Đáp án đúng là: D

Câu sai là: Hình chữ nhật có hai cạnh bằng nhau là hình vuông.

Đáp án đúng là: D

Từ hình vẽ, nhận thấy \(ABCD\) là hình vuông theo dấu hiệu hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Do đó, chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Độ dài cạnh của hình vuông có chu vi bằng 28 cm là: .

a) Đúng.

Tứ giác \(ABCD\) có: Hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(Q.\) Mà \(Q\) vừa là trung điểm của \(AC\) vừa là trung điểm của \(BD\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Lại có: \(AC \bot BD\) tại \(Q\) nên hình bình hành \(ABCD\) là hình thoi.

b) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(BC = AB = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Vậy \(BC = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

c) Sai.

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {BAD}.\) Do đó, \(\widehat {QAD} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ  = 65^\circ .\)

Tam giác \(QAD\) vuông tại \(Q\) nên \(\widehat {QAD} + \widehat {QDA} = 90^\circ .\) Do đó, \(\widehat {QDA} = 90^\circ  - \widehat {QAD} = 90^\circ  - 65^\circ  = 25^\circ .\)

Vậy \(\widehat {ADB} = 25^\circ .\)

d) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(CA\) là tia phân giác của \(\widehat {BCD}.\)

Để hình thoi \(ABCD\) là hình vuông thì \(\widehat {BCD} = 90^\circ .\) Khi đó, \(\widehat {ACD} = \frac{1}{2}\widehat {BCD} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ  = 45^\circ .\)

Vậy để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông thì cần thêm điều kiện \(\widehat {ACD} = 45^\circ .\)

Đáp án: 225

Độ dài cạnh của hình vuông có chu vi bằng 60 cm là \(60:4 = 15{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Diện tích của hình vuông đó bằng \(15 \cdot 15 = 225{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Đáp án: \(6\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {ABM} = \widehat {BAN} = \widehat C = 90^\circ ,\;AB = CD.\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC.\)

Tam giác \(ABM\) và tam giác \(DCM\) có: \(\widehat {ABM} = \widehat C = 90^\circ ,\;AB = CD,\;BM = MC.\)

Do đó, \(\Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)\) nên \(AM = DM.\)

Suy ra, \(\Delta ADM\) cân tại \(M.\) Do đó, \(MN\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta ADM.\)

Do đó, \(\widehat {ANM} = 90^\circ .\)

Tứ giác \(ANMB\) có: \(\widehat {ABM} = \widehat {BAN} = \widehat {ANM} = 90^\circ \) nên tứ giác \(ANMB\) là hình chữ nhật \(\left( 1 \right).\)

Suy ra: \(\widehat {BMN} = 90^\circ \;\left( 2 \right).\)

Vì \(AM \bot MD\) nên \(\widehat {AMD} = 90^\circ .\)

Vì \(MN\) là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của \(\Delta ADM\) nên

\(\widehat {AMN} = \frac{1}{2}\widehat {AMD} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ  = 45^\circ \;\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 2 \right),\;\left( 3 \right)\) ta có: \(MA\) là tia phân giác của \(\widehat {BMN}\;\left( 4 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 4 \right)\) ta có: Tứ giác \(ANMB\) là hình vuông. Do đó, \(BN = AM = 6\;{\rm{cm}}.\)

Đáp án: 7,1

Giả sử hình vuông \(ABCD\) có chu vi bằng 20 cm.

Do đó, độ dài cạnh của hình vuông đó là: \(20:4 = 5{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Gọi giao điểm của hai đường chéo \(AC,BD\) là \(I.\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \(AID,\) ta có:

\(A{I^2} + I{D^2} = A{D^2}\) hay \(2A{I^2} = {5^2}\) nên \(AI = \sqrt {\frac{{25}}{2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Mà \(AC = 2AI = 2\sqrt {\frac{{25}}{2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right) \approx 7,1{\rm{ cm}}\).

Vậy độ dài đường chéo của hình vuông đó bằng 7,1 cm.

Đáp án: \(45\)

Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = 45^\circ .\)

Vì \(GD \bot BC,\;FE \bot BC\) nên \(\widehat {GDB} = \widehat {FEC} = \widehat {FED} = 90^\circ .\)

Tam giác \(BDG\) có: \(\widehat B = 45^\circ ,\;\widehat {GDB} = 90^\circ \) nên tam giác \(BDG\) vuông cân tại \(D.\) Do đó, \(BD = DG.\)

Tam giác \(FEC\) có: \(\widehat C = 45^\circ ,\;\widehat {FEC} = 90^\circ \) nên tam giác \(FEC\) vuông cân tại \(E.\) Do đó, \(FE = EC.\)

Vì \(BD = DG,\;FE = EC,\;BD = DE = EC\) nên \(DG = DE = FE.\)

Tứ giác \(GFED\) có: \(DG = FE,\;DG{\rm{//}}FE\) (cùng vuông góc với \(BC\)) nên tứ giác \(GFED\) là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat {FED} = 90^\circ \) nên tứ giác \(GFED\) là hình chữ nhật.

Mà \(DG = DE\) nên tứ giác \(GFED\) là hình vuông.

Suy ra: \(\widehat {DGF} = 90^\circ \) và \(GE\) là tia phân giác của \(\widehat {DGF}.\) Do đó, \(\widehat {DGE} = \frac{1}{2}\widehat {DGF} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ  = 45^\circ .\)

Vậy \(\widehat {DGE} = 45^\circ .\)

Đáp án: \(45\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD = DA,\;\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ .\)

Vì \(AB = BC = CD = DA,\;AE = BF = CG = HD\) nên:

\(AB - AE = BC - BF = CD - CG = DA - HD\) hay \(EB = FC = DG = AH.\)

Tam giác \(AEH\) và tam giác \(BFE\) có: \(\widehat A = \widehat B = 90^\circ ,\;AE = BF,\;AH = EB.\)

Suy ra: \(\Delta AEH = \Delta BFE\;\left( {c - g - c} \right)\) nên \(HE = EF.\)

Chứng minh tương tự ta có:

+ \(\Delta CGF = \Delta BFE\;\left( {c - g - c} \right)\) nên \(GF = EF.\)

+ \(\Delta CGF = \Delta DHG\;\left( {c - g - c} \right)\) nên \(GF = HG.\)

+ \(\Delta AEH = \Delta DHG\;\left( {c - g - c} \right)\) nên \(HE = HG.\)

Do đó, \(HE = EF = FG = GH.\) Suy ra, tứ giác \(HEFG\) là hình thoi \(\left( 1 \right).\)

Vì \(\Delta AEH = \Delta BFE\;\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {BEF}.\)

Ta có: \(\widehat {AHE} + \widehat {HEA} = 90^\circ \) nên \(\widehat {FEB} + \widehat {HEA} = 90^\circ .\)

Mà \(\widehat {HEA} + \widehat {HEF} + \widehat {FEB} = 180^\circ \) nên \(\widehat {HEF} = 180^\circ  - \left( {\widehat {FEB} + \widehat {HEA}} \right) = 90^\circ \;\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) ta có tứ giác \(HEFG\) là hình vuông. Do đó, \(EG\) là tia phân giác của \(\widehat {HEF}.\)

Suy ra: \(\widehat {HEG} = \frac{1}{2}\widehat {HEF} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ  = 45^\circ .\) Vậy \(\widehat {HEG} = 45^\circ .\)