6 bài tập Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai (có lời giải)

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow |m| \ge 2\)

Theo hệ thức Viète : \(S = {x_1} + {x_2} = - m\,;\)\(P = {x_1}{x_2} = 1\).

a) Ta có \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {S^3} - 3PS = - {m^3} + 3m\).

b) \(\frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}} = {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} - 2\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \cdot \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \left( {\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}}} \right) - 2\).

\( = \left( {\frac{{{S^2} - 2P}}{P}} \right) - 2 = {\left( {{m^2} - 2} \right)^2} - 2 = {m^4} - 4m + 2\).

1. Với \(m = - 3\) ta có phương trình \({x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 8{\rm{\;}}{\rm{.\;}}}\end{array}} \right.\)

2. Phương trình \[\left( 1 \right)\]có 2 nghiệm phân biệt khi

\({\rm{\Delta '}} \ge 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + \left( {m + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + m + 3 \ge 0\)                           

          \( \Leftrightarrow {m^2} - m + 4 \ge 0\)
          \( \Leftrightarrow {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\) đúng với mọi \(m\)
Vậy chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo hệ thức Viète ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\\ x_1{x}_2=-m-3\end{array}\right.$
Ta có:

       \[\begin{array}{l}x_1^2 + {\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} = 10 & \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow 4{(m - 1)^2} + 2\left( {m + 3} \right) = 10 & \end{array}\]

          \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\rm{ }}4{m^2} - 6m + 10 = 10\\\; \Leftrightarrow {\rm{\;}}2m\left( {2m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = \frac{3}{2}.}\end{array}} \right.\end{array}\]

Vậy với \(m = 0\) hoặc \(m = \frac{3}{2}\)thỏa yêu cầu bài toán

\[\Delta  = {5^2} - 4.1.\left( {3m - 1} \right) = 29 - 12m\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ \Rightarrow \Delta  \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{{29}}{{12}}\]

Áp dụng hệ thức Viète \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 5\\{x_1}{x_2} = 3m - 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\)

\( \Rightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {25 - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\)

\( \Leftrightarrow 25\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right){x_1}{x_2} + 3{x_1}{x_2} = 75\)

\( \Rightarrow {x_1} - {x_2} = 3\)

Kết hợp \({x_1} + {x_2} =  - 5\) suy ra \({x_1} =  - 1;{x_2} =  - 4\) Thay vào \({x_1}{x_2} = 3m - 1\) suy ra  \(m = \frac{5}{3}\)

Vậy \(m = \frac{5}{3}\) là giá trị cần tìm

a) Với \(m = 0\), phương trình đã cho trở thành: \({x^2} - 2x - 1 = 0\)

\(\Delta ' = 2{\rm{ ; }}{{\rm{x}}_{1,2}} = 1 \pm \sqrt 2 \)

Vậy với \(m = 0\) thì nghiệm của phương trình đã cho là \({x_{1,2}} = 1 \pm \sqrt 2 \).

b) \(\Delta ' = m + 2\) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow m + 2 > 0 \Leftrightarrow m >  - 2\)

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + m - 1\end{array} \right.\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{2(m + 1)}}{{{m^2} + m - 1}} = 4\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 1 \ne 0\\m + 1 = 2({m^2} + m - 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 1 \ne 0\\2{m^2} + m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \( \Rightarrow m \in \left\{ {1; - \frac{3}{2}} \right\}\) là các giá trị cần tìm.

a)  Với \(m =  - 1\) phương trình trở thành \[\frac{1}{2}{x^2} + x - \frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 9 = 0\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} =  - 1 - \sqrt {10} \\{x_2} =  - 1 + \sqrt {10} \end{array} \right.\]

b)  Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta  > 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - 4.\frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{2}{m^2} + 4m - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow  - 8m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}\]

Để phương trình có nghiệm khác 0 \[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{m^2} + 4m - 1 \ne 0\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m_1} \ne  - 4 - 3\sqrt 2 \\{m_2} \ne  - 4 + 3\sqrt 2 \end{array} \right.\]

Ta có \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = {x_1} + {x_2} \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}{x_2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\{x_1}{x_2} - 1 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = 0\\{m^2} + 8m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4 - \sqrt {19} \\m =  - 4 + \sqrt {19} \end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện ta được \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4 - \sqrt {19} \end{array} \right.\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4 - \sqrt {19} \end{array} \right.\) là các giá trị cần tìm.

a)  Vì phương trình \({x^2} - 2x + m + 3 = 0\) có nghiệm \(x =  - 1\) nên ta có:

    \({( - 1)^2} - 2.( - 1) + m + 3 = 0 \Leftrightarrow m + 6 = 0 \Leftrightarrow m =  - 6\)

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

    \({x_1} + {x_2} = 2 \Leftrightarrow  - 1 + {x_2} = 2 \Leftrightarrow {x_2} = 3\)

Vậy \(m = 6\) và nghiệm còn lại là \(x = 3\).

b)  \(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( {m + 3} \right) =  - m - 2\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff m<-2$

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m + 3\end{array} \right.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}x_1^3 + x_2^3 = 8\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^3} - 3{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2}) = 8\\ \Leftrightarrow {2^3} - 3.(m + 3).2 = 8\\ \Leftrightarrow 6(m + 3) = 0\\ \Leftrightarrow m + 3 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow m =  - 3\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(m =  - 3\) là giá trị cần tìm.