Bài tập Định lý Viète & Ứng dụng lượng giác lớp 9 (có đáp án)
22 câu hỏi
a) \[{x_1} = 2\]; \[{x_2} = 8\] b) \[{x_1} = 5\]; \[{x_2} = 10\]
c) \[{x_1} = 1\]; \[{x_2} = 5\] d) \[{x_1} = 2\]; \[{x_2} = 5\]
e) \[{x_1} = - 1\]; \[{x_2} = 4\] g) \[{x_1} = - 4\]; \[{x_2} = 5\]
a) \[{x_1} = - 1\]; \[{x_2} = \frac{{1 - 2m}}{{m + 1}}\]
b) \[{x_1} = 1\]; \[{x_2} = \frac{{1 - m}}{{2m - 1}}\].
a) \[{x^2} - 18x + 80 = 0\] b) \[{x^2} - 2x - 80 = 0\]
c) \[4{x^2} - 13x + 3 = 0\] d) \[12{x^2} + 17x + 6 = 0\]
e) \[{x^2} - 2\sqrt 2 x - 1 = 0\].
Vì \(a + b = - 3\) và \(ab = - 4\) nen \(a,b\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 0\). Giải phương trình tren ta được \({x_1} = 1\) và \({x_2} = - 4\). Vậy nếu \(a = 1\) thì \(b = - 4\), nếu \(a = - 4\) thì \(b = 1\).
Vì \(\Delta = {5^2} - 4.1.2 = 17 > 0\) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Viète, ta có\({x_1} + {x_2} = 5,{x_1}{x_2} = 2\)
a) Ta có:
\(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2 \cdot 2 = 21\)
b) Ta có:
\(B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{5^2} - 4 \cdot 2} = \sqrt {17} \)
c) Vì \({x_1} + {x_2} > 0\) và \({x_1}{x_2} > 0\) nên \({x_1} > 0,{x_2} > 0\). Ta có
\(C = \frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3 \cdot x_2^3}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^3}}} = \frac{{{5^3} - 3 \cdot 2 \cdot 5}}{{{2^3}}} = \frac{{95}}{8}\)
d) Ta có:
1. \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)}^2}} = \sqrt {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} } = \sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \)\(.\)
Suy ra \(D = \frac{{{x_1}\sqrt {{x_1}} + {x_2}\sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}} \cdot \sqrt {{x_2}} }} = \frac{{\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)\left( {{x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right)}}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \frac{{\left( {5 - \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt 2 }}\)
a) Vì \(x + y = 18\) và \(xy = 77\) nên \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} - 18t + 77 = 0.\)
Giải phương trình trên ta được \(t = 7,t = 11\).
Vậy hai số \(x,y\) cần tìm là\(\left( {x;y} \right) = \left( {7;11} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {11;7} \right)\).
b) Vì \(x + y = - 3\) và \(xy = 5\) nên \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} + 3t + 5 = 0\)
Phương trình trên có \({\rm{\Delta }} = - 11 < 0\) nên vô nghiệm.
Vậy không tồn tại hai số \(x,y\) thỏa đề bài.
c) Vi \(x + \left( { - y} \right) = 2\sqrt 3 \) và \(x \cdot \left( { - y} \right) = - 1\) nên \(x, - y\) là hai nghiệm của phương trình
\({t^2} - 2\sqrt 3 t - 1 = 0\)
Giải phương trình trên ta được các nghiệm \(t = 2 - \sqrt 3 ,t = 2 + \sqrt 3 \).
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 3 }\\{ - y = - 2 + \sqrt 3 }\end{array}{\rm{\;\;}}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + \sqrt 3 }\\{ - y = 2 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)
Vậy hai số \(x,y\) cần tìm là\(\left( {x;y} \right) = \left( {2 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right),\left( {x;y} \right) = \left( { - 2 + \sqrt 3 ; - 2 - \sqrt 3 } \right)\).
d) Ta có:
\({x^2} + {y^2} = 34 \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy = 34 \Leftrightarrow {(x + y)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 2}\\{x + y = - 2.}\end{array}} \right.\)
Với \(x + y = 2\), ta được hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 2}\\{xy = - 15{\rm{\;\;}}}\end{array}} \right.\)
Suy ra, \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} - 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - 3}\\{t = 5{\rm{\;}}{\rm{.\;}}}\end{array}} \right.\)
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 3}\\{y = 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = - 3}\end{array}} \right.\)
Với \(x + y = - 2\), ta được hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = - 2}\\{xy = - 15}\end{array}} \right.\)
Suy ra, \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} + 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3}\\{t = - 5{\rm{\;\;}}}\end{array}} \right.\)
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = - 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5}\\{y = 3}\end{array}} \right.\)
Vậy hai số \(x,y\) cần tìm là\(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 3;5} \right),\left( {5; - 3} \right),\left( {3; - 5} \right);\left( { - 5;3} \right)} \right\}\).
1. Vì \(\Delta ' = {(m + 1)^2} - \left( {4m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2 = {(m - 1)^2} + 1 \ge 1,\forall m \in \mathbb{R}\)
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Hệ thức Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2}\\{{x_1}{x_2} = 4m - 1}\end{array}} \right.\)
Theo đề: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)
\( \Leftrightarrow 4{(m + 1)^2} - 2\left( {4m - 1} \right) = 10\)
\( \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
Vậy \(m = - 1,m = 1\) là giá trị cần tìm.
2. Hệ thức Viète:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{{x_1}{x_2}{\rm{ = 4m - 1 }}\,\,\,\,\,\,{\rm{(2)\;\;}}}\end{array}} \right.\)
Từ \(\left( 1 \right)\)ta được: \(2m = {x_1} + {x_2} - 2\)
Thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:\({x_1}.{x_2} = 2({x_1} + {x_2} - 2) - 1 \Leftrightarrow 2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5.\)
Biểu thức: \(2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5\) luôn đúng với mọi \(m.\)
Vậy đây là biểu thức cần tìm.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
a) \[\Delta = {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{3}{2}\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x_1} - 4{x_2} = 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] tìm \[{x_1}\], \[{x_2}\] rồi thay vào \[\left( 3 \right)\].
Chú ý: Có thể tìm \[{x_1}\], \[{x_2}\] từ phương trình đã cho rồi thay vào \[\left( 2 \right)\].
b) Phương trình có hai nghiệm đều âm khi
\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S < 0\\P < 0\end{array} \right.\] giải ra được \[m > 1\].
c) Khử \[m\] từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 3 \right)\].
a) \[0 < m < 3\]
c) \[m = 0\], \[m = 3\]
d) \[P = \left( {\frac{S}{2} + 1} \right)\left( {\frac{S}{2} - 2} \right)\]
e) \[m = - 1\], \[m = 2\]
a)
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo hệ thức Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\2{x_1}{x_2} = 2m - 6\end{array} \right.\]
\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} - 4 = 0\) không phụ thuộc vào \(m\).
c) \(P = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {m - 3} \right)\)
\( = {\left( {2m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} \ge \frac{{15}}{4}\), \(\forall m\)
Do đó \({P_{\min }} = \frac{{15}}{4}\) và dấu xảy ra khi \(2m - \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\)
Vậy \({P_{\min }} = \frac{{15}}{4}\) với \(m = \frac{5}{4}\).
a) \(\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.\left( {{m^2} - 1} \right) = 5 - 4m\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}\)
b) Phương trình hai nghiệm \( \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}\)
Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)
Theo đề bài:
\(\begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {x_1} - 3{x_2} = 5 - 4m\end{array}\)
Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\\{x_1} - 3{x_2} = 5 - 4m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{m + 1}}{2}\\{x_2} = \frac{{3(m - 1)}}{2}\end{array} \right.\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{m + 1}}{2} \cdot \frac{{3(m - 1)}}{2} = {m^2} - 1\\ \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 4\left( {{m^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow m = \pm 1\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện \( \Rightarrow m = \pm 1\) là các giá trị cần tìm
a) Với \(m = 1\) phương trình đã cho trở thành \({x^2} - 10x + 9 = 0\)
Ta có \(a + b + c = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 9\end{array} \right.\)
b) \(\Delta ' = {\left( { - 5m} \right)^2} - 1.9m = 25{m^2} - 9m\)
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 25{m^2} - 9m > 0\) (*)
Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 10m\\{x_1} - 9{x_2} = 0\\{x_1}{x_2} = 9m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10{x_2} = 10m\\{x_1} = 9{x_2}\\{x_1}{x_2} = 9m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = m\\{x_1} = 9m\\9{m^2} - 9m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = m\\{x_1} = 9m\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\end{array} \right.,(*) \Rightarrow m = 1\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\], \[{x_2}\] thì \(\Delta > 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {m - 1} \right) > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0\\ \Rightarrow m \ne \frac{3}{2}\end{array}\)
Mặt khác, theo hệ thức Viète và giả thiết ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \frac{{2m - 1}}{2}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}\\3{x_1} - 4{x_2} = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \] \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{{13 - 4m}}{7}\\ {x_2} = \frac{{7m - 7}}{{26 - 8m}}\\3\frac{{13 - 4m}}{7} - 4\frac{{7m - 7}}{{26 - 8m}} = 11\end{array} \right.\]
Giải phương trình \[3\frac{{13 - 4m}}{7} - 4\frac{{7m - 7}}{{26 - 8m}} = 11\]
Ta được \(\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 4,125\end{array} \right.\)
Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 4,125\end{array} \right.\) là các giá trị cần tìm
Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm \[{x_1}\], \[{x_2}\] là
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\{x_1} + {x_2} \ge 0\\{x_1}{x_2} \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 1 \ge 0\\2(m + 1) \ge 0\\2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 0\)
Theo hệ thức Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m\end{array} \right.\)
Ta có \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \le \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} \le 2\)
\( \Leftrightarrow 2m + 2 + 2\sqrt {2m} \le 2 \Leftrightarrow m = 0\) (thoả mãn)
Vậy \(m = 0\) là giá trị cần tìm.
Ta có \(\Delta = {\left( {2m} \right)^2} - 4.1.\left( {2m - 1} \right) = 4{m^2} - 8m + 4 = 4{\left( {m - 1} \right)^2}\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Delta > 0 \Rightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} > 0 \Rightarrow m \ne 1\)
Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right.\)
Ta có \(A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2 = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
\( = m\left( {m + 1} \right) + 2007 = \left( {2m - 1} \right)\left( { - 2m} \right) = - 4{m^2} + 2m = - 4\left( {{m^2} - \frac{1}{2}m} \right)\)
\( = - 4\left( {{m^2} - 2.m.\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{{16}}} \right) = - 4{\left( {m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\), \(\forall m\)
Dấu xảy ra \(m - \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}\)
Vậy \({A_{{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}}} = \frac{1}{4}\) với \(m = \frac{1}{4}\).
a) Ta có \[\Delta ' = {2^2} - 1.\left( {m + 3} \right)\]\[ = 4 - m - 3\] \[ = 1 - m\]
Để phương trình có nghiệm \[{x_1},\,{x_2}\] \[ \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\]
b) Theo câu a, ta có \[m \le 1\] thì phương trình có hai nghiệm \[{x_1},\,{x_2}\] thỏa hệ thức Viète:
\[\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{4}{1} = - 4\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{m + 3}}{1} = m + 3\end{array} \right.\]
Ta có \[x_1^2 + x_2^2 + x_1^2x_2^2 = 51\]\[ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 51 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( { - 4} \right)^2} - 2.\left( {m + 3} \right) + {\left( {m + 3} \right)^2} - 51 = 0\]\[ \Leftrightarrow 16 - 2m - 6 + {m^2} + 6m + 9 - 51 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 32 = 0\,\]\(\left( * \right)\)
\[\Delta ' = {2^2} - 1.\left( { - 32} \right) = 4 + 32 = 36 > 0;\,\sqrt {\Delta '} = \sqrt {36} = 6\]
Do ∆’ > 0 nên phương trình \(\left( * \right)\)có 2 nghiệm phân biệt:
\[{m_1} = \frac{{ - 2 + 6}}{1} = 4\] (loại); \[;{m_2} = \frac{{ - 2 - 6}}{1} = - 8\] (nhận)
Vậy \[{\rm{m}} = - 8\] là giá trị cần tìm.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
