10 Bài tập Sử dụng phương pháp tổ hợp (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ 40 học sinh. Số phần tử của không gian mẫu  $\text{n}\left(\text{Ω}\right){\text{ = C}}_{\text{40}}^{\text{2}}\text{ = 780}$.

Gọi A là biến cố: “Gọi hai học sinh tên Anh lên bảng”

Ta có  $\text{n}\left(\text{A}\right){\text{ = C}}_{\text{4}}^{\text{2}}\text{ = 6}$.

Vậy xác suất cần tìm là  $\text{P}\left(\text{A}\right)\text{ = }\frac{\text{6}}{\text{780}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{130}}$.

Đáp án đúng là: B

Chọn mỗi hộp 1 viên bi. Số phần tử của không gian mẫu:  $n\left(\Omega \right)=C_{15}^1\cdot C_{18}^1=270.$

Biến cố A: “Hai viên bi được lấy ra có cùng màu”

Trường hợp 1: 2 viên màu trắng, có  $C_4^1\cdot C_7^1=28$ cách chọn.

Trường hợp 2: 2 viên màu đỏ, có  $C_5^1\cdot C_6^1=30$ cách chọn.

Trường hợp 3: 2 viên màu xanh, có  $C_6^1\cdot C_5^1=30$ cách chọn.

Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: 28 + 30 + 30 = 88.

Suy ra n(A) = 88.

Vậy xác suất cần tìm là  $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{88}{270}=\frac{44}{135}$.

Đáp án đúng là: A

Xét phép thử: “ Chọn 3 câu hỏi từ 15 câu hỏi”. Suy ra,  $\text{n}\left(\text{Ω}\right){\text{ = C}}_{\text{15 }}^{\text{3}}\text{= 455.}$

Gọi A là biến cố: “ Chọn được đúng 1 câu hình”

– Có  ${\text{C}}_{\text{5}}^{\text{1}}$ cách chọn 1 câu từ 5 câu Hình học.

– Có  ${\text{C}}_{\text{10}}^{\text{2}}$ cách chọn 2 câu trong 10 câu Đại số.

Suy ra  $\text{n}\left(\text{A}\right){\text{= C}}_{\text{5}}^{\text{1}}\cdot {\text{C}}_{\text{10}}^{\text{2}}\text{ = 225.}$

Xác suất biến cố A là:  $\text{P}\left(\text{A}\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{225}{455}=\frac{45}{91}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có mỗi học sinh có 6 cách chọn quầy phục vụ nên  $\text{n}\left(\text{Ω}\right){\text{ = 6}}^{\text{5}}$.

Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn 3 học sinh trong 5 học sinh để vào cùng một quầy  ${\text{C}}_{\text{5}}^{\text{3}}$.

Sau đó chọn 1 quầy trong 6 quầy để các em vào là  ${\text{C}}_{\text{6}}^{\text{1}}$.

Còn 2 học sinh còn lại có  ${\text{C}}_{\text{5}}^{\text{1}}$ cách chọn quầy để vào cùng.

Nên  $\text{n}\left(\text{A}\right){\text{ = C}}_{\text{5}}^{\text{3}}\cdot {\text{C}}_{\text{6}}^{\text{1}}\cdot {\text{C}}_{\text{5}}^{\text{1}}$.

Vậy  $\text{P}\left(\text{A}\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{{\text{C}}_{\text{5}}^{\text{3}}\cdot {\text{C}}_{\text{6}}^{\text{1}}\cdot {\text{C}}_{\text{5}}^{\text{1}}}{{\text{6}}^{\text{5}}}.$

Đáp án đúng là: C

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ 9 viên trong hộp. Số phần tử không gian mẫu:  $\text{n}\left(\text{Ω}\right){\text{ = C}}_{\text{9}}^{\text{3}}.$

Gọi biến cố A: “Lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh”.

Trường hợp 1: 2 viên màu xanh, 1 viên khác màu xanh. Có  ${\text{C}}_{\text{5}}^{\text{2}}\cdot {\text{C}}_{\text{4}}^{\text{1}}$ cách chọn

Trường hợp 2: 3 viên màu xanh có  ${\text{C}}_{\text{5}}^{\text{3}}$ cách chọn

Suy ra  .$\text{n}\left(\text{A}\right){\text{ = C}}_{\text{5}}^{\text{2}}\cdot {\text{C}}_{\text{4}}^{\text{1}}{\text{ + C}}_{\text{5}}^{\text{3}}$

Vậy  $\text{P}\left(\text{A}\right)\text{ = }\frac{{\text{C}}_{\text{5}}^{\text{2}}\cdot {\text{C}}_{\text{4}}^{\text{1}}{\text{+C}}_{\text{5}}^{\text{3}}}{{\text{C}}_{\text{9}}^{\text{3}}}\text{ = }\frac{\text{25}}{\text{42}}$.

Đáp án đúng là: B

Chọn ngẫu nhiên 5 em từ 8 học sinh. Số phần tử của không gian mẫu là:  $\text{n}\left(\Omega \right){\text{ = C}}_{\text{8}}^{\text{5}}\text{ = 56}$.

Gọi A là biến cố: “5 học sinh được chọn đi thi có cả nam và nữ và học sinh nam nhiều hơn học sinh nữ”.

Xét các khả năng xảy ra của A

Trường hợp 1: 5 học sinh được chọn gồm 4 nam và 1 nữ. Số cách chọn là  ${\text{C}}_{\text{5}}^{\text{4}}\cdot {\text{C}}_{\text{3}}^{\text{1}}\text{ = 15.}$

Trường hợp 2: 5 học sinh được chọn gồm 3 nam và 2 nữ. Số cách chọn là  ${\text{C}}_{\text{5}}^{\text{3}}\cdot {\text{C}}_{\text{3}}^{\text{2}}\text{ = 30.}$

Số phần tử của biến cố A là n(A) = 15 + 30 = 45.

Xác suất của biến cố A là  $\text{P}\left(\text{A}\right)\text{ = }\frac{\text{n}\left(\text{A}\right)}{\text{n}\left(\Omega \right)}\text{ = }\frac{\text{45}}{\text{56}}.$

Đáp án đúng là: A

Chọn 5 học sinh từ 12 học sinh. Số phần tử không gian mẫu là  $\text{n}\left(\text{Ω}\right){\text{ = C}}_{\text{12}}^{\text{4}}\text{ = 495}$.

Gọi A là biến cố: “4 học sinh được chọn thuộc không quá hai khối”

– Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc cả ba khối là:

– Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá hai khối là 495 – 270 = 225.

Xác suất để chọn ra 4 học sinh thuộc không quá hai khối là  $\text{P}\left(A\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}\text{ = }\frac{\text{225}}{\text{495}}\text{ = }\frac{\text{5}}{\text{11}}.$

Đáp án đúng là: A

Chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ từ 30 tấm. Số phần tử của không gian mẫu  $\text{n}\left(\text{Ω}\right){\text{ = C}}_{\text{30}}^{\text{10}}$.

Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán.

– Lấy 5 tấm thẻ mang số lẻ: có  ${\text{C}}_{\text{15}}^{\text{5}}$ cách.

– Trong 15 tấm thẻ chẵn có 3 tấm thẻ chia hết cho 10. Lấy 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10: có ${\text{C}}_{\text{3}}^{\text{1}}$   cách.

– Lấy 4 tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10: có  ${\text{C}}_{\text{12}}^{\text{4}}$ cách.

Vậy  $\text{P}\left(\text{A}\right)\text{=}\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{{\text{C}}_{\text{15}}^{\text{5}}\cdot {\text{C}}_{\text{3}}^{\text{1}}\cdot {\text{C}}_{\text{12}}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{\text{30}}^{\text{10}}}\text{ = }\frac{\text{99}}{\text{667}}$.

Đáp án đúng là: A

Mỗi bạn viết 1 số từ 17 số. Số phần tử của không gian mẫu là:  $\text{n}\left(\text{Ω}\right){\text{ = 17}}^{\text{3}}$.

Trong các số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17] có 5 số chia hết cho 3 là {3; 6; 9 12; 15}, có 6 số chia cho 3 dư 1 là {1; 4; 7; 10; 13; 16}, có 6 số chia cho 3 dư 2 là {2; 5; 8; 11; 14; 17}.

Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Cả ba số viết ra đều chia hết cho .

Trong trường hợp này có: 5³ cách viết.

Trường hợp 2: Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1.

Trong trường hợp này có: 6³ cách viết.

Trường hợp 3: Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2.

Trong trường hợp này có: 6³ cách viết.

Trường hợp 4: Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3, có 1 số chia cho 3 dư 1, có 1 số chia cho 3 dư 2.

Trong trường hợp này có:  $5\cdot 6\cdot 6\cdot 3!$ cách viết.

Vậy xác suất cần tìm là:  $\text{P}\left(\text{A}\right)\text{ = }\frac{{\text{5}}^{\text{3}}{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}6}}^{\text{3}}{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}6}}^{\text{3}}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5\cdot 6\cdot 6\cdot 3!}{{\text{17}}^{\text{3}}}\text{ = }\frac{\text{1 637}}{\text{4 913}}$.