Bài tập Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = x2 + 1, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 3. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng
V = 12π;
\(V = \frac{{348\pi }}{5}\);
V = 32π;
V = 9π.
Đáp án đúng là: B
Có \(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{{348\pi }}{5}\).
Cho vật thể (T) được giới hạn bởi hai mặt phẳng x = −2; x = 2. Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, x [−2; 2] là một hình vuông có cạnh bằng \(\sqrt {4 - {x^2}} \). Thể tích của vật thể (T) bằng
V = π;
\(V = \frac{{32}}{3}\);
\(V = \frac{{32\pi }}{3}\);
\(\frac{8}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Thể tích của vật thể là \(V = \int\limits_{ - 2}^2 {{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{32}}{3}\).
Tính thể tích V của một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một ta giác đều cạnh \(2\sqrt {\sin x} \).
V = \(2\pi \sqrt 3 \);
V = 3;
\(V = 2\sqrt 3 \);
3π.
Đáp án đúng là: C
Có \(V = \int\limits_0^\pi {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{{\left( {2\sqrt {\sin x} } \right)}^2}dx} = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx} = \left. { - \sqrt 3 \cos x} \right|_0^\pi = 2\sqrt 3 \).
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 4, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x bất kì (1 ≤ x ≤ 4) thì được thiết diện là một nửa lục giác đều có độ dài cạnh là 2x.
V = \(21\sqrt 3 \);
V = 21;
\(V = 63\sqrt 3 \);
63.
Đáp án đúng là: C
Diện tích thiết diện \(S\left( x \right) = 3.\frac{{{{\left( {2x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 3{x^2}\sqrt 3 \).
Do đó thể tích vật thể \(V = \int\limits_1^4 {3{x^2}\sqrt 3 dx} = \left. {\sqrt 3 {x^3}} \right|_1^4 = 63\sqrt 3 \).
Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e3x, y = 0, x = 0 và x = 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng
V = \(\pi \int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} \);
\(V = \int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx} \);
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx} \);
\(V = \int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} \).
Đáp án đúng là: C
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^{3x}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx} \).
Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = x2 – 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là
\(\frac{{496\pi }}{{15}}\);
\(\frac{{32\pi }}{{15}}\);
\(\frac{{4\pi }}{3}\);
\(\frac{{16\pi }}{{15}}\).
Đáp án đúng là: D
Có x2 – 2x = 0 x = 0 hoặc x = 2.
Thể tích \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx} \)\( = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16\pi }}{{15}}\).
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x2 + 6; y = 0; x = 0; x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox.
\(\frac{{552\pi }}{5}\);
\(\frac{{44}}{3}\);
\(\frac{{552}}{5}\);
\(\frac{{44\pi }}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 6} \right)}^2}dx} = \frac{{552\pi }}{5}\).
Xét trong không gian Oxyz, tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \).
\(\frac{{16}}{3}\);
\(\frac{{16\pi }}{3}\);
\(\frac{{14}}{3}\);
\(\frac{{14\pi }}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Có \(V = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {4\left( {1 - {x^2}} \right)dx} \)\[ = \left. {\left( {4x - \frac{4}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{16}}{3}\].
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {x - 1} \), trục hoành, x = 2 và x = 5 quanh trục Ox bằng
\(\frac{{14\pi }}{3}\);
\(\frac{{14}}{3}\);
\(\frac{{15\pi }}{2}\);
\(\frac{{15}}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(V = \pi \int\limits_2^5 {{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_2^5 {\left( {x - 1} \right)dx} = \frac{{15\pi }}{2}\).
Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x .{e^{{x^2}}}\), trục hoành, đường thẳng x = 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục hoành
\(V = \frac{1}{4}\pi \left( {{e^2} - 1} \right)\);
\(V = \pi \left( {{e^2} - 1} \right)\);
\(V = \frac{1}{4}\pi {e^2} - 1\);
V = e2 – 1.
Đáp án đúng là: A
Có \(\sqrt x .{e^{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Thể tích cần tính là \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt x {e^{{x^2}}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {x{e^{2{x^2}}}dx} = \left. {\frac{\pi }{4}{e^{2{x^2}}}} \right|_0^1 = \frac{\pi }{4}\left( {{e^2} - 1} \right)\).
Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \(\sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 quanh trục hoành có thể tích là
\(\frac{{9\pi }}{2}\).
\(\frac{9}{2}\).
9.
3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Hàm số y = \(\sqrt x \) liên tục và không âm trên đoạn [0; 3].
Thể tích khối tròn xoay cần tính là:
\(V = \pi \int_0^3 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} dx = \pi \int_0^3 x dx = \left. {\pi \frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3 = \pi \left( {\frac{{{3^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) = \frac{{9\pi }}{2}\).
Một vật thể có kích thước giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 4. Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (\(1 \le x \le 4\)) là một hình vuông có độ dài cạnh là x. Thể tích của vật thể đó bằng
21.
21.
63.
\(\frac{{63\pi }}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Diện tích thiết diện của vật thể tại hoành độ x là S(x) = x2.
Thể tích của vật thể được tính bằng tích phân của diện tích thiết diện:
\(V = \int_1^4 {S\left( x \right)} dx = \int_1^4 {{x^2}} dx = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^4 = \frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{1^3}}}{3} = \frac{{64}}{3} - \frac{1}{3} = 21\).
Cho khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {e^{x - 1}}\), trục hoành và các đường thẳng x = 1, x = 2 quanh trục Ox. Thể tích của khối này là
\(\frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2}\).
\(\frac{{\pi \left( {{e^2} + 1} \right)}}{2}\).
\(\pi \left( {{e^2} - 1} \right)\).
\(\frac{{{e^2} - 1}}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Bình phương của hàm số sinh ra khối tròn xoay là \({\left( {{e^{x - 1}}} \right)^2} = {e^{2x - 2}}\).
Thể tích khối tròn xoay
\(V = \pi \int_1^2 {{{\left( {{e^{x - 1}}} \right)}^2}} dx = \pi \int_1^2 {{e^{2x - 2}}} dx = \left. {\pi \frac{{{e^{2x - 2}}}}{2}} \right|_1^2 = \pi \left( {\frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{e^0}}}{2}} \right) = \frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2}\).
\(\frac{{64}}{{15}}\).
\(\frac{{64\pi }}{{15}}\).
\(\frac{{16\pi }}{{15}}\).
\(\frac{{32\pi }}{{15}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: x2 = 2x <=> x2 − 2x = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng
\(V = \pi \int_0^2 {\left| {{{\left( {2x} \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right|} dx = \pi \int_0^2 {\left( {4{x^2} - {x^4}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2 = \pi \left( {\frac{{32}}{3} - \frac{{32}}{5}} \right) = \frac{{64\pi }}{{15}}\)
Một kĩ sư thiết kế một mái vòm có phần không gian nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = . Cắt không gian này bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ ), thiết diện thu được là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng \(\sqrt {\sin x} \). Thể tích của không gian mái vòm này bằng
\(\frac{{\sqrt 3 \pi }}{2}\).
\(\sqrt 3 \).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{3}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Diện tích của thiết diện tam giác đều cạnh \(a = \sqrt {\sin x} \) là S(x) = \(\frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \frac{{\sqrt 3 \sin x}}{4}\).
Thể tích của không gian mái vòm được tính bằng tích phân diện tích thiết diện:
\(V = \int_0^\pi {S\left( x \right)} dx = \int_0^\pi {\frac{{\sqrt 3 \sin x}}{4}} dx = \left. {\frac{{\sqrt 3 \left( { - \cos x} \right)}}{4}} \right|_0^\pi = \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Công thức tính thể tích của khối tròn xoay là V = \(\int_1^2 {{x^6}} dx\).
Bình phương của hàm số giới hạn nên hình phẳng là f2(x) = x6.
Hàm số f(x) = x3 đồng biến và nhận giá trị dương trên đoạn [1; 2].
Giá trị thể tích của khối tròn xoay bằng \(\frac{{127\pi }}{7}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Công thức tính thể tích khối tròn xoay bắt buộc phải có hằng sốp, tức là V = \(\pi \int_1^2 {{x^6}} dx\).
b) Đúng. Ta có bình phương hàm số là \({\left( {{x^3}} \right)^2} = {x^6}\).
c) Đúng. Đạo hàm f'(x) = 3x2 > 0 với mọi x thuộc [1; 2], và f(1) = 1 > 0 nên hàm luôn dương.
d) Đúng.\(V = \pi \int_1^2 {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}} dx = \pi \int_1^2 {{x^6}} dx = \left. {\pi \frac{{{x^7}}}{7}} \right|_1^2 = \pi \left( {\frac{{{2^7}}}{7} - \frac{{{1^7}}}{7}} \right) = \pi \left( {\frac{{128 - 1}}{7}} \right) = \frac{{127\pi }}{7}\).
Xét vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 2) là một hình chữ nhật có hai độ dài cạnh lần lượt là x và \(\sqrt {{x^2} + 1} \). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Diện tích của thiết diện tại hoành độ x là S(x) = \({x^2} + 1\).
Thể tích của vật thể được tính bằng công thức V = \(\int_0^2 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx\).
Có thể tính tích phân trên bằng phương pháp đổi biến số với u = x2 + 1.
Thể tích của vật thể bằng \(\frac{{5\sqrt 5 - 1}}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Diện tích của hình chữ nhật bằng tích hai cạnh, do đó S(x) = \(x\sqrt {{x^2} + 1} \).
b) Đúng.\(V = \int_0^2 {S\left( x \right)dx} = \int_0^2 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx\).
c) Đúng. Đặt u = x2 + 1 => du = 2xdx. Đổi cận: x = 0 => u = 1; x = 2 => u = 5.
d) Đúng. Thực hiện tính thể tích
\(V = \int_0^2 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx = \frac{1}{2}\int_1^5 {\sqrt u } du = \frac{1}{2}\int_1^5 {{u^{\frac{1}{2}}}} du = \left. {\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^5 = \left. {\frac{1}{3}u\sqrt u } \right|_1^5 = \frac{{5\sqrt 5 - 1}}{3}\)
Xét khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, \(x = \frac{\pi }{2}\) quanh trục Ox. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Giao điểm duy nhất của đồ thị hàm số với trục hoành trên đoạn đang xét có hoành độ x = \(\frac{\pi }{2}\).
Thể tích khối tròn xoay được tính bởi công thức V = \(\pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x} dx\).
Để tính thể tích, ta có thể sử dụng công thức lượng giác hạ bậc \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\).
Giá trị thể tích của khối tròn xoay bằng \(\frac{{{\pi ^2}}}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Giải phương trình \(\cos x = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\), ta thu được nghiệm duy nhất x = \(\frac{\pi }{2}\).
b) Sai. Công thức tính thể tích khối tròn xoay phải chứa bình phương hàm số, tức là \(V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}x} dx\).
c) Đúng. Công thức hạ bậc là phương pháp chuẩn để xử lý tích phân của bình phương hàm lượng giác.
d) Đúng.\(V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}x} dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} dx = \pi \left. {\left( {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi \left( {\left( {\frac{\pi }{4} + 0} \right) - 0} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{4}\).
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \(\sqrt x \) và đường thẳng y = x. Quay hình phẳng này quanh trục Ox thu được một khối tròn xoay. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường có hai nghiệm là x = 0 và x = 1.
Trên khoảng (0; 1), đồ thị hàm số y = \(\sqrt x \) luôn nằm phía dưới đường thẳng y = x.
Thể tích của khối tròn xoay được tính bằng công thức V = \(\pi \int_0^1 {{{\left( {\sqrt x - x} \right)}^2}} dx\).
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng \(\frac{\pi }{6}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Giải phương trình \(\sqrt x = x \Leftrightarrow x = {x^2}\) (do x ≥ 0) <=> x(1 − x) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 1.
b) Sai. Lấy giá trị x = \(\frac{1}{4}\) thuộc (0; 1), ta có \(\sqrt {\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} > \frac{1}{4}\). Do đó đồ thị y = \(\sqrt x \) nằm phía trên y = x.
c) Sai. Công thức tính thể tích tạo bởi hai đường cong quay quanh trục Ox phải là V = \(\pi \int_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {x^2}} \right|} dx\).
d) Đúng. Thực hiện tính thể tích khối tròn xoay:
\(V = \pi \int_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {x^2}} \right|} dx = \pi \int_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \pi \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - 0} \right) = \frac{\pi }{6}\).
Xét một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1. Biết thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (\( - 1 \le x \le 1\)) là một hình bán nguyệt có đường kính bằng \(2\sqrt {1 - {x^2}} \). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Bán kính của thiết diện hình bán nguyệt tại hoành độ x là R(x) = \(2\sqrt {1 - {x^2}} \).
Diện tích của thiết diện được tính bởi biểu thức S(x) = \(\frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right)\).
Hàm số thể hiện diện tích thiết diện S(x) là một hàm số chẵn.
Thể tích của vật thể được tính toán bằng \(\frac{{2\pi }}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Đường kính là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \), do đó bán kính của hình bán nguyệt phải là R(x) = \(\sqrt {1 - {x^2}} \).
b) Đúng. Diện tích hình bán nguyệt bằng một nửa diện tích hình tròn:
S(x) = \(\frac{1}{2}\pi {R^2}(x) = \frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right)\).
c) Đúng. Ta có \(S\left( { - x} \right) = \frac{\pi }{2}\left( {1 - {{\left( { - x} \right)}^2}} \right) = \frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right) = S\left( x \right)\), nên S(x) là hàm chẵn.
d) Đúng. Vì S(x) là hàm chẵn nên ta tích phân liên tục để tính thể tích:
\(V = \int_{ - 1}^1 {S\left( x \right)} dx = 2\int_0^1 {\frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right)} dx = \pi \int_0^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \pi \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\pi }}{3}\).
Tính giá trị k = \(\frac{V}{\pi }\), biết V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 quanh trục Ox.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 36
Thể tích khối tròn xoay cần tính được biểu diễn bằng tích phân:
\(V = \pi \int_0^3 {{{\left( {2x} \right)}^2}} dx = \pi \int_0^3 {4{x^2}} dx = \left. {\pi \left( {\frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3 = \pi \left( {\frac{{4 \cdot 27}}{3} - 0} \right) = 36\pi \).
Do đó, giá trị của k = \(\frac{{36\pi }}{\pi } = 36\).
Tính thể tích của một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 2) là một hình chữ nhật có diện tích S(x) = \(3{x^2} + 2x\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 12
Áp dụng công thức tính thể tích vật thể qua diện tích thiết diện:
\(V = \int_0^2 {S\left( x \right)} dx = \int_0^2 {\left( {3{x^2} + 2x} \right)} dx = \left. {\left( {{x^3} + {x^2}} \right)} \right|_0^2 = \left( {{2^3} + {2^2}} \right) - 0 = 8 + 4 = 12\).
Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \(\sqrt {3{x^2} + 1} \), trục hoành, x = 0 và x = 2 quanh trục Ox có thể tích là V = \(a\pi \). Tính giá trị của hằng số a.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 10
Có \({\left( {\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)^2} = 3{x^2} + 1\).
Thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int_0^2 {\left( {3{x^2} + 1} \right)} dx = \pi \left. {\left( {{x^3} + x} \right)} \right|_0^2 = \pi \left( {\left( {{2^3} + 2} \right) - 0} \right) = 10\pi \).
Đồng nhất với biểu thức V = a, ta tìm được a = 10.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 13
Phương trình hoành độ giao điểm:
\({x^2} = \sqrt x \Leftrightarrow {x^4} = x\) (do x ≥ 0) <=> x(x3 − 1) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 1.
\(V = \pi \int_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right|} dx = \pi \int_0^1 {\left( {x - {x^4}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^1 = \pi \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{5}} \right) = \frac{{3\pi }}{{10}}\).
Đồng nhất với biểu thức, ta có a = 3, b = 10. Tổng a + b = 3 + 10 = 13.
Một vật thể hình nón được mô hình hóa bằng việc quay đường thẳng y = \(\frac{3}{4}x\) giới hạn bởi x = 0 và x = 4 quanh trục Ox. Tính thể tích vật thể. (kết quả làm tròn đến hàng phần mười, lấy \(\pi = 3,14\))
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 37,7
Thể tích khối nón tròn xoay này được tính thông qua tích phân:
\(V = \pi \int_0^4 {{{\left( {\frac{3}{4}x} \right)}^2}} dx = \pi \int_0^4 {\frac{9}{{16}}{x^2}} dx = \pi \left. {\left( {\frac{9}{{16}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \pi \left( {\frac{3}{{16}} \cdot 64 - 0} \right) = 12\pi \approx 37,7\).
Bạn có thích hoạt động này không?
