Trắc nghiệm Ứng dụng hình học của tích phân lớp 12 (có đáp án - phần 3)
30 câu hỏi
\(V = 2\pi \left( {\pi + 1} \right)\)
\(V = 2\pi \)
\(V = 2\left( {\pi + 1} \right)\)
V = 2
Chọn A
Ta có: \[V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\left( {\sqrt {2 + \sin x} } \right)}^2}} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^\pi {\left( {2 + \sin x} \right){\rm{d}}x} \]\( = \pi \left. {\left( {2x - \cos x} \right)} \right|_0^\pi = 2\pi \left( {\pi + 1} \right)\).
\(\pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx} \).
\(\pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx - \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} } \).
\(\pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx + \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} } \).
\(\pi \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} \)
Chọn A
Vậy thể tích khối tròn xoay được tính \(V = \pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx - \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} } \).
Câu 1.Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 3,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2\). Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\).\[V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}{\rm{d}}x} \].
\[V = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right){\rm{d}}x} \].
\[V = \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}{\rm{d}}x} \].
\[V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right){\rm{d}}x} \].
Chọn A
Thể tích của vật thể được tạo nên là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}{\rm{d}}x} .\)
\(V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} \)
\(V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \)
\(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} \)
\(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \)
Chọn C
Công thức tính: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
\[\frac{{16\pi }}{{15}}\].
\[\frac{{2\pi }}{3}\].
\[\frac{{4\pi }}{3}\].
\[\frac{{8\pi }}{{15}}\].
Chọn D
Ta có
\[V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right){\rm{d}}x = \pi .\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \pi .\left( {\frac{1}{5} - 1 + \frac{4}{3}} \right) = \frac{{8\pi }}{{15}}} .\]
\(3\pi \).
\(\frac{{3\pi }}{2}\).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
\(\frac{3}{2}\).
Chọn B
\(V = \pi \int\limits_1^2 {xdx} \) \( = \left. {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right|_1^2 = \frac{{3\pi }}{2}\).
\(\int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} \)
\(\pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} \)
\(\int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} \)
\(\pi \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} \)
Chọn B
Theo công thức ta chọn \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} \)
\[V = \frac{7}{6}\].
\[V = \frac{{5\pi }}{6}\].
\[V = \frac{{7\pi }}{{11}}\].
\[V = \frac{{11\pi }}{6}\].
Chọn D
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:
\[V = \pi \int\limits_4^9 {{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} \]\[ = \pi \int\limits_4^9 {\left( {x - 4\sqrt x + 4} \right)} {\rm{d}}x\]\[ = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{8x\sqrt x }}{3} + 4x} \right)} \right|_4^9\]\[ = \pi \left( {\frac{{81}}{2} - 72 + 36} \right) - \pi \left( {\frac{{16}}{2} - \frac{{64}}{3} + 16} \right) = \frac{{11\pi }}{6}\].
\(V = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 2} \right){\rm{d}}x} \)
\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} \)
\(V = \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} \)
\(V = \pi \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 2} \right){\rm{d}}x} \)
Chọn B
Ta có: \(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} \).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 30 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(33750000\) đồng.
\(3750000\) đồng.
\(12750000\) đồng.
\(6750000\) đồng.
Chọn D
Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I \in Oy\) (như hình vẽ).
Chọn D
Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I \in Oy\) (như hình vẽ).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{4} = c,\left( {I \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0\left( {A \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 0\left( {B \in \left( P \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{9}{4}\\a = - 1\\b = 0\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}\).
Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:
\(S = \int\limits_{\frac{{ - 3}}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x} \)\( = 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x} \)\[ = \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{9}{4}}\]\( = \frac{9}{2}{{\rm{m}}^2}\).
Số tiền phải trả là: \(\frac{9}{2}.1500000 = 6750000\) đồngChị Minh Hiền muốn làm một cái cổng hình Parabol như hình vẽ bên dưới. Chiều cao \(GH = 4m\), chiều rộng \(AB = 4m\), \(AC = BD = 0,9m\). Chị Minh Hiền làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật \(CDEF\) tô đậm có giá là \(1200000\) đồng\(/{m^2}\), còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là \(900000\) đồng\(/{m^2}\). Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
\[11445000\] đồng.
\[4077000\] đồng.
\[7368000\] đồng.
\[11370000\] đồng.
Chọn A
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \(AB\) trùng \[Ox\], \(A\) trùng \[O\] khi đó parabol có đỉnh \[G\left( {2;4} \right)\] và đi qua gốc tọa độ.
Giả sử phương trình của parabol có dạng \[y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\].
Vì parabol có đỉnh là \[G\left( {2\,;4} \right)\] và đi qua điểm \[O\left( {0\,;0} \right)\] nên ta có \[\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = 4\end{array} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\\c = 0\end{array} \right.\].
Suy ra phương trình parabol là \[y = f(x) = - {x^2} + 4x\].
Diện tích của cả cổng là \[S = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right){\rm{d}}x = } \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{32}}{3}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].
Mặt khác chiều cao \[CF = DE = f\left( {0,9} \right) = 2,79({\rm{m}})\]; \[CD = 4 - 2.0,9 = 2,2\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Diện tích hai cánh cổng là \[{S_{CDEF}} = CD.CF = 6,138\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].
Diện tích phần xiên hoa là \[{S_{xh}} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - 6,14 = \frac{{6793}}{{1500}}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].
Vậy tổng số tiền để làm cổng là \[6,138.1200000 + \frac{{6793}}{{1500}}\,.900000 = 11441400\] đồng.
Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao \[18\;{\rm{m}}\], chiều rộng chân đế \[12\;{\rm{m}}\]. Người ta căng hai sợi dây trang trí \[AB\], \[CD\] nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \[\frac{{AB}}{{CD}}\] bằng
\[\frac{1}{{\sqrt 2 }}\].
\[\frac{4}{5}\].
\[\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\].
\[\frac{3}{{1 + 2\sqrt 2 }}\].
Chọn C
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ.
Phương trình Parabol có dạng \[y = a.{x^2}\] \[\left( P \right)\].
\[\left( P \right)\] đi qua điểm có tọa độ \[\left( { - 6; - 18} \right)\] suy ra: \[ - 18 = a.{\left( { - 6} \right)^2} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow \left( P \right):y = - \frac{1}{2}{x^2}\].
Từ hình vẽ ta có: \[\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\].
Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng \[AB:y = - \frac{1}{2}x_1^2\] là
\[{S_1} = 2\int\limits_0^{{x_1}} {\left[ { - \frac{1}{2}{x^2} - \left( { - \frac{1}{2}x_1^2} \right)} \right]{\rm{d}}x} \]\[\left. { = 2\left( { - \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_1^2x} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \frac{2}{3}x_1^3\].
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng \[CD\] \[y = - \frac{1}{2}x_2^2\] là
\[{S_2} = 2\int\limits_0^{{x_2}} {\left[ { - \frac{1}{2}{x^2} - \left( { - \frac{1}{2}x_2^2} \right)} \right]{\rm{d}}x} \]\[\left. { = 2\left( { - \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_2^2x} \right)} \right|_0^{{x_2}} = \frac{2}{3}x_2^3\]
Từ giả thiết suy ra \[{S_2} = 2{S_1} \Leftrightarrow x_2^3 = 2x_1^3\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\].
Vậy \[\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\].
Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên.
Cho \(AB = 4dm;BC = 8dm.\)Hỏi để trang trí \[1000\] họa tiết như vậy cần số tiền gần nhất với số nào sau đây.
105660667đ
1066666667đ
107665667đ
108665667đ
Chọn B
Vì \(AB = 4dm;BC = 8dm.\)\( \Rightarrow A( - 2;4),\)\(B(2;4),C(2; - 4),D( - 2; - 4)\).
parabol là: \(y = {x^2}\) hoặc \(y = - {x^2}\)
Diện tích phần tô đậm là \[{S_1} = 4\int\limits_0^2 {{x^2}dx = \frac{{32}}{3}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}(d{m^2})} \]
Diện tích hình chữ nhật là \[S = 4.8 = 32\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}({m^2})\]
Diện tích phần trắng là \[{S_2} = S - {S_1} = 32 - \frac{{32}}{3} = \frac{{64}}{3}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}(d{m^2})\]
Tổng chi phí trang chí là:
Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng \[10\] cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết \[AB = 5\]cm, \[OH = 4\] cm. Biết giá trang trí hoa văn \[1{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\] là 50.000 đồng, tính số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó.
\[2553333\] đồng.
\[2333333\] đồng.
\[2780333\] đồng.
\[2123333\] đồng.
Đưa parabol vào hệ trục \[Oxy\] ta tìm được phương trình là: \[\left( P \right):y = - \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x\].
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \[\left( P \right):y = - \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x\], trục hoành và các đường thẳng \[x = 0\], \[x = 5\] là: \[S = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{40}}{3}\].
Tổng diện tích phần bị khoét đi: \[{S_1} = 4S = \frac{{160}}{3}\] \[{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\].
Diện tích của hình vuông là: \[{S_{hv}} = 100{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\].
diện tích bề mặt hoa văn là: \[{S_2} = {S_{hv}} - {S_1} = 100 - \frac{{160}}{3} = \frac{{140}}{3}{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\].
Vậy số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó là: \[\frac{{140}}{3}.50000 \approx 2333333\] đồng
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh \(40{\rm{cm}}\). Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới).
Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng
\(800\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\[\frac{{800}}{3}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\].
\(\frac{{400}}{3}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(250\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Chọn C
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng \(10cm = 1dm\)), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình \(y = \frac{{{x^2}}}{2}\), \(y = - \frac{{{x^2}}}{2}\),\(x = - \frac{{{y^2}}}{2}\),\(x = \frac{{{y^2}}}{2}\).
Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số\(y = \frac{{{x^2}}}{2}\),\(y = \sqrt {2x} \) và hai đường thẳng \(x = 0;x = 2\).
Do đó diện tích một cánh hoa bằng
\(\int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {2x} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right){\rm{d}}x} \) \[ = \left. {\left. {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\sqrt {{{\left( {2x} \right)}^3}} - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|} \right|_0^2\]\[ = \frac{4}{3}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) = \frac{{400}}{3}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]\[ = \frac{4}{3}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) = \frac{{400}}{3}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].
![Khi cắt một vật thể hình chiếc niêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục [Ox] tại điểm có hoành độ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/anh-chup-man-hinh-2025-07-29-luc-181543-1753787697.png)
\(V = 20\)
\(V = 20\pi \)
\(V = 10\)
\(V = 10\pi \)
Chọn A
Diện tích tam giác vuông cân là: \(S(x) = \frac{1}{2}\sqrt {14 - 3{x^2}} .\sqrt {14 - 3{x^2}} = \frac{1}{2}\left( {14 - 3{x^2}} \right)\)
\( \Rightarrow \) Thể tích vật thể là: \(V = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{1}{2}\left( {14 - 3{x^2}} \right)dx = 20} \)
Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết \(1\,{{\rm{m}}^3}\) khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.
\(110\) triệu đồng.
\(250\) triệu đồng.
\(180\) triệu đồng.
\(200\) triệu đồng.
Chọn D
Chọn hệ trục \[Oxy\] như hình vẽ.
Gọi \[\left( {{P_1}} \right):y = {a_1}{x^2} + {b_1}\] là Parabol đi qua hai điểm \[A\left( {\frac{{19}}{2};0} \right),B\left( {0;2} \right)\]
Nên ta có hệ phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 = a.{\left( {\frac{{19}}{2}} \right)^2} + 2\\2 = b\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = - \frac{8}{{361}}\\{b_1} = 2\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left( {{P_1}} \right):y = - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2\].
Gọi \[\left( {{P_2}} \right):y = {a_2}{x^2} + {b_2}\] là Parabol đi qua hai điểm \[C\left( {10;0} \right),D\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\]
Nên ta có hệ phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 = {a_2}.{\left( {10} \right)^2} + \frac{5}{2}\\\frac{5}{2} = {b_2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_2} = - \frac{1}{{40}}\\{b_2} = \frac{5}{2}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left( {{P_2}} \right):y = - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}\].
Ta có thể tích của bê tông là: \[V = 5.2\left[ {\int_0^{10} {\left( { - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}} \right)} {\rm{d}}x - \int_0^{\frac{{19}}{2}} {\left( { - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right)} {\rm{d}}x} \right] = 40\,{{\rm{m}}^3}\].
Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: \[5.40 = 200\] triệu đồng
\(30\;{m^3}\)
\(36\;{m^3}\)
\(40\;{m^3}\)
\(41\;{m^3}\)
Chọn B
Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB = 3 mét, BC = 6 mét, đỉnh của parabol là I. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, A, B và I, phương trình của parabol có dạng \(y = a{x^2} + b,\;a \ne 0\). Do I, A, B thuộc nên ta có \(y = - \frac{4}{3}{x^2} + 3\)
Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là
\(V = 6.2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {( - \frac{4}{3}} {x^2} + 3)dx = 36\)
Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng\[R\]. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc \[{30^0}\] ta thu được hai khối gỗ có thể tích là \[{V_1}\] và \[{V_2}\], với \[{V_1} < {V_2}\]. Thể tích \[{V_1}\] bằng?
\[{V_1} = \frac{{2\sqrt 3 {R^3}}}{9}\].
\[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 \pi {R^3}}}{{27}}\].
\[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 \pi {R^3}}}{{18}}\].
\[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 {R^3}}}{{27}}\].
Chọn A
Khi cắt khối gỗ hình trụ ta được một hình nêm có thể tích \[{V_1}\] như hình vẽ.
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ.
Nửa đường tròn đường kính \[AB\] có phương trình là \[y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \],\[x \in \left[ { - R;R} \right]\].
Một mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm \[M\] có hoành độ \[x\], cắt hình nêm theo thiết diện là \[\Delta MNP\] vuông tại \[N\] và có \[\widehat {PMN} = {30^0}\].
Ta có \[NM = y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \Rightarrow NP = MN.\tan {30^0} = \frac{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}{{\sqrt 3 }}\].
\[\Delta MNP\] có diện tích \[S\left( x \right) = \frac{1}{2}NM.NP = \frac{1}{2}.\frac{{{R^2} - {x^2}}}{{\sqrt 3 }}\].
Thể tích hình nêm là \[{V_1} = \int\limits_{ - R}^R {S\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int\limits_{ - R}^R {\frac{{{R^2} - {x^2}}}{{\sqrt 3 }}} {\rm{d}}x\]\[ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left. {\left( {{R^2}x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - R}^R = \frac{{2\sqrt 3 {R^3}}}{9}\].
* Chú ý: Có thể ghi nhớ công thức tính thể tích hình nêm:
\[{V_1} = \frac{2}{3}{R^2}h = \frac{2}{3}{R^3}\tan \alpha \], trong đó \[R = \frac{{AB}}{2}\], \[\alpha = \widehat {PMN}\].
Cho một mô hình \[3 - D\] mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài \[5\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức\(y = 3 - \frac{2}{5}x\) \[\left( {{\rm{cm}}} \right)\], với \(x\)\[\left( {{\rm{cm}}} \right)\] là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị\(c{m^3}\)) không gian bên trong đường hầm mô hình ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
![Cho một mô hình [3D] mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid13-1753788326.png)
\(29\).
\(27\).
\(31\).
\(33\).
Chọn A
![Cho một mô hình [3D] mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid14-1753788397.png)
Xét một thiết diện parabol có chiều cao là \[h\] và độ dài đáy \[2h\] và chọn hệ trục \[Oxy\] như hình vẽ trên.
Parabol \[\left( P \right)\] có phương trình \[\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + h,\,\,\left( {a < 0} \right)\]
Có \[B\left( {h;\,0} \right) \in \left( P \right)\] \[ \Leftrightarrow 0 = a{h^2} + h\] \[ \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}\,\,\left( {do\,h > 0} \right)\]
Diện tích \[S\] của thiết diện: \[S = \int\limits_{ - h}^h {\left( { - \frac{1}{h}{x^2} + h} \right)\,{\rm{dx}}} = \frac{{4{h^2}}}{3}\], \(h = 3 - \frac{2}{5}x\)
\[ \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}\]
Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình:
\( \Rightarrow V = \int\limits_0^5 {S\left( x \right){\rm{dx}}} = \int\limits_0^5 {\frac{4}{3}{{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)}^2}{\rm{dx}}} \approx 28,888\)
\[ \Rightarrow V \approx 29\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]
Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn Minh Hiền đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng \[OO' = 5\]\[{\rm{cm}}\], \[OA = 10\]\[{\rm{cm}}\], \[OB = 20\] \[{\rm{cm}}\], đường cong \[AB\] là một phần của parabol có đỉnh là điểm\[A\]. Thể tích của chiếc mũ bằng
\(\frac{{2750\pi }}{3}\) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
\(\frac{{2500\pi }}{3}\) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
\(\frac{{2050\pi }}{3}\)\(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
\(\frac{{2250\pi }}{3}\) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Chọn B
Ta gọi thể tích của chiếc mũ là \(V\).
Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng \(OA = 10\) cm và đường cao \(OO' = 5\) cm là \({V_1}\).
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(AB\)và hai trục tọa độ quanh trục \(Oy\)là \({V_2}\).
Ta có \(V = {V_1} + {V_2}\)
\({V_1} = {5.10^2}\pi = 500\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Do parabol có đỉnh \(A\) nên nó có phương trình dạng \((P):y = a{(x - 10)^2}\).
Vì \(\left( P \right)\) qua điểm \(B\left( {0;20} \right)\) nên \(a = \frac{1}{5}\).
Do đó, \(\left( P \right):y = \frac{1}{5}{\left( {x - 10} \right)^2}\). Từ đó suy ra \(x = 10 - \sqrt {5y} \) (do \(x < 10\)).
Suy ra \({V_2} = \pi \int\limits_0^{20} {{{\left( {10 - \sqrt {5y} } \right)}^2}{\rm{dy}}} = \pi \left( {3000 - \frac{{8000}}{3}} \right) = \frac{{1000}}{3}\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Do đó \(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{1000}}{3}\pi + 500\pi = \frac{{2500}}{3}\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.
\(\frac{{395}}{{24}}\,c{m^3}\).
\(\frac{{50}}{3}\,\,c{m^3}\).
\(\frac{{125}}{8}\,c{m^3}\).
\(\frac{{425}}{{24}}\,c{m^3}\).
Chọn D
Gọi hình chiếu của \[P,\,Q\] trên \[AF\] và \[BE\] là \[R\] và\[S\].
Vật thể được chia thành hình lập phương \[ABCD.PQRS\] có cạnh \[2,5\,cm\], thể tích \({V_1} = \frac{{125}}{8}\,c{m^3}\) và phần còn lại có thể tích \[{V_2}\]. Khi đó thể tích vật thể \[V = {V_1} + {V_2} = \frac{{125}}{8} + {V_2}\].
Đặt hệ trục \[Oxyz\] sao cho \[O\] trùng với\[F\], \[Ox\] trùng với\[FA\], \[Oy\] trùng với tia \[Fy\] song song với \[AD\]. Khi đó Parabol \[\left( P \right)\]có phương trình dạng\(y = a{x^2}\), đi qua điểm \[P\left( {1;\frac{5}{2}} \right)\] do đó \[a = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{5}{2}{x^2}\].
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với \[Ox\] và đi qua điểm \[M\left( {x;0;0} \right),\,0 \le x \le 1\] ta được thiết diện là hình chữ nhật \[MNHK\] có cạnh là \(MN = \frac{5}{2}{x^2}\) và \(MK = \frac{5}{2}\)do đó diện tích \[S\left( x \right) = \frac{{25}}{4}{x^2}\]
Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có \[{V_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{25}}{4}{x^2}dx} = \frac{{25}}{{12}}\]
Từ đó \[V = \frac{{125}}{8} + \frac{{25}}{{12}} = \frac{{425}}{{24}}c{m^3}\]
\(183000\) đồng.
\(180000\) đồng.
\(185000\) đồng.
\(190000\) đồng.
Chọn A
Đường elip có trục lớn \(28\,{\rm{cm}}\), trục nhỏ \(25\,{\rm{cm}}\) có phương trình \( + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{{25}}{2}} \right)}^2}}} = 1\)\( \Leftrightarrow {y^2} = {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{14}^2}}}} \right)\)\( \Leftrightarrow y = \pm \frac{{25}}{2}\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{14}^2}}}} \).
Do đó thể tích quả dưa là \[V = \pi \int\limits_{ - 14}^{14} {{{\left( {\frac{{25}}{2}\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{14}^2}}}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} \]\( = \pi {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2}\int\limits_{ - 14}^{14} {{{\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{14}^2}}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \)\( = \pi {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2}.\left. {\left( {x - \frac{{{x^3}}}{{{{3.14}^2}}}} \right)} \right|_{ - 14}^{14}\)\( = \pi {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2}.\frac{{56}}{3}\)\( = \frac{{8750\pi }}{3}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
Do đó tiền bán nước thu được là \(\frac{{8750\pi .20000}}{{3.1000}} \approx 183259\,\)đồng.
Một cốc rượu có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc (bổ dọc cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường Parabol. Tính thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được (làm tròn 2 chữ số thập phân)
\(V \approx 320c{m^3}\).
\(V \approx 1005,31c{m^3}\).
\(V \approx 251,33c{m^3}\).
\(V \approx 502,65c{m^3}\).
Chọn C
Parabol có phương trình \[y = \frac{5}{8}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{8}{5}y\]
Thể tích tối đa cốc:
\[V = \pi \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{8}{5}y} \right)} .dy \approx 251,33\].
Có một cốc nước thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là \(6\,{\rm{cm}}\), chiều cao lòng cốc là \(10\,{\rm{cm}}\) đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
\(240\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\(240\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\(120\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\(120\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
Chọn A
Cách 1. Xét thiết diện cắt cốc thủy tinh vuông góc với đường kính tại vị trí bất kỳ có: \(S\left( x \right) = \frac{1}{2}\sqrt {{R^2} - {x^2}} .\sqrt {{R^2} - {x^2}} .\tan \alpha \) \( \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right)\tan \alpha \).
Thể tích hình cái nêm là: \(V = \frac{1}{2}\tan \alpha \int\limits_{ - R}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)} {\rm{ d}}x = \frac{2}{3}{R^3}\tan \alpha \).
Thể tích khối nước tạo thành khi nguyên cốc có hình dạng cái nêm nên \({V_{kn}} = \frac{2}{3}{R^3}\tan \alpha \). \( \Rightarrow {V_{kn}} = \frac{2}{3}{R^3}.\frac{h}{R} = 240\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
Cách 2. Dựng hệ trục tọa độ \[Oxyz\]
Gọi \[S\left( x \right)\] là diện tích thiết diện do mặt phẳng có phương vuông góc với trục \[Ox\] với khối nước, mặt phẳng này cắt trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \(h \ge x \ge 0\).
Gọi \(\widehat {IOJ} = \alpha ,\,\widehat {FHN} = \beta ,\,OE = x\)
\(\tan \alpha = \frac{{IJ}}{{OJ}} = \frac{6}{{10}} = \frac{{EF}}{{OE}}\) \( \Rightarrow EF = \frac{{6x}}{{10}}\) \( \Rightarrow HF = 6 - \frac{{6x}}{{10}}\).
\(\cos \beta = \frac{{HF}}{{HN}} = \frac{{6 - \frac{{6x}}{{10}}}}{6} = 1 - \frac{x}{{10}}\); \(\beta = \arccos \left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)\)
\(S\left( x \right) = {S_{\left( {hinh\,quat} \right)}} - {S_{HMN}} = \frac{1}{2}H{N^2}.2\beta - \frac{1}{2}HM.HN.\sin 2\beta \)
\( \Rightarrow S\left( x \right) = {6^2}\arccos \left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right) - \frac{1}{2}.6.6.2\left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)\sqrt {1 - {{\left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)}^2}} \)
\( \Rightarrow V = \int\limits_0^{10} {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{10} {\left( {36\arccos \left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right) - 36\left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)\sqrt {1 - {{\left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)}^2}} } \right){\rm{d}}x} = 240\).
Cho vật thể đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\;\left( { - 1 \le x \le 1} \right)\) thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích \(V\) của vật thể đó là
\[V = \sqrt 3 \].
\[V = 3\sqrt 3 \].
\[V = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\].
\[V = \pi \].
Chọn C
Do vật thể có đáy là đường tròn và khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) được thiết diện là tam giác đều do đó vật thể đối xứng qua mặt phẳng vuông góc với trục \(Oy\) tại điểm \(O\).
Cạnh của tam giác đều thiết diện là: \(a = 2\sqrt {1 - {x^2}} \).
Diện tích tam giác thiết diện là: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \left( {1 - {x^2}} \right)\sqrt 3 \).
Thể tích khối cần tìm là:
\(V = 2\int\limits_0^1 {Sdx} = 2\int\limits_0^1 {\sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right) = \left. {2\sqrt 3 \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}} \).
Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm \[2015\]. Nền sân là một elip \(\left( E \right)\) có trục lớn dài \[150m\], trục bé dài \[90m\] (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của \(\left( E \right)\)và cắt elip ở \(M,N\) (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm \(I\) (phần tô đậm trong hình 4) với \(MN\) là một dây cung và góc \(\widehat {MIN} = {90^0}.\) Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu?
\(57793{m^3}\).
\(115586{m^3}\).
\(32162{m^3}\).
\(101793{m^3}\).
Chọn B
Chọn hệ trục như hình vẽ
Ta cần tìm diện tích của \(S\left( x \right)\)thiết diện.
Gọi \(d\left( {O,MN} \right) = x\)
\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{45}^2}}} = 1.\)
Lúc đó \[MN = 2y = 2\sqrt {{{45}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)} = 90\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \]
\[ \Rightarrow R = \frac{{MN}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{90}}{{\sqrt 2 }}.\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \Rightarrow {R^2} = \frac{{{{90}^2}}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\]
\[S\left( x \right) = \frac{1}{4}\pi {R^2} - \frac{1}{2}{R^2} = \left( {\frac{1}{4}\pi - \frac{1}{2}} \right){R^2} = \left( {\pi - 2} \right)\frac{{2025}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right).\]
Thể tích khoảng không cần tìm là
\(V = \int\limits_{ - 75}^{75} {\left( {\pi - 2} \right)\frac{{2025}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right) \approx 115586{m^3}.} \)
\({V_{\left( H \right)}} = \frac{{{a^3}}}{2}\).
\({V_{\left( H \right)}} = \frac{{3{a^3}}}{4}\).
\({V_{\left( H \right)}} = \frac{{2{a^3}}}{3}\).
\({V_{\left( H \right)}} = \frac{{\pi {a^3}}}{4}\).
Chọn C
· Đặt hệ toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ, xét mặt cắt song song với mp \(\left( {Oyz} \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(x\): thiết diện mặt cắt luôn là hình vuông có cạnh \(\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) \(\left( {0 \le x \le a} \right)\).
· Do đó thiết diện mặt cắt có diện tích: \(S\left( x \right) = {a^2} - {x^2}\).
· Vậy \({V_{\left( H \right)}} = \int\limits_0^a {S\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^a {\left( {{a^2} - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \)\( = \left. {\left( {{a^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^a\)\( = \frac{{2{a^3}}}{3}\).
\[1458{m^3}\].
\[600{m^3}\].
\[2200{m^3}\].
\[4200{m^3}.\]
Chọn A
\[\int\limits_0^3 {\left( {6a{t^2} + 2bt} \right){\rm{d}}t = 90} \]\[ \Leftrightarrow \]\[\left. {\left( {2a{t^3} + b{t^2}} \right)} \right|_0^3 = 90\]\[ \Leftrightarrow \]\[54a + 9b = 90\] (1)
\[\int\limits_0^6 {\left( {6a{t^2} + 2bt} \right){\rm{d}}t = 504} \]\[ \Leftrightarrow \]\[\left. {\left( {2a{t^3} + b{t^2}} \right)} \right|_0^6 = 504\]\[ \Leftrightarrow \]\[432a + 36b = 504\] (2)
Từ (1), (2) \[ \Rightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = 6\end{array} \right.\]. Sau khi bơm \[9\] giây thì thể tích nước trong bể là:
\[V = \int\limits_0^9 {\left( {4{t^2} + 12t} \right){\rm{d}}t} \]= \[\left. {\left( {\frac{4}{3}{t^3} + 6{t^2}} \right)} \right|_0^9 = 1458\left( {{m^3}} \right)\].
\(2\) giờ \(36\) giây.
\(2\) giờ \(48\) giây.
\(2\) giờ \(38\) giây.
\(2\) giờ \(46\) giây.
Chọn C
Gọi \(t\) là thời điểm bơm được số nước bằng \(\frac{3}{4}\) độ sâu của bể (\(t\) tính bằng giây).
Ta có: \(\int\limits_0^x {\frac{1}{{500}}\sqrt[3]{t}{\rm{d}}t} = \frac{3}{4}.280\)\(\left. { \Rightarrow \frac{3}{4}{t^{\frac{4}{3}}}} \right|_0^x = 105000\)\( \Rightarrow t\sqrt[3]{t} = 140000\)
\( \Rightarrow \sqrt[3]{{{t^4}}} = 140000\)\( \Rightarrow x = \sqrt[4]{{{{140000}^3}}}\)\( \Rightarrow t \approx 7237,6242\) giây
\( \Rightarrow \)\(2\) giờ \(38\) giây.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
