22 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 20. Định lý Viète & Ứng dụng lượng giác có đáp án

Dùng định lí Viète đề nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a) \({x^2} - 10x + 16 = 0\); d) \({x^2} - 7x + 10 = 0\);

b) \({x^2} - 15x + 50 = 0\); e) \({x^2} - 3x - 4 = 0\);

c) \({x^2} - 6x + 5 = 0\); g) \({x^2} - x - 20 = 0\);

Dùng điều kiện \(a + b + c = 0\) hoặc \(a - b + c = 0\) để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) \((m + 1){x^2} + 3mx + 2m - 1 = 0\quad (m \ne  - 1)\).

b) \((2m - 1){x^2} - mx - m - 1 = 0\quad \left( {m \ne \frac{1}{2}} \right)\).

Lập các phương trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau:

a) 10 và 8; b) \(10\) và \( - 8\); c) \(3\) và \(\frac{1}{4}\);

d) \( - \frac{3}{4}\) và \( - \frac{2}{3}\); e) \(\sqrt 2  + \sqrt 3 \) và \(\sqrt 2  - \sqrt 3 \);

Tìm hai số \(a,b\) biết tổng \(S = a + b = - 3\) và tích \(P = ab = - 4\).

Cho phương trình \({x^2} - 5x + 2 = 0\). Không giải phương trình, gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức

a)\(A = x_1^2 + x_2^2.\) b)\(B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\).

c)\(C = \frac{1}{{x_1^3}} + \frac{1}{{x_2^3}}\). d)\(D = \frac{{{x_1}}}{{\sqrt {{x_2}} }} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt {{x_1}} }}\).

Tìm hai số \(x\) và \(y\) biết

a) \(x + y = 18\) và \(xy = 77\).

b) \(x + y =  - 3\) và \(xy = 5\).

c) \(x - y = 2\sqrt 3 \) và \(xy = 1\).

d) \({x^2} + {y^2} = 34\) và \(xy =  - 15\).

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m - 1 = 0{\rm{\;}}\) (1), với \(m\) là tham số.

1. Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).

2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) không phụ thuộc vào tham số \(m.\)

Phương trình \(3{x^2} + 7x + m = 0\) có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số \(m\) và tìm nghiệm còn lại.

a) Phưong trình \(0,1{x^2} - x + k = 0\) có một trong các nghiệm bằng \( - 1\). Xác định số \(k\) và tìm nghiệm còn lại.

b) Phương trình \(15{x^2} + bx - 1 = 0\) có một trong các nghiệm bằng \(\frac{1}{3}\). Xác định số \(b\) và tìm nghiệm còn lại.

Cho phương trình \(:{x^2} + (m + 1)x + m = 0\) \(\left( 1 \right)\)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm. Tìm nghiệm của (1);

b) Tìm \(m\) để \(x_1^2 + x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất nếu \({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của (1).

Cho phương trình \(2{x^2} + (2m - 1)x + m - 1 = 0\).

a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\) \({x_2}\) thoả điều kiện \(3{x_1} - 4{x_2} = 11\);

b) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm đều âm;

c) Tìm một hệ thức giữa \({x_1},\) \({x_2}\) không phụ thuộc vào \(m\).

Xác định \(K\) để phương trình sau có nghiệm \({x_1},\) \({x_2}\) thoả \({x_1} = 2{x_2}\).

a) \({x^2} + 6x + K = 0\); b) \({x^2} + Kx + 8 = 0\).

Xác định \(K\) để phương trình \({x^2} + 2x + K = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\)\({x_2}\) thỏa một trong các điều kiện sau:

a) \(x_1^2 - x_2^2 = 12\); b) \(x_1^2 + x_2^2 = 1\).

Giả sử \({x_1},\)\({x_2}\)là nghiệm phương trình: \({x^2} - (m - 3)x + 2m + 1 = 0.\) Tìm hệ thức giữa \({x_1},{x_2}\) không phụ thuộc \(m.\)

Cho phương trình \(:{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 3m = 0\).

a) Định \(m\) để phương trình có hai nghiệm trái dấu;

b) Định \(m\) để phương trình có đúng một nghiệm âm;

c) Định \(m\) để phương trình có một nghiệm bằng 0. Tìm nghiệm còn lại;

d) Tìm hệ thức giữa các nghiệm \({x_1},\)\({x_2}\) không phụ thuộc \(m\);

e) Định \(m\) để phương trình có hai nghiệm thoả: \(x_1^2 + x_2^2 = 8\).

Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) (\(m\) là tham số).

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào \(m\).

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x_1^2 + x_2^2\) (với \[{x_1}\], \[{x_2}\] là nghiệm của phương trình đã cho)

Cho phương trình \[{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\] (\[x\] là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của \[m\] để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định \[m\] để hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] của phương trình đã cho thỏa mãn: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1} - 3{x_2}\).

Cho phương trình \({x^2} - 10mx + 9m = 0\) (\(m\) là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với \(m = 1\).

b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] thỏa điều kiện \({x_1} - 9{x_2} = 0\)

Cho phương trình \(2{x^2} + (2m - 1)x + m - 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Không giải phương trình, tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\], \[{x_2}\] thỏa mãn \(3{x_1} - 4{x_2} = 11\)

Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m + 2} \right)x + 2m = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] thỏa mãn \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \le \sqrt 2 \)

Cho phương trình \({x^2} + 2mx + 2m - 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Gọi \[{x_1}\], \[{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của \(m\) để \(A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2\) đạt giá trị lớn nhất.

Cho phương trình \[{x^2} + 4x + m + 3 = 0\] (\[x\] là ẩn)

a) Tìm \[m\] để phương trình có nghiệm \[{x_1},\,{x_2}\]

b) Tìm \[m\] để phương trình có hai nghiệm \[{x_1},\,{x_2}\] thỏa \[x_1^2 + x_2^2 + x_1^2x_2^2 = 51\]