Đáp án đúng là: D

Vì \(AB = 2A'B'\) nên \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = 2.\) Vì $∆ABC ~∆A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ nên \(\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}} = 2.\)

Đáp án đúng là: B

Vì $∆ABC ~∆HIK$ nên \(\widehat I = \widehat B = 60^\circ .\)

a) Đúng.

Vì $∆ABC ~∆MNP$ nên \(\widehat M = \widehat A = 90^\circ .\) Vậy \(\Delta MNP\) vuông tại \(M.\)

b) Đúng.

Vì \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\)diện tích \(\Delta MNP\) là: \({S_{MNP}} = \frac{1}{2} \cdot PM \cdot MN.\)

c) Sai.

Vì $∆ABC ~∆MNP$ nên \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{PM}} = \frac{{BC}}{{PN}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = 2.\)

d) Đúng.

Diện tích \(\Delta ABC\) là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC.\)

Ta có: \(\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{MNP}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC}}{{\frac{1}{2} \cdot PM \cdot MN}} = \frac{{AB}}{{MN}} \cdot \frac{{AC}}{{PM}} = 2 \cdot 2 = 4.\)

Vậy diện tích \(\Delta ABC\) gấp 4 lần diện tích \(\Delta MNP.\)

a) Đúng.

Vì \(\widehat C = \widehat {ANM},\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(MN\;{\rm{//}}\;BC.\)

b) Sai.

Vì \(MN\;{\rm{//}}\;BC\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\) nên

c) Đúng.

Vì $∆AMN ~∆ABC$ nên \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{5}{{5 + 3}} = \frac{5}{8}.\) Vậy \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{5}{8}.\)

d) Sai.

Ta có: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN + AM + AN}}{{AB + AC + BC}} = \frac{5}{8}.\)

Vì chu vi \(\Delta ABC\) bằng \(40\;\,{\rm{cm}}\) nên \(AB + AC + BC = 40\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Do đó, \(\frac{{MN + AM + AN}}{{40}} = \frac{5}{8},\) suy ra \(MN + AM + AN = 25\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy chu vi \(\Delta MNP\) bằng \(25\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

Vì \(\widehat A = \widehat C,\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AB\;{\rm{//}}\;CE.\)

b) Đúng.

Vì \(AB\;{\rm{//}}\;CE\) nên

c) Đúng.

Vì $∆DAB ~ ∆DCE$ nên \(\Delta DAB\) đồng dạng với \(\Delta DCE\) theo tỷ số đồng dạng là: \(\frac{{AB}}{{CE}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(\Delta DAB\) đồng dạng với \(\Delta DCE\) theo tỷ số đồng dạng bằng \(\frac{1}{2}.\)

d) Sai.

Vì $∆DAB ~ ∆DCE$ nên \(\frac{{BD}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{CE}} = \frac{1}{2}\) hay \(\frac{x}{4} = \frac{1}{2}\) suy ra \(x = 2\;\,{\rm{cm}}.\) Vậy \(x < 3\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Sai.

\(\Delta ABC\) có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\;\,\left( { = \frac{2}{3}} \right)\) nên \(MN\;{\rm{//}}\;BC\) (định lí Thalès đảo).

b) Đúng.

\(\Delta ABC\) có \(MN\;{\rm{//}}\;BC\) nên  $∆AMN ~∆ABC$

c) Đúng.

\(\Delta APB\) và \(\Delta AMN\) có: \(AP = AM,\;\,AB = AN,\;\,\widehat A\) chung nên \(\Delta APB = \Delta AMN\;\,\left( {c - g - c} \right).\)

Vậy \(\Delta APB = \Delta AMN.\)

d) Sai.

Vì \(\Delta APB = \Delta AMN.\), $∆AMN ~∆ABC$ nên $∆APB ~∆ABC$

a) Đúng.

Vì \(E,\;\,F\) lần lượt là trung điểm của \(DC,\;\,AC\) nên \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta ADC.\)

Suy ra \(EF\;{\rm{//}}\;AD.\)

b) Sai.

\(\Delta CAD\) có \(EF\;{\rm{//}}\;AD\) nên  theo tỉ số đồng dạng \(\frac{{CF}}{{AC}} = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(\Delta CEF\) đồng dạng với \(\Delta CDA\) theo tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{2}.\)

c) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD = BC,\;\,DC = AB.\)

\(\Delta CAD\) và \(\Delta ACB\) có: \(AD = BC,\;\,DC = AB,\;\,AC\) chung nên \(\Delta CAD = \Delta ACB\;\,\left( {c - c - c} \right).\)

d) Đúng.

Vì \(\Delta CAD = \Delta ACB\) nên  theo tỉ số đồng dạng là 1.

Mà \(\Delta CEF\) đồng dạng với \(\Delta CDA\) theo tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{2}.\)

Suy ra \(\Delta CEF\) đồng dạng với \(\Delta ACB\) theo tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(\Delta CEF\) đồng dạng với \(\Delta ACB\) theo tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{2}.\)

Đáp án: \(2\)

Vì \(M,\;\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;\,AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)

Suy ra $∆ABC ~∆AMN$ theo tỉ số đồng dạng \(\frac{{AB}}{{AM}} = 2.\)

Vậy$∆ABC ~∆AMN$ theo tỉ số đồng dạng 2.

Đáp án: \(30\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{\widehat A}}{1} = \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{\widehat C}}{3} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{{180^\circ }}{6} = 30^\circ .\)

Suy ra: \(\widehat A = 30^\circ \cdot 1 = 30^\circ .\)

Vì $∆ABC ~∆MNP$nên \(\widehat M = \widehat A = 30^\circ .\) Vậy \(\widehat M = 30^\circ .\)

Đáp án: \(4\)

Vì \(AB = 2HI\) nên \(\frac{{AB}}{{HI}} = 2.\)

Vì $∆ABC ~∆HIK$nên \(\frac{{AC}}{{HK}} = \frac{{AB}}{{HI}} = 2;\;\,\widehat H = \widehat A = 90^\circ .\)

Diện tích \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC.\)

Diện tích \(\Delta HIK\) vuông tại \(H\) là: \({S_{HIK}} = \frac{1}{2}HI \cdot HK.\)

Do đó: \(\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{HIK}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AB \cdot AC}}{{\frac{1}{2}HI \cdot HK}} = \frac{{AB}}{{HI}} \cdot \frac{{AC}}{{HK}} = 2 \cdot 2 = 4.\)

Vậy diện tích \(\Delta ABC\) gấp 4 lần diện tích  \(\Delta HIK.\)

Đáp án: \(70\)

Vì  $∆ABC ~∆DEF$ nên \(\widehat D = \widehat A = 40^\circ .\)

\(\Delta DEF\) có: \(\widehat D + \widehat E + \widehat F = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác) nên \(40^\circ + \widehat E + 70^\circ = 180^\circ .\)

Vậy \(\widehat E = 70^\circ .\)