Đáp án đúng là: C

Thể tích của hình chóp tam giác đều là: \(\frac{1}{3} \cdot 20 \cdot 6 = 40\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là: \(40:2 \cdot 6 = 120\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(SM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác \(SBC.\)

Do đó, \(SM\) là trung đoạn của hình chóp \(S.ABC.\)

a) Đúng.

Vì \(O\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(BK\) và \(CD\) của tam giác \(ABC\) nên \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

b) Đúng.

Vì \(AO\) cắt \(BC\) tại \(I\) và \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AI\) là trung tuyến của tam giác \(ABC.\) Do đó, \(I\) là trung điểm của \(BC.\)

c) Đúng.

Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên tam giác \(SBC\) cân tại \(S.\) Do đó, \(SI\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác \(SBC.\) Do đó, \(SI\) là trung đoạn của hình chóp \(S.ABC.\)

d) Sai.

Ta có: \(SI = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABC\) là: \(\frac{1}{2}\left( {12 + 12 + 12} \right) \cdot 16 = 288\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABC\) bằng \(288\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

a) Sai.

Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên tam giác \(ABC\) là tam giác đều và tam giác \(SAB\) là tam giác cân tại \(S.\)

b) Đúng.

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(CH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)

Do đó, \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

c) Đúng.

Vì tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) nên \(SH\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác \(SAB.\)

Vậy \(SH\) là trung đoạn của hình chóp \(S.ABC.\)

d) Sai.

Vì \(SH\) là trung đoạn của hình chóp \(S.ABC\) nên \(SH = \frac{{60 \cdot 2}}{{4 \cdot 3}} = 10\,\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(SH = 10\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

Vì \(SI\;\,\left( {I \in BC} \right)\) là trung đoạn của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) nên \(SI\) là đường cao của tam giác \(SBC.\) Mà tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(SI\) là đường trung tuyến của tam giác \(SBC.\)

Vậy \(I\) là trung điểm của \(BC.\)

b) Đúng.

Vì \(AI\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) và \(OI = \frac{1}{3}AI\) nên \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

c) Đúng.

Vì \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(SO\) là đường cao của hình chóp tam giác đều \(S.ABC.\)

d) Sai.

Thể tích hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là: \(V = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 30 = 90\,\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Vậy thể tích của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) bằng \(90\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)

a) Đúng.

Độ dài cạnh đáy của hình chóp tam giác là: \(12:3 = 4\;\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy độ dài cạnh đáy của hình chóp tam giác là \(4\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

b) Đúng.

Độ dài trung đoạn của hình chóp bằng: \(4 \cdot \frac{3}{4} = 3\;\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy độ dài trung đoạn của hình chóp bằng \(3\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

c) Sai.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là: \(\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 18\;\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích cần sơn bằng \(36\;\,{{\rm{m}}^2}.\)

d) Sai.

Tổng số tiền cần sơn là: \(18 \cdot 50 = 900\) (nghìn đồng). Vậy tổng số tiền cần sơn nhỏ hơn 1 triệu đồng.

Đáp án: 192

Ta có: \(AB = 2HB = 2 \cdot 4 = 8\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(SAB\) là tam giác cân tại \(S.\) Do đó, \(SH\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác \(SAB.\) Do đó, \(SH\) là trung đoạn của hình chóp \(S.ABC.\)

Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABC\) là: \(S = \frac{1}{2} \cdot 3AB \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot 16 = 192\,\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABC\) là \(192\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Đáp án: 2

Gọi chiều cao và diện tích đáy của hình chóp tam giác đều ban đầu lần lượt là \({h_1}\) và \({S_1}.\)

Khi tăng chiều cao của hình chóp đó lên 2 lần thì chiều cao của hình chóp mới là \(2{h_1}.\)

Thể tích hình chóp tam giác ban đầu là: \({V_1} = \frac{1}{3} \cdot {S_1} \cdot {h_1}.\)

Thể tích hình chóp tam giác mới là: \({V_2} = \frac{1}{3} \cdot {S_1} \cdot 2{h_1}.\)

Ta có: \(\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{\frac{1}{3} \cdot {S_1} \cdot 2{h_1}}}{{\frac{1}{3} \cdot {S_1} \cdot {h_1}}} = 2.\) Vậy \(\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = 2.\)

Đáp án: 0,6

Gọi diện tích đáy, thể tích và chiều cao của chiếc gàu lần lượt là \(S;\;\,V;\;\,h.\)

Theo đầu bài ta có: \(12V = 12 \cdot \frac{1}{3}S \cdot h = 4Sh.\)

Vì mực nước trong bình tăng lên \(2,4\,\;{\rm{m}}\) nên \(4Sh = S \cdot 2,4\) nên \(h = 0,6\;\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy chiều cao của chiếc gàu là \(0,6\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Đáp án: 6

Chiều cao của hình chóp tam giác đều là: \(36 \cdot 3:18 = 6\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy chiều cao của hình chóp tam giác đều đó bằng \(6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: 180

Vì đường cao kẻ đỉnh hình chóp tới cạnh đáy bằng \(12\;\,{\rm{cm}}\) nên trung đoạn của hình chóp bằng \(12\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh của món đồ chơi là: \(\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 \cdot 12 = 180\,\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích giấy để làm vỏ bọc ba mặt bên của món đồ chơi này là \(180\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)