Trắc nghiệm Ứng dụng hình học của tích phân lớp 12 (có đáp án - phần 1)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[S = \int\limits_1^e {\left| {\ln x - 1} \right|dx} = \int\limits_1^e { - \left( {\ln x - 1} \right)dx} \]

\[ = \int\limits_1^e {1dx - \int\limits_1^e {\ln xdx} } \]

Cho \[I = \int {\ln xdx} \], ta đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\]

Suy ra \[I = \int {\ln xdx} = x\ln x - \int {x.\frac{1}{x}dx = x\ln x - x} \]

Suy ra \[S = \left. x \right|_1^e - \left. {\left( {x\ln x - x} \right)} \right|_1^e = e - 2.\]

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[V = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = \left. {\pi \frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2}\].

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sqrt {2 + \cos x} } \right)}^2}dx = \pi } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 + \cos x} \right)dx} \]

\[ = \left. {\pi \left( {2x + \sin x} \right)} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}} = \pi \left( {\pi + 1} \right).\]

Đáp án đúng là: A

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = 0 \Rightarrow x = 0\].

Ta có: \[V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}} dx = \left. {\pi \frac{{{x^5}}}{5}} \right|_0^1 = \frac{\pi }{5}.\]

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx = } \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx} \]

\[ = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{4}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{8\pi }}{{15}}.\]

Đáp án đúng là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2}\], \[y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\], trục hoành như hình vẽ, ta có: \[S = \int\limits_0^1 {{x^2}dx + \int\limits_1^4 {\left( { - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}} \right)} } dx\]

\[ = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 + \left. {\left( { - \frac{1}{6}{x^2} + \frac{4}{3}x} \right)} \right|_1^4 = \frac{{11}}{6}\].

Đáp án đúng là: C

Gọi parabol là \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\]. Từ hình vẽ ta có (P) đi qua điểm có tọa độ (0; 0); (1; 0) và \[I\left( {\frac{1}{2};8} \right)\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\c = 0\\\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 32\\b = 32\\c = 0.\end{array} \right.\]

Suy ra \[\left( P \right):y = - 32{x^2} + 32x.\]

Đổi 45 phút = \[\frac{3}{4}\] giờ.

Vậy quãng đường người đó đi được là

\[s = \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {\left( { - 32{x^2} + 32x} \right)dx = \left. {\left( { - \frac{{32}}{3}{x^3} + 16{x^2}} \right)} \right|_0^{\frac{3}{4}} = 4,5} \]km.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \]

\[ = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2x - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^3 = \frac{{40\pi }}{3} \approx 41,89\].

Vậy \[41 < V < 42.\]

Đáp án đúng là: A

Xét \[y = \left\{ \begin{array}{l} - x,{\rm{ }}x \le 1\\x - 2{\rm{, }}x > 1\end{array} \right.\], ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 2} \right) = - 1\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x} \right) = - 1\] và \[y\left( 1 \right) = - 1\].

Do đó hàm số liên tục tại \[x = 1.\]

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\[S = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{10}}{3}x - {x^2} + x} \right)dx + } \int\limits_1^3 {\left( {\frac{{10}}{3}x - {x^2} - x + 2} \right)dx} \]

\[ = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{13}}{3}x - {x^2}} \right)dx + } \int\limits_1^3 {\left( {\frac{7}{3}x - {x^2} + 2} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( {\frac{{13}}{6}{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{7}{6}{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right|_1^3 = \frac{{13}}{2} = 6,5.\]

Đáp án đúng là: A

Gắn hệ trục tọa độ sao cho \[AB\] trùng \[Ox\], \[A\] trùng \[O\] khi đó parabol có đỉnh \[G\left( {2;4} \right)\] và đi qua gốc tọa độ.

Giả sử phương trình của parabol có dạng \[y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right).\]

Vì parabol có đỉnh là \[G\left( {2;4} \right)\] và đi qua điểm O(0; 0) nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\\4a + 2b + c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\\c = 0.\end{array} \right.\]

Suy ra phương trình parabol là \[y = f\left( x \right) = - {x^2} + 4x.\]

Diện tích của cả cổng là \[S = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|} _0^4 = \frac{{32}}{3}\] (m³).

Mặt khác, ta có chiều cao \[CF = DE = f\left( {0,9} \right) = 2,79\] (m);

\[CD = 4 - 2.0,9 = 2,2\] (m).

Diện tích hai cánh cổng là \[{S_{CDEF}} = CD.CF = 2,79.2,2 = 6,138\] (m²).

Diện tích phần trang trí hoa là: \[{S_{tt}} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - 6,138 = \frac{{6793}}{{1500}}\] (m²).

Vậy tổng số tiền để làm cổng là: \[6,138.1200000 + \frac{{6793}}{{1500}}.900000 = 11441400\] (đồng).

Đáp án đúng là: C

Gắn phần miệng li đựng nước vào hệ trục tọa độ, với đỉnh trùng với gốc tọa độ.

Lúc này, ta được parabol đi qua các điểm (0; 0), (−4; 10); (4; 10).

Gọi phương trình parabol là: \[y = a{x^2} + bx + c\] \[\left( {a \ne 0} \right)\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\16a - 4b + c = 10\\16a + 4b + c = 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = \frac{5}{8}\\b = 0\end{array} \right.\].

Vậy \[y = \frac{5}{8}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{8}{5}y \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{8}{5}y} \]

Thể tích tối đa mà cốc có thể chứa nước là

\[V = \pi {\int\limits_0^{10} {\left( {\sqrt {\frac{8}{5}} y} \right)} ^2}dy = \pi \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{8}{5}y} \right)dy = \left. {\pi \frac{4}{5}{y^2}} \right|_0^{10}} = 80\pi \approx 251,33\] cm³.