^\circ \) (đối đỉnh) \( \ge 50^\circ \).

+) \(\widehat {nOp} = \widehat {mOq} = 80^\circ \) (đối đỉnh) \( \ge 50^\circ \).

+) \(\widehat {pOa} = \widehat {qOb} = 50^\circ \) (đối đỉnh) \( \ge 50^\circ \).

Vậy tất cả các góc giữa hai con đường kề nhau đều lớn hơn hoặc bằng 50°.

Vậy thiết kế giao lộ trên đáp ứng được yêu cầu an toàn giao thông.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.         b) Đúng.        c) Sai.            d) Đúng.

a) Đúng. Do Ax là tia đối của tia AB và hai góc xAC và BAC có chung cạnh AC nên

\[\widehat {xAC}\] và \[\widehat {BAC}\] là hai góc kề bù.

b) Đúng. Vì góc xAC và góc BAC kề bù (kết quả từ ý a) nên tổng số đo của chúng bằng 180°.

Do đó, \(\widehat {xAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {xAC} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

c) Sai. Ta có \(\widehat {xAC\,} = 120^\circ \) (kết quả từ ý b) và \(\widehat {B\,} = 70^\circ \).

Tổng số đo thực tế là \(\widehat {xAC\,} + \widehat {B\,} = 120^\circ + 70^\circ = 190^\circ \ne 180^\circ \).

Do đó, khẳng định hai góc này có tổng bằng 180° và bù nhau là sai.

d) Đúng. Ta có \(\widehat {xAy} = \widehat {BAC} = 60^\circ \) và tia Ax là tia đối của tia AB nên tia Ay là tia đối của AC.

Khi đó hai góc xAy và xAC là hai góc kề bù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.         b) Đúng.        c) Đúng.        d) Sai.

a) Đúng. Do Ot là phân giác của \(\widehat {xOz}\) nên \(\widehat {tOz} = \frac{1}{2}\widehat {xOz}\) và Ot nằm giữa Ox và Oz.

Do Om là phân giác \(\widehat {yOz}\) nên \(\widehat {zOm} = \frac{1}{2}\widehat {yOz}\) và Om nằm giữa Oz và Oy.

Do đó, tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Om.

Mặt khác Oz là phân giác \(\widehat {xOy}\) nên \(\widehat {xOz} = \widehat {yOz}\), từ đó suy ra \(\widehat {tOz} = \widehat {zOm}\). Kết hợp với việc Oz nằm giữa Ot và Om, suy ra Oz là tia phân giác của \(\widehat {tOm}\).

b) Đúng. Ta có \(\widehat {tOz} = \frac{1}{2}\widehat {xOz} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\widehat {xOy}} \right) = \frac{1}{4}\widehat {xOy}\). Do đó \(\widehat {xOy} = 4\widehat {tOz}\).

c) Đúng. Ta có \(\widehat {tOm} = \widehat {tOz} + \widehat {zOm} = 2\widehat {tOz}\).

Từ ý b) có \(\widehat {tOz} = \frac{1}{4}\widehat {xOy}\), thay vào ta được \(\widehat {tOm} = 2 \cdot \left( {\frac{1}{4}\widehat {xOy}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {xOy}\).

Do đó, \(\widehat {tOm} = \frac{1}{2}\widehat {xOy}\).

d) Sai. Do \(\widehat {tOm} = \frac{1}{2}\widehat {xOy}\) (theo ý c), mà số đo góc \(\widehat {xOy} \le 180^\circ \) (góc lớn nhất là góc bẹt bằng 180°), nên giá trị lớn nhất của \(\widehat {tOm}\) là \(\frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.         b) Đúng.        c) Sai.            d) Đúng.

a) Đúng. Do hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O nên \(\widehat {BOD}\) và \(\widehat {AOC}\) là hai góc đối đỉnh.

Do đó, \(\widehat {BOD} = \widehat {AOC} = 50^\circ \).

b) Đúng. Vì OM là tia phân giác của \[\widehat {AOC}\] nên \(\widehat {AOM} = \frac{{\widehat {AOC}}}{2} = \frac{{50^\circ }}{2} = 25^\circ \).

c) Sai. Hai góc AOC và AOD kề bù nên:

\(\widehat {AOD} = 180^\circ - \widehat {AOC} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).

Vì OA nằm giữa OM và OD nên:

\(\widehat {MOD} = \widehat {AOM} + \widehat {AOD} = 25^\circ + 130^\circ = 155^\circ \).

d) Đúng. Vì ON là tia đối của OM nên \(\widehat {MOD}\) và \(\widehat {DON}\) là hai góc kề bù.

Do đó: \(\widehat {DON} + \widehat {MOD} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DON} = 180^\circ - \widehat {MOD} = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ \).

Ta có \(\widehat {DON} = 25^\circ = \frac{{\widehat {BOD}}}{2}\) (do \(\widehat {BOD} = 50^\circ \)).

Do đó, ON là tia phân giác của \(\widehat {BOD}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.            b) Đúng.        c) Đúng.        d) Sai.

a) Sai. Vì A thuộc đường thẳng ab nên \(\widehat {aAc}\) và \(\widehat {bAc}\) là hai góc kề bù.

Do đó: \(\widehat {bAc} + \widehat {aAc} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {bAc} = 180^\circ - \widehat {aAc} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Ta có: \(2 \cdot \widehat {aAc} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \). Do đó \(\widehat {bAc} = 2 \cdot \widehat {aAc}\).

b) Đúng. Vì Ad là tia phân giác của \(\widehat {cAb}\) nên \(\widehat {cAd} = \widehat {dAb} = \frac{{\widehat {bAc}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \).

Do \(\widehat {dAa}\) và \(\widehat {dAb}\) kề bù nên \(\widehat {dAa} = 180^\circ - \widehat {dAb} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Vậy \(\widehat {dAa} = 120^\circ \).

c) Đúng. Do Ae là tia phân giác của \(\widehat {aAb}\) nên \(\widehat {eAa} = \frac{{\widehat {aAb}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

d) Sai. Do tia Ad nằm giữa hai tia Ae và Ab nên ta có:

\(\widehat {eAd} = \widehat {eAb} - \widehat {dAb} = 90^\circ - \frac{{\widehat {bAc}}}{2} = 90^\circ - \frac{{180^\circ - \widehat {aAc}}}{2} = 90^\circ - 90^\circ + \frac{{\widehat {aAc}}}{2} = \frac{{\widehat {aAc}}}{2}\)

Vì \(\widehat {eAd} = \frac{{\widehat {aAc}}}{2}\) nên khi số đo của \(\widehat {aAc}\) giảm thì số đo của \(\widehat {eAd}\) cũng giảm theo.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 130.

Vì tia OM là tia phân giác của \(\widehat {AOC}\) nên \(\widehat {AOC} = 2 \cdot \widehat {AOM} = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ \).

Do hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O nên \(\widehat {AOC}\) và \(\widehat {AOD}\) là hai góc kề bù.

Do đó, \(\widehat {AOC} + \widehat {AOD} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AOD} = 180^\circ - \widehat {AOC} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).

Vậy, \(\widehat {AOD} = 130^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 90.

Vì Om là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\) nên \(\widehat {yOm} = \frac{1}{2}\widehat {xOy}\).

Vì On là tia phân giác của \(\widehat {yOz}\) nên \(\widehat {yOn} = \frac{1}{2}\widehat {yOz}\).

Lại có, \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {yOz}\) là hai góc kề bù nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On.

Do đó, \(\widehat {mOn} = \widehat {yOm} + \widehat {yOn}\)\( = \frac{1}{2}\widehat {xOy} + \frac{1}{2}\widehat {yOz} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {xOy} + \widehat {yOz}} \right)\).

Mặt khác, do \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {yOz}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 180^\circ \).

Thay vào ta được: \(\widehat {mOn} = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {mOn} = 90^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 30.

Vì \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {yOz}\) là hai góc kề nhau nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.

Do đó, \(\widehat {xOz} = \widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 100^\circ + 60^\circ = 160^\circ \).

Vì Om là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\) nên \(\widehat {xOm} = \frac{{\widehat {xOy}}}{2} = \frac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ \).

Vì On là tia phân giác của \(\widehat {xOz}\) nên \(\widehat {xOn} = \frac{{\widehat {xOz}}}{2} = \frac{{160^\circ }}{2} = 80^\circ \).

Vì hai tia Om và On nằm cùng phía đối với đường thẳng chứa tia Ox và \(\widehat {xOm} < \widehat {xOn}\) (vì 50° < 80°) nên tia Om nằm giữa hai tia Ox và On.

Do đó: \(\widehat {xOm} + \widehat {mOn} = \widehat {xOn}\)

Suy ra \(\widehat {mOn} = \widehat {xOn} - \widehat {xOm} = 80^\circ - 50^\circ = 30^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 75.

Do tia Oa nằm giữa hai tia Ox và Oy nên ta có \(\widehat {xOa} + \widehat {aOy} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {xOa} = 180^\circ - \widehat {aOy} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Do \(\widehat {xOa} = \frac{2}{3}\widehat {yOb}\) suy ra \(\widehat {yOb} = \frac{3}{2}\widehat {xOa} = \frac{3}{2} \cdot 60^\circ = 90^\circ \).

Vì Om là tia phân giác của \(\widehat {xOa}\) nên \(\widehat {xOm} = \frac{{\widehat {xOa}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \).

Vì On là tia phân giác của \(\widehat {yOb}\) nên \(\widehat {yOn} = \frac{{\widehat {yOb}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

Do Ot là tia đối của tia Om và nên \(\widehat {yOt} = \widehat {xOm} = 30^\circ \) (hai góc đối đỉnh).

Do tia Oy nằm giữa hai tia Ot và On nên \(\widehat {tOn} = \widehat {tOy} + \widehat {yOn} = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ \).

Vậy \(\widehat {tOn} = 75^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 30.

Khu đất hình bán nguyệt ứng với góc bẹt \(\widehat {aOa'} = 180^\circ \).

Do \(\widehat {aOb}\) và \(\widehat {bOa'}\) là hai góc kề bù nên ta có:

\(\widehat {aOb} + \widehat {bOa'} = \widehat {aOa'}\)

\(45^\circ + \widehat {bOa'} = 180^\circ \)

\(\widehat {bOa'} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).

Do đó, số đo góc quay ứng với chế độ phun nhẹ là 135°.

Ta có vòi phun quay \(\widehat {aOb} = 45^\circ \) trong 10 giây nên ứng với mỗi 1°, vòi phun quay trong \(\frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}\) (giây).

Khi đó, thời gian để vòi phun quay \(\widehat {bOa'} = 135^\circ \) là \(135 \cdot \frac{2}{9} = 30\) (giây).

Vậy thời gian vòi tưới ở chế độ phun nhẹ là 30 giây.