Đáp án đúng là: D

Để đường thẳng \(y = \left( {m + 2} \right)x + 6\) song song với đường thẳng \(y = x + 1\) thì \(m + 2 = 1\) và \(6 \ne 1\) (luôn đúng). Suy ra \(m = - 1\) (thỏa mãn). Vậy \(m = - 1.\)

Đáp án đúng là: A

Vì \( - 5 \ne 5\) nên đường thẳng \(y = 5x + 4\) cắt đường thẳng \(y = - 5x + 4.\)

Các đường thẳng \(y = 5x - 4;\;\,y = 5x;\;\,y = 8 + 5x\) song song với đường thẳng \(y = 5x + 4.\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(y = \frac{1}{2}\left( {2x + 2} \right) - 4 = x + 1 - 4 = x - 3.\) Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc bằng 1.

a) Sai.

Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;\;2} \right)\) nên \(2 = a \cdot 1 + 3\) suy ra \(a = - 1.\)

Vậy hệ số góc của đường thẳng \(\left( d \right)\) là số âm.

b) Sai.

Với \(a = - 1\) thì \(\left( d \right):\;\,y = - x + 3.\)

Vì \(B\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và trục \(Ox\) nên tung độ của điểm \(B\) bằng 0.

Do đó, \(0 = - x + 3,\) suy ra \(x = 3.\) Do đó, \(B\left( {3;\;\,0} \right).\)

Vì \(C\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và trục \(Oy\) nên hoành độ của điểm \(C\) bằng 0.

Do đó, \(y = - 0 + 3.\) Do đó, \(C\left( {0;\;\,3} \right).\)

c) Đúng.

Đường thẳng \(\left( d \right)\) được vẽ như hình vẽ dưới đây:

Vì \(OB = OC = 3\) và tam giác \(BOC\) vuông tại \(O\) nên tam giác \(BOC\) là tam giác vuông cân tại \(O.\)

d) Sai.

Vì tam giác \(BOC\) vuông cân tại \(O\) nên \(\widehat {OBC} = 45^\circ .\)

Do đó, góc tạo bởi đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là: \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ .\)

Vậy góc tạo bởi đồ thị hàm số đã cho và trục hoành bằng \(135^\circ .\)

a) Đúng.

Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(O\left( {0;\;\,0} \right)\) nên \(0 = a \cdot 0 + b,\) suy ra \(b = 0.\) Vậy \(b = 0.\)

b) Sai.

Với \(b = 0\) thì \(\left( d \right):y = ax.\)

Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;\;\, - 2} \right)\) nên \( - 2 = a \cdot 1,\) suy ra \(a = - 2.\)

Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc bằng \( - 2.\)

c) Sai.

Vì \( - 2 = - 2;\;\,0 \ne 5\) nên đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right).\)

d) Sai.

Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) nên hai đường thẳng này không có điểm chung.

Vậy không có điểm nào vừa thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) vừa thuộc đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right).\)

a) Đúng.

Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc bằng \( - 1\) nên \(m = - 1\) (thỏa mãn). Vậy \(\left( d \right):\;\,y = - x - 2.\)

b) Sai.

Vì \(A\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với trục tung nên hoành độ của điểm \(A\) bằng 0.

Do đó, \(y = - 0 - 2,\) suy ra \(y = - 2.\) Vậy \(A\left( {0;\;\, - 2} \right).\)

c) Đúng.

Vì \(B\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với trục hoành nên tung độ của điểm \(B\) bằng 0.

Do đó, \(0 = - x - 2,\) suy ra \(x = - 2.\) Vậy \(B\left( { - 2;\;\,0} \right).\)

d) Đúng.

Vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) ta được:

Ta thấy: \(\Delta OAB\) là tam giác vuông và \(OA = OB = 2.\) Do đó, tam giác \(\Delta OAB\) là tam giác vuông cân.

a) Đúng.

Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(B\left( {0;\;2} \right)\) nên \(2 = a \cdot 0 + b,\) suy ra \(b = 2.\) Vậy \(b = 2.\)

b) Sai.

Với \(b = 2\) thì \(y = ax + 2.\)

Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;\;\,3} \right)\) nên \(3 = a \cdot 1 + 2,\) suy ra \(a = 1.\) Vậy \(a < b.\)

c) Đúng.

Vì \(1 = 1,\;\,1 \ne 2\) nên đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right).\)

d) Sai.

Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) nên góc tạo bởi đường thẳng \(\left( d \right)\) với trục \(Ox\) bằng góc tạo bởi đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục \(Ox.\)

a) Sai.

Ta có: \(\left( {{d_1}} \right):y = \frac{{4x - 1}}{2} = 2x - \frac{1}{2}.\) Vậy đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) có hệ số góc bằng 2.

b) Đúng.

Ta có: \(\left( {{d_2}} \right):y = - \frac{1}{2}\left( {2x + 2} \right) = - x - 1.\)

Vì \( - 1 < 0\) nên góc tạo bởi đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) và trục hoành là góc tù.

c) Đúng.

Vì \( - 1 \ne 2\) nên đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) cắt đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right).\)

d) Sai.

Gọi \(A\left( {{x_0};\;\,{y_0}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right).\)

Khi đó, \({y_0} = 2{x_0} - \frac{1}{2}\) và \({y_0} = - {x_0} - 1.\) Suy ra \( - {x_0} - 1 = 2{x_0} - \frac{1}{2}\) hay \({x_0} = \frac{{ - 1}}{6}.\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) có hoành độ âm.

Đáp án: \(1\)

Vì đường thẳng \(y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + 2m\) song song với đường thẳng \(y = 3x + 4\) nên \({m^2} - 1 = 3\) và \(2m \ne 4.\)

Suy ra \(m = 2\) hoặc \[m = - 2\] và \(m \ne 2.\) Suy ra \(m = - 2.\)

Vậy có một giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \(4\)

Vì \( - 4x + y = 4\) nên \(y = 4x + 4.\) Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc bằng 4.

Đáp án: \(3\)

Gọi \(I\left( {{x_0};\;\,{y_0}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right).\)

Khi đó, tọa độ \(I\) thỏa mãn \({y_0} = 2{x_0} + 1\) và \({y_0} = {x_0} - 1.\) Suy ra \(2{x_0} + 1 = {x_0} - 1\) hay \({x_0} = - 2.\)

Suy ra \(I\left( { - 2;\;\,{y_0}} \right).\)

Vì điểm \(I\left( { - 2;\;\,{y_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) nên \({y_0} = 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 = - 3.\) Suy ra \(I\left( { - 2;\;\, - 3} \right).\)

Để 3 đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\;\,\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) đồng quy tại một điểm thì \(I\left( { - 2;\;\, - 3} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right).\)

Do đó: \( - 3 = m \cdot \left( { - 2} \right) + 3\) suy ra \(m = 3.\) Vậy \(m = 3\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \(8\)

Vì đường thẳng \(y = ax + b\) có hệ số góc bằng 4 nên \(a = 4\) (thỏa mãn). Do đó, \(y = 4x + b.\)

Vì đường thẳng \(y = 4x + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 hoành độ của điểm đó bằng 0.

Suy ra \(2 = 4 \cdot 0 + b\) nên \(b = 2.\)

Ta có: \(a \cdot b = 4 \cdot 2 = 8.\) Vậy \(a \cdot b = 8.\)

Đáp án: \(9\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc bằng \( - 1\) nên đường thẳng \(\left( d \right)\) có dạng \(y = - x + b.\)

Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;\;4} \right)\) nên \(4 = - 1 + b,\) suy ra \(b = 5.\) Do đó: \(\left( d \right):y = - x + 5.\)

Thay \(x = - 4\) vào \(\left( d \right):y = - x + 5\) ta có: \(y = - \left( { - 4} \right) + 5 = 9.\) Do đó, \(I\left( { - 4;\;\,9} \right).\) Vậy \(m = 9.\)