Bài tập Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = \(\sqrt x \) liên tục và không âm trên đoạn [0; 3].

Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

\(V = \pi \int_0^3 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} dx = \pi \int_0^3 x dx = \left. {\pi \frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3 = \pi \left( {\frac{{{3^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) = \frac{{9\pi }}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Diện tích thiết diện của vật thể tại hoành độ x là S(x) = x².

Thể tích của vật thể được tính bằng tích phân của diện tích thiết diện:

\(V = \int_1^4 {S\left( x \right)} dx = \int_1^4 {{x^2}} dx = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^4 = \frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{1^3}}}{3} = \frac{{64}}{3} - \frac{1}{3} = 21\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Bình phương của hàm số sinh ra khối tròn xoay là \({\left( {{e^{x - 1}}} \right)^2} = {e^{2x - 2}}\).

Thể tích khối tròn xoay

\(V = \pi \int_1^2 {{{\left( {{e^{x - 1}}} \right)}^2}} dx = \pi \int_1^2 {{e^{2x - 2}}} dx = \left. {\pi \frac{{{e^{2x - 2}}}}{2}} \right|_1^2 = \pi \left( {\frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{e^0}}}{2}} \right) = \frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: x² = 2x <=> x² − 2x = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng

\(V = \pi \int_0^2 {\left| {{{\left( {2x} \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right|} dx = \pi \int_0^2 {\left( {4{x^2} - {x^4}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2 = \pi \left( {\frac{{32}}{3} - \frac{{32}}{5}} \right) = \frac{{64\pi }}{{15}}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Diện tích của thiết diện tam giác đều cạnh \(a = \sqrt {\sin x} \) là S(x) = \(\frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \frac{{\sqrt 3 \sin x}}{4}\).

Thể tích của không gian mái vòm được tính bằng tích phân diện tích thiết diện:

\(V = \int_0^\pi  {S\left( x \right)} dx = \int_0^\pi  {\frac{{\sqrt 3 \sin x}}{4}} dx = \left. {\frac{{\sqrt 3 \left( { - \cos x} \right)}}{4}} \right|_0^\pi  = \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.                d) Đúng.

a) Sai. Công thức tính thể tích khối tròn xoay bắt buộc phải có hằng số p, tức là V = \(\pi \int_1^2 {{x^6}} dx\).

b) Đúng. Ta có bình phương hàm số là \({\left( {{x^3}} \right)^2} = {x^6}\).

c) Đúng. Đạo hàm f'(x) = 3x² > 0 với mọi x thuộc [1; 2], và f(1) = 1 > 0 nên hàm luôn dương.

d) Đúng. \(V = \pi \int_1^2 {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}} dx = \pi \int_1^2 {{x^6}} dx = \left. {\pi \frac{{{x^7}}}{7}} \right|_1^2 = \pi \left( {\frac{{{2^7}}}{7} - \frac{{{1^7}}}{7}} \right) = \pi \left( {\frac{{128 - 1}}{7}} \right) = \frac{{127\pi }}{7}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.                d) Đúng.

a) Sai. Diện tích của hình chữ nhật bằng tích hai cạnh, do đó S(x) = \(x\sqrt {{x^2} + 1} \).

b) Đúng. \(V = \int_0^2 {S\left( x \right)dx} = \int_0^2 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx\).

c) Đúng. Đặt u = x² + 1 => du = 2xdx. Đổi cận: x = 0 => u = 1; x = 2 => u = 5.

d) Đúng. Thực hiện tính thể tích

\(V = \int_0^2 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx = \frac{1}{2}\int_1^5 {\sqrt u } du = \frac{1}{2}\int_1^5 {{u^{\frac{1}{2}}}} du = \left. {\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^5 = \left. {\frac{1}{3}u\sqrt u } \right|_1^5 = \frac{{5\sqrt 5 - 1}}{3}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Giải phương trình \(\cos x = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\), ta thu được nghiệm duy nhất x = \(\frac{\pi }{2}\).

b) Sai. Công thức tính thể tích khối tròn xoay phải chứa bình phương hàm số, tức là \(V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}x} dx\).

c) Đúng. Công thức hạ bậc là phương pháp chuẩn để xử lý tích phân của bình phương hàm lượng giác.

d) Đúng. \(V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}x} dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} dx = \pi \left. {\left( {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi \left( {\left( {\frac{\pi }{4} + 0} \right) - 0} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{4}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Giải phương trình \(\sqrt x = x \Leftrightarrow x = {x^2}\) (do x ≥ 0) <=> x(1 − x) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 1.

b) Sai. Lấy giá trị x = \(\frac{1}{4}\) thuộc (0; 1), ta có \(\sqrt {\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} > \frac{1}{4}\). Do đó đồ thị y = \(\sqrt x \) nằm phía trên y = x.

c) Sai. Công thức tính thể tích tạo bởi hai đường cong quay quanh trục Ox phải là V = \(\pi \int_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {x^2}} \right|} dx\).

d) Đúng. Thực hiện tính thể tích khối tròn xoay:

\(V = \pi \int_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {x^2}} \right|} dx = \pi \int_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \pi \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - 0} \right) = \frac{\pi }{6}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.                d) Đúng.

a) Sai. Đường kính là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \), do đó bán kính của hình bán nguyệt phải là R(x) = \(\sqrt {1 - {x^2}} \).

b) Đúng. Diện tích hình bán nguyệt bằng một nửa diện tích hình tròn:

S(x) = \(\frac{1}{2}\pi {R^2}(x) = \frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right)\).

c) Đúng. Ta có \(S\left( { - x} \right) = \frac{\pi }{2}\left( {1 - {{\left( { - x} \right)}^2}} \right) = \frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right) = S\left( x \right)\), nên S(x) là hàm chẵn.

d) Đúng. Vì S(x) là hàm chẵn nên ta tích phân liên tục để tính thể tích:

\(V = \int_{ - 1}^1 {S\left( x \right)} dx = 2\int_0^1 {\frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right)} dx = \pi \int_0^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \pi \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\pi }}{3}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 36

Thể tích khối tròn xoay cần tính được biểu diễn bằng tích phân:

\(V = \pi \int_0^3 {{{\left( {2x} \right)}^2}} dx = \pi \int_0^3 {4{x^2}} dx = \left. {\pi \left( {\frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3 = \pi \left( {\frac{{4 \cdot 27}}{3} - 0} \right) = 36\pi \).

Do đó, giá trị của k = \(\frac{{36\pi }}{\pi } = 36\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Áp dụng công thức tính thể tích vật thể qua diện tích thiết diện:

\(V = \int_0^2 {S\left( x \right)} dx = \int_0^2 {\left( {3{x^2} + 2x} \right)} dx = \left. {\left( {{x^3} + {x^2}} \right)} \right|_0^2 = \left( {{2^3} + {2^2}} \right) - 0 = 8 + 4 = 12\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Có \({\left( {\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)^2} = 3{x^2} + 1\).

Thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int_0^2 {\left( {3{x^2} + 1} \right)} dx = \pi \left. {\left( {{x^3} + x} \right)} \right|_0^2 = \pi \left( {\left( {{2^3} + 2} \right) - 0} \right) = 10\pi \).

Đồng nhất với biểu thức V = a$\mathrm{\pi }$,  ta tìm được a = 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13

Phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^2} = \sqrt x \Leftrightarrow {x^4} = x\) (do x ≥ 0) <=> x(x³ − 1) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 1.

\(V = \pi \int_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right|} dx = \pi \int_0^1 {\left( {x - {x^4}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^1 = \pi \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{5}} \right) = \frac{{3\pi }}{{10}}\).

Đồng nhất với biểu thức, ta có a = 3, b = 10. Tổng a + b = 3 + 10 = 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 37,7

Thể tích khối nón tròn xoay này được tính thông qua tích phân:

\(V = \pi \int_0^4 {{{\left( {\frac{3}{4}x} \right)}^2}} dx = \pi \int_0^4 {\frac{9}{{16}}{x^2}} dx = \pi \left. {\left( {\frac{9}{{16}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \pi \left( {\frac{3}{{16}} \cdot 64 - 0} \right) = 12\pi \approx 37,7\).