15 câu hỏi
Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = f(x) = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = −2; x = 1 (H.4.12).
a) Tính diện tích S của hình phẳng này.
b) Tính và so sánh với S.
a)
Gọi A(−2; 0), C(−1; 0), D(1; 0) và B, E lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = −2, x = 1 với đường thẳng y = x + 1.
Do đó B(−2; −1), E(1; 2).
Khi đó S = S∆ABC + S∆CDE = \(\frac{1}{2}AB.AC + \frac{1}{2}CD.DE\)\( = \frac{1}{2}.1.1 + \frac{1}{2}.2.2 = \frac{5}{2}\).
b) \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx\)\( = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x + 1} \right|} dx\)\( = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {x + 1} \right|} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x + 1} \right|} dx\)\( = - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {x + 1} \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)} dx\)
\[ = - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1\]\[ = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\].
Vậy \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx\).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15).
Diện tích hình phẳng cần tính là:
\(\int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|} dx\)\( = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|} dx + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|} dx\)\( = \int\limits_0^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)} dx + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right)} dx\)
\( = \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_2^3\)\( = \frac{{16}}{3} - 3 + \frac{{16}}{3} = \frac{{23}}{3}\).
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) = −x2 + 4x, g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16).
a) Giả sử S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = −x2 + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính S1, S2 và từ đó suy ra S.
b) Tính và so sánh với S.
a) Ta có \({S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} \)\( = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_1^3\)\( = 9 - \frac{5}{3} = \frac{{22}}{3}\).
\({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|} dx\)\( = \int\limits_1^3 x dx\)\( = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4\).
Do đó S = S1 – S2 = \(\frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}\).
b) \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} dx\)\( = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} dx\)\( = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|} dx\)\( = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)} dx\)
\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 3.\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3\)\( = \frac{9}{2} - \frac{7}{6} = \frac{{10}}{3}\).
Vậy \(S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} dx\).
Diện tích hình phẳng cần tính là:
\(S = \int\limits_1^4 {\left| {\sqrt x - x + 2} \right|dx} \)\( = \int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x - x + 2} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^4\)\( = \frac{{16}}{3} - \frac{{13}}{6} = \frac{{19}}{6}\).Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau (x0; p0) của đồ thị hàm cầu p = D(x) và đồ thị hàm cung p = S(x) được gọi là điểm cân bằng.
Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang p = p0 và đường thẳng đứng x = 0 là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang p = p0 và đường thẳng đứng x = 0 được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.
(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009).
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:
Hàm cầu: p = −0,36x + 9 và hàm cung: p = 0,14x + 2, trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.
Hoành độ điểm cân bằng là nghiệm của phương trình:
−0,36x + 9 = 0,14x + 2 Û x = 14.
Tọa độ điểm cân bằng là (14; 3,96).
Thặng dư tiêu dùng là:
\({S_1} = \int\limits_0^{14} {\left| { - 0,36x + 9 - 3,96} \right|} dx\)\( = \int\limits_0^{14} {\left| { - 0,36x + 5,04} \right|} dx\)\( = \int\limits_0^{14} {\left( { - 0,36x + 5,04} \right)} dx\)
\( = \left. {\left( { - 0,18{x^2} + 5,04x} \right)} \right|_0^{14} = 35,28\).
Thặng dư sản xuất là:
\({S_2} = \int\limits_0^{14} {\left| {3,96 - 0,14x - 2} \right|} dx\)\( = \int\limits_0^{14} {\left| {1,96 - 0,14x} \right|} dx\)\( = \int\limits_0^{14} {\left( {1,96 - 0,14x} \right)} dx\)
\( = \left. {\left( {1,96x - 0,07{x^2}} \right)} \right|_0^{14}\)\( = 13,72\).
Xét hình trụ có bán kính đáy R, có trục là trục hoành Ox, nằm giữa hai mặt phẳng x = a và x = b (a < b) (H.4.20).
a) Tính thể tích V của hình trụ.
b) Tính diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b). Từ đó tính và so sánh với V.
a) Độ dài chiều cao hình trụ là: h = b – a.
Thể tích của hình trụ là: V = πR2h = πR2(b – a).
b) Diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là
S(x) = πR2.
Ta có \(\int\limits_a^b {S\left( x \right)} dx\)\[ = \int\limits_a^b {\pi {R^2}} dx\]\[ = \left. {\left( {\pi {R^2}x} \right)} \right|_a^b\]\[ = \pi {R^2}\left( {b - a} \right)\].
Vậy \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)} dx\).
Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S0, S1 và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Gọi a, b lần lượt là khoảng cách từ O đến đáy nhỏ và đáy lớn của hình chóp. Khi đó chiều cao của hình chóp cụt là h = b – a.
Thiết diện của khối chóp cụt khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b) là một đa giác đều đồng dạng với đáy lớn của hình chóp cụt theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{x}{b}\).
Khi đó \(\frac{{S\left( x \right)}}{{{S_1}}} = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}.{S_1}\).
Do đó thể tích khối chóp cụt đều là:
\(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}{S_1}} dx = \left. {\frac{{{S_1}}}{{{b^2}}}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_a^b\)\( = \frac{{{S_1}}}{{3{b^2}}}\left( {{b^3} - {a^3}} \right)\)
\( = \frac{{b - a}}{{3{b^2}}}.\left( {{S_1}{b^2} + {S_1}ab + {S_1}{a^2}} \right)\)\( = \frac{h}{3}.\left[ {{S_1} + {S_1}\frac{a}{b} + {S_1}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}} \right]\).
Vì \(\frac{{{S_0}}}{{{S_1}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} \Rightarrow {S_0} = {S_1}.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}\); \({S_0}{S_1} = S_1^2.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}\)\( \Rightarrow \sqrt {{S_0}{S_1}} = {S_1}.\frac{a}{b}\).
Do đó \(V = \frac{h}{3}.\left[ {{S_1} + \sqrt {{S_1}.{S_0}} + {S_0}} \right]\).
Khối chóp đều được coi là khối chóp cụt đều khi S0 = 0.
Do đó thể tích khối chóp đều là: \(V = \frac{1}{3}.S.h\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 15 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4. Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành Ox ta được khối nón có đỉnh là gốc O, trục là Ox và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25).
a) Tính thể tích V của khối nón.
b) Chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là f(x), do đó diện tích mặt cắt là S(x) = πf2(x). Tính và so sánh với V.
a) Ta có chiều cao của khối nón là h = 4, bán kính đáy của khối nón là R = 2.
Do đó thể tích của khối nón là\(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.2^2}.4 = \frac{{16\pi }}{3}\).
b)
Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\).
Khi đó diện tích mặt cắt là \(S\left( x \right) = \pi {f^2}\left( x \right) = \frac{\pi }{4}{x^2}\).
Ta có \(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)} dx\)\( = \pi \int\limits_0^4 {\frac{{{x^2}}}{4}} dx\)\( = \frac{\pi }{4}\int\limits_0^4 {{x^2}} dx\)\( = \left. {\left( {\frac{\pi }{4}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{16\pi }}{3}\).
Vậy \(V = \pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)} dx\).
a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với OA = h, AB = R và OC = r, quanh trục Ox (H.4.28).
b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h.
a) Chọn hệ trục như hình vẽ.
Khi đó ta có C(0; r), B(h; R). Suy ra \(\overrightarrow {BC} = \left( {h;R - r} \right)\).
Phương trình đường thẳng BC qua C và nhận \(\overrightarrow n = \left( {r - R;h} \right)\) có dạng:
(r – R)x + h(y − r) = 0 hay \[y = \frac{{hr + \left( {R - r} \right)x}}{h}\].
Thể tích cần tính là:
\(V = \pi {\int\limits_0^h {\left[ {\frac{{hr + \left( {R - r} \right)x}}{h}} \right]} ^2}dx\)\( = \pi \int\limits_0^h {\left[ {{r^2} + 2r.\frac{{R - r}}{h}x + {{\left( {\frac{{R - r}}{h}x} \right)}^2}} \right]} dx\)
\( = \pi \left. {\left( {{r^2}x + r.\frac{{R - r}}{h}.{x^2} + {{\left( {\frac{{R - r}}{h}} \right)}^2}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h\)\( = \pi \left[ {{r^2}h + \left( {Rr - {r^2}} \right).h + \frac{{{{\left( {R - r} \right)}^2}.h}}{3}} \right]\)
\( = \pi \left( {{r^2}h + Rrh - {r^2}h + \frac{1}{3}{R^2}h - \frac{2}{3}Rrh + \frac{1}{3}{r^2}h} \right)\)\( = \pi \left( {\frac{1}{3}{R^2}h + \frac{1}{3}Rrh + \frac{1}{3}{r^2}h} \right)\)
\[ = \frac{1}{3}\pi h\left( {{R^2} + Rr + {r^2}} \right)\].
b) Khi r = 0 thì khối nón cụt trở thành khối nón có chiều cao h, bán kính đáy là R.
Do đó \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\).
Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.
Diện tích cần tính là: \(S = \int\limits_0^4 {\left| {5x - {x^2} - x} \right|} dx\)\( = \int\limits_0^4 {\left| {4x - {x^2}} \right|} dx\)\( = \int\limits_0^4 {\left( {4x - {x^2}} \right)} dx\)
\( = \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4\)\( = \frac{{32}}{3}\).
a)
Diện tích cần tính là:
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - {x^2} + 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{e^x} - {x^2} + 1} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {{e^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1\)\( = e + \frac{2}{3} - {e^{ - 1}} + \frac{2}{3}\)\( = \frac{{{e^2} - 1}}{e} + \frac{4}{3}\).
b) Diện tích cần tính là:
\(S = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\sin x - x} \right|} dx\)\( = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {x - \sin x} \right)} dx\)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \cos x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi \)\( = \frac{{{\pi ^2}}}{2} - 1 - \frac{{{\pi ^2}}}{8} = \frac{{3{\pi ^2}}}{8} - 1\).
c)
Diện tích cần tính là:
\(S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {9 - {x^2} - 2{x^2}} \right|} dx\)\( = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {9 - 3{x^2}} \right|} dx\)\( = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {9 - 3{x^2}} \right)} dx\)
\( = \left. {\left( {9x - {x^3}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 }\)\( = 9\sqrt 3 - 3\sqrt 3 + 9\sqrt 3 - 3\sqrt 3 \)\( = 12\sqrt 3 \).
d)
Diện tích cần tính là:
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x - {x^2}} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1\)\( = \frac{1}{3}\).
Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005 là:
\(S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1723} \right)}^2} - x} \right|dx} \)
\( = \int\limits_0^{100} {\left| {\left( {{{0,00061}^2}{x^4} + {{4,7524.10}^{ - 4}}{x^2} + {{1723}^2} + {{2,6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10206{x^2} + 75,1228x} \right) - x} \right|dx} \)
\( = \int\limits_0^{100} {\left| {\left( {{{0,00061}^2}{x^4} + {{2,6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10253524{x^2} + 74,1228x + {{1723}^2}} \right)} \right|dx} \)
\( = \int\limits_0^{100} {\left( {{{0,00061}^2}{x^4} + {{2,6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10253524{x^2} + 74,1228x + {{1723}^2}} \right)dx} \)
\[ = \left. {\left( {{{7,442.10}^{ - 8}}.{x^5} + {{6,649.10}^{ - 6}}.{x^4} + 0,70084508.{x^3} + 37,0614.{x^2} + {{1723}^2}.x} \right)} \right|_0^{100}\]
\[ = {7,442.10^{ - 8}}{.100^5} + {6,649.10^{ - 6}}{.100^4} + {0,70084508.100^3} + {37,0614.100^2} + {1723^2}.100\]
= 297945768,2.
Thể tích cần tìm là:
\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} \)\( = \pi \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}} \right)dx} \)\( = \pi \left. {\left( {\frac{4}{3}{x^3} - {x^4} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2\)\( = \frac{{16\pi }}{{15}}\).
Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h ≤ R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình , trục hoành và hai đường thẳng x = R – h, x = R xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Thể tích cần tìm là:
\(V = \pi \int\limits_{R - h}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx} \)\( = \pi \left. {\left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{R - h}^R\)
\( = \pi \left( {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}\left( {R - h} \right) + \frac{{{{\left( {R - h} \right)}^3}}}{3}} \right)\)\( = \pi \left( {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^3} + {R^2}h + \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}h + R{h^2} - \frac{{{h^3}}}{3}} \right)\)
\( = \pi \left( {R{h^2} - \frac{{{h^3}}}{3}} \right)\)\( = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right)\).
Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và . Gọi β là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).
a) Tính thể tích V của β theo a và α.
b) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất.
a) Xét tam giác OAB vuông tại A, có AB = OA.tanα = a.tanα.
Khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox ta được khối nón có bán kính đáy r = AB = a.tanα và chiều cao h = OA = a.
Do đó \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha \).
b) Có \(V' = \frac{1}{3}\pi {a^3}.2\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
Vì \(0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}\) Þ 0 < tanα ≤ 1 nên V' > 0. Do đó V là hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}\).
Vậy \(\alpha = \frac{\pi }{4}\) thì thể tích khối nón là lớn nhất.
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
