Giải VTH Toán 9 KNTT Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng có đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí Viète cho phương trình 2x² – 4x + 1 = 0, ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{4}{2} = 2}\\{{x_1}{x_2} = \frac{1}{2}}\end{array}} \right..\)

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình 2x² – 4x + 1 = 0 là 2.

Áp dụng định lí Viète cho phương trình 2x² + 4x – 9 = 0, ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 4}}{2} = - 2}\\{{x_1}{x_2} = - \frac{9}{2}}\end{array}} \right..\)

Tích hai nghiệm của phương trình 2x² + 4x – 9 = 0 là \( - \frac{9}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Nếu 3 và −5 là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì theo định lí Viète, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 3 + \left( { - 5} \right) = - 2 = \frac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}{x_2} = 3.\left( { - 5} \right) = - 15 = \frac{c}{a}}\end{array}} \right..\)

Cả bốn đáp án trên đều có hệ số a = 1, suy ra b = 2 và c = −15.

Vậy hai số 3 và −5 là nghiệm của phương trình x² + 2x – 15 = 0.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí Viète cho phương trình x² – 5x + 3 = 0, ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 5}\\{{x_1}{x_2} = 3}\end{array}} \right..\)

Tổng bình phương các nghiệm là x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 5² – 2.3 = 19.

Vậy tổng bình phương các nghiệm là 19.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí Viète cho phương trình x² – 2mx – m = 0, ta có

a – b + c = 1 + 2m – m = m + 1.

Để phương trình x² – 2mx – m = 0 có hai nghiệm trong đó có một nghiệm là −1 thì

m + 1 = 0 hay m = −1.

Suy ra nghiệm còn lại là \( - \frac{c}{a} = - \frac{{ - m}}{1} = m.\)

Vậy nghiệm còn lại là m.

a) Ta có: \(\Delta = {\left( { - 12} \right)^2} - 4.8 = 112 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = 12; x₁x₂ = 8.

b) Ta có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.\left( { - 5} \right) = 161 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};\)\({x_1}{x_2} = - \frac{5}{2}.\)

c) Ta có: \(\Delta = - 4.3.\left( { - 10} \right) = 120 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = 0; \({x_1}{x_2} = - \frac{{10}}{3}.\)

d) Ta có: \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.3 = 1 - 12 = - 11 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 1} \right) = 5 > 0.\) Do đó, phương trình có hai nghiệm x₁, x₂.

a) Áp dụng định lí Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 1}}{1} = 1;\)\({x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - \frac{1}{1} = - 1.\)

b) Ta có \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1.\)

Ta có \(\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 3} \right) = 13 > 0.\) Do đó, phương trình có hai nghiệm x₁, x₂.

Theo định lí Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{1}{1} = - 1;\)\({x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3.\)

a) Ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = \left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) - 2{x_1}{x_2}\)

\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 3} \right) = 7.\)

b) Ta có: \(\frac{1}{{{x_1}^2}} + \frac{1}{{{x_2}^2}} = \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{7}{9};\)

\(\frac{1}{{{x_1}^2}}.\frac{1}{{{x_2}^2}} = \frac{1}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{1}{9}.\)

Vậy phương trình bậc hai nhận \(\frac{1}{{{x_1}^2}}\) và \(\frac{1}{{{x_2}^2}}\) làm nghiệm là \({x^2} - \frac{7}{9}x + \frac{1}{9} = 0.\)

a) Ta có: a + b + c = 2 + (−9) + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x₁ = 1; \({x_2} = \frac{7}{2}.\)

b) Ta có: a – b + c = 3 – 11 + 8 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x₁ = −1; \({x_2} = - \frac{8}{3}.\)

c) Gọi x₂ là nghiệm còn lại của phương trình.

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1}{x_2} = \frac{2}{7},\) suy ra \({x_2} = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{\frac{2}{7}}}{2} = \frac{1}{7}.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: x₁ = 2; \({x_2} = \frac{1}{7}.\)

a) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình bậc hai x² – 20x + 99 = 0.

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 20} \right)^2} - 4.99 = 4;\)\(\sqrt \Delta   = \sqrt 4 = 2.\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{20 + 2}}{2} = 11;\)\({x_2} = \frac{{20 - 2}}{2} = 9.\)

Vậy (u; v) = (11; 9) hoặc (u; v) = (9; 11).

b) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình bậc hai x² – 2x + 15 = 0.

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.15 = - 56 < 0.\)

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hai số u, v thỏa mãn điều kiện đã cho.

Với x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};\)\({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\)

Do đó \[a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = a{x^2} - a\left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + a{x_1}{x_2}\]

\( = a{x^2} - a.\left( { - \frac{b}{a}} \right).x + a.\frac{c}{a} = a{x^2} + bx + c.\)

Đó là điều phải chứng minh.

Áp dụng:

a) Do phương trình x² + 11x + 18 = 0 có hai nghiệm x₁ = −2, x₂ = −9 nên

x² + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9).

b) Do phương trình 3x² + 5x – 2 = 0 có hai nghiệm \({x_1} = \frac{1}{3},\) x₂ = −2 nên

\(3{x^2} + 5x - 2 = 3\left( {x - \frac{1}{3}} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {3x - 1} \right).\)

Nửa chu vi của bể bơi là 74 : 2 = 37 m.

Chiều rộng và chiều dài của bể bơi là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

x² – 37x + 300 = 0.

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 37} \right)^2} - 4.300 = 169;\)\(\sqrt \Delta   = \sqrt {169} = 13.\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm:

\({x_1} = \frac{{37 + 13}}{2} = \frac{{50}}{2} = 25;\)\({x_2} = \frac{{37 - 13}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12.\)

Vậy chiều rộng và chiều dài của bể bơi lần lượt là 12 m và 25 m.

Phương trình có nghiệm khi \(\Delta ' = {2^2} - m = 4 - m \ge 0,\) tức là khi m ≤ 4.

Khi đó, phương trình có hai nghiệm x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:\({x_1} + {x_2} = - 4,\)\({x_1}{x_2} = m.\)

Do đó: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( { - 4} \right)^2} - 2m = 16 - 2m = 10.\)

Suy ra 2m = 6, hay m = 3 (thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghiệm).

Vậy với m = 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.