Đề kiểm tra Ứng dụng hình học của tích phân lớp 12 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\); \(x = 3\) bằng
\(\pi \int\limits_0^3 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} {\rm{d}}x\).
\(\int\limits_0^3 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} {\rm{d}}x\).
\(\pi \int\limits_0^3 {{{\left( {{x^3} - 4x} \right)}^2}} {\rm{d}}x\).
\(\int\limits_0^3 {\left( {{x^3} - 4x} \right)} {\rm{d}}x\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\) là \(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} {\rm{d}}x\) .
Viết công thức tính thể tích \(V\) của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại các điểm \(x = a\), \(x = b\) \((a < b)\), có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \((a \le x \le b)\) là \(S(x)\).
\(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b | S(x)|{\mkern 1mu} {\rm{d}}x\).
\(V = \int\limits_a^b S (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x\).
\(V = \pi \int\limits_a^b S (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x\).
\(V = \pi \int\limits_a^b {{S^2}} (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x\).
Công thức tính thể tích là \(V = \int\limits_a^b S (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x\).
Công thức tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là
\(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x\).
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)\,} {\rm{d}}x\).
\(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)\,} {\rm{d}}x\).
\(V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x\).
Thể tích khối tròn xoay cần tìm được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)\,} {\rm{d}}x\).
Gọi \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\) và \(x = 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(S = \pi \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} \).
\(S = \pi \int\limits_0^2 {{2^{2x}}{\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_0^2 {{2^{2x}}{\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {{2^x}} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} \)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 1\) bằng
\(3\ln 3 - 2\).
\(2 - 3\ln 3\).
\(3\ln 3\).
\(4\ln 3 - 3\).
Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right|{\rm{d}}x} \)
Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Phương trình không có nghiệm thuộc \(\left( {1\,;\,1} \right)\) nên ta có
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - \frac{3}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\left. {\left( {x - 3\ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^1} \right|\)\( = \left| {2 - 3\ln 3} \right| = 3\ln 3 - 2\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + 3x - 3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\) bằng
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{9}{2}\).
\(\frac{{19}}{{12}}\).
\( - \frac{{19}}{{12}}\).
Diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - {x^2} + 3x - 3} \right|{\rm{d}}x} \)
Ta có \({x^3} - {x^2} + 3x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Phương trình có một nghiệm \(x = 1\)thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\)
Vậy \(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - {x^2} + 3x - 3} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} - {x^2} + 3x - 3} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2} + 3x - 3} \right){\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - {x^2} + 3x - 3} \right){\rm{d}}x} } \right|\\ \end{array}\).
\( = \left| {\left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} - \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 3x} \right)} \right|_0^1} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} - \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 3x} \right)} \right|_1^2} \right| = \left| { - \frac{{19}}{{12}}} \right| + \left| {\frac{4}{3} - \left( { - \frac{{19}}{{12}}} \right)} \right| = \frac{9}{2} \cdot \)
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = {x^2} - 1\], \[x = - 1,\;x = 1\] (tham khảo hình bên dưới) bằng
\[\frac{{3{{\rm{e}}^2} + 4{\rm{e}} - 3}}{{3{\rm{e}}}}\].
\[\frac{{3{{\rm{e}}^2} + 4{\rm{e}} - 3}}{{\rm{e}}}\] .
\[\frac{{3{{\rm{e}}^2} + 4{\rm{e}} + 3}}{{3{\rm{e}}}}\].
\[\frac{{3{{\rm{e}}^2} - 4{\rm{e}} + 3}}{{3{\rm{e}}}}\].
Xét \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\], ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{e}}^x} > 0\\ - \left( {{x^2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow {{\rm{e}}^x} - \left( {{x^2} - 1} \right) > 0\] \[ \Rightarrow \left| {{{\rm{e}}^x} - \left( {{x^2} - 1} \right)} \right| = {{\rm{e}}^x} - {x^2} + 1\].
Diện tích hình phẳng cần tính là
\[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\rm{e}}^x} - \left( {{x^2} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{{\rm{e}}^x} - {x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{{\rm{e}}^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{3{{\rm{e}}^2} + 4{\rm{e}} - 3}}{{3{\rm{e}}}}\].
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \cos x,\;y = x + 1,\;x = \frac{\pi }{2},\;x = \pi \) (tham khảo hình bên dưới) bằng
\(\frac{{3{\pi ^2} - 4\pi + 8}}{8}\).
\[\frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{2}\] .
\(\frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{6}\).
\(\frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{8}\).
Xét \[x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]\], ta có: \[\cos x \le 1 < x + 1\] \[ \Rightarrow \cos x - \left( {x + 1} \right) < 0\] \[ \Rightarrow \left| {\cos x - \left( {x + 1} \right)} \right| = x + 1 - \cos x\].
Diện tích hình phẳng cần tính là
\(S = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\cos x - \left( {x + 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {x + 1 - \cos x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x - \sin x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi = \frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{8}\).
Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \(\left( { - 1 \le x \le 1} \right)\) thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích của vật thể đó là
\(V = \sqrt 3 \).
\(V = 3\sqrt 3 \).
\(V = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
\(V = \pi \).
Tại vị trí có hoành độ \(x\) \(\left( { - 1 \le x \le 1} \right)\) thì tam giác thiết diện có cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \).
Do đó tam giác thiết diện có diện tích \(S\left( x \right) = {\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4}\)\( = \sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right)\).
Vậy thể tích \(V\) của vật thể là : \(\int_{ - 1}^1 {\sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \)\( = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Cho hàm số\(y = \sqrt {{x^3} - 3} \) có đồ thị hàm số được biểu diễn trong hình bên dưới. Cho \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên và hai đường thẳng \(x = 2\) và \(x = 3\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) bằng
\(3,56\pi \).
\(\frac{{53}}{4}\pi \).
\(\frac{{53}}{4}\).
\(3,56\).
Ta xác định được hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {{x^3} - 3} \) và hai đường \(x = 2\) và \(x = 3\)tại hình vẽ.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay, ta có:
\(V = \pi \int_2^3 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} = \pi \int_2^3 {{{\left( {\sqrt {{x^3} - 3} } \right)}^2}{\rm{d}}x} \)\( = \pi \int_2^3 {\left( {{x^3} - 3} \right){\rm{d}}x} = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 3x} \right)} \right|_2^3 = \frac{{53}}{4}\pi \).
Cho tam giác \(ABC\) với tọa độ các điểm \(A\left( {0;\,0} \right)\), \(B\left( {2;\,4} \right)\) và \(C\left( {4;0} \right)\). Thể tích hình tròn xoay khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(Ox\) bằng
\(16\pi \).
\(\frac{{512}}{3}\pi \).
\(\frac{{256}}{3}\pi \).
\(16\).
Nhận xét: Với \(D\) là trung điểm \(AC\), bằng hình ảnh trực quan, ta thấy rằng tam giác \(ABC\) cân tại \(B\); \(DB \bot Ox\), do đó thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(Ox\) sẽ gấp 2 lần thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABD\) quanh trục \(Ox\).
Ta lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua 2 điểm \(A\) và \(B\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;4} \right)\) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), suy ra vector pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow n = \left( {4; - 2} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) di qua \(A\left( {0;0} \right)\), nhận \(\overrightarrow n = \left( {4; - 2} \right)\) làm vector pháp tuyến là:
\(4\left( {x - 0} \right) + \left( { - 2} \right)\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 2y = 0 \Leftrightarrow y = 2x\).
Khi đó, quay tam giác \(ABD\) quanh trục \(Ox\) ta được thể tích khối tròn xoay là
\(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {2x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = 4\pi \int\limits_0^4 {{x^2}{\rm{d}}x} = \left. {4\pi \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^4 = \frac{{256}}{3}\pi \).
Như vậy, khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(Ox\) thì ta được thể tích khối tròn xoay là: \(V = 2.\frac{{256}}{3}\pi = \frac{{512}}{3}\pi \).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 1\) bằng
\(3\ln 3 - 2\).
\(2 - 3\ln 3\).
\(3\ln 3\).
\(4\ln 3 - 3\).
Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right|{\rm{d}}x} \)
Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Phương trình không có nghiệm thuộc \(\left( {1\,;\,1} \right)\) nên ta có
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - \frac{3}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\left. {\left( {x - 3\ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^1} \right|\)\( = \left| {2 - 3\ln 3} \right| = 3\ln 3 - 2\).
Cho hàm số \(y = {{\rm{e}}^x}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 3\) bằng \({{\rm{e}}^3}.\)
Khi \(k = 4\) thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = k\) bằng \(3\).
Gọi \(d\) là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \({x_0} = 1\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 3\) bằng \[\frac{{9{\rm{e}}}}{2}\].
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 3\) quanh trục \(Ox\) bằng \({{\rm{e}}^6}.\)
a) Sai.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 3\) là
\(S = \int_0^3 {{{\rm{e}}^x}} {\rm{d}}x = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^3 = {{\rm{e}}^3} - 1\).
b) Sai.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = k\,\left( {k > 0} \right)\) bằng \(3\) nên ta có: \(\int_0^k {{{\rm{e}}^x}} {\rm{d}}x = 3 \Leftrightarrow \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^k = 3 \Leftrightarrow {{\rm{e}}^k} - 1 = 3 \Leftrightarrow k = \ln 4\).
c) Đúng.
Phương trình tiếp tuyến \(d\) của đồ thi hàm số tại điểm \({x_0} = 1\) là \[y = {\rm{e}}\left( {x - 1} \right) + {\rm{e}} \Leftrightarrow y = {\rm{e}}x\].
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 3\)là \[S = \int_0^3 {\left( {{\rm{e}}x} \right)\,} {\rm{d}}x = \left. {{\rm{e}}.\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3 = \frac{{9{\rm{e}}}}{2}\].
d) Sai.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 3\) quanh trục \(Ox\) là
\[V = \int_0^3 {{{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left. {{{\rm{e}}^{2x}}} \right|_0^3 = \frac{1}{2}\left( {{{\rm{e}}^6} - 1} \right)\].
Cho hàm số bậc hai \(y = - {x^2} + 5x\) và đường thẳng \(y = 2x\).
Toạ độ giao điểm của đường thẳng \(y = 2x\) và đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x\) là \(A\left( {0;0} \right)\)và \(B\left( {3;6} \right).\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x\), trục hoành là \(\frac{{27}}{2}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x,{\rm{y}} = 2x\) là \(\frac{9}{2}\)
Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x;\,\,y = 2x\) và \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x;\,\,{\rm{y}} = 2x\)và trục hoành. Tỉ số diện tích \[\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\] bằng \(\frac{{27}}{6}\).
a) Đúng.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x\) và đường thẳng \({\rm{y}} = 2x\).
Ta có: \( - {x^2} + 5x = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\). Khi đó ta có 2 giao điểm \(A\left( {0;0} \right);B\left( {3;6} \right)\).
b) Sai.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x\), trục hoành là
\(S = \int\limits_0^5 {\left| { - {x^2} + 5x} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{125}}{6}.\)
c) Đúng.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \({\rm{y}} = - {x^2} + 5x,{\rm{y}} = 2x\) là
\({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{9}{2}.\)
d) Sai.
Ta có: \({S_2} = S - {S_1} = \frac{{125}}{6} - \frac{9}{2} = \frac{{49}}{3}.\)
Khi đó \[\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{27}}{{98}}\].
Cho đồ thị hàm số \((C):y = \sqrt {2x} \) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x - 2\).
Diện tích hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \((C):y = \sqrt {2x} \), trục tung, trục hoành,\(x = 4\) bằng \(\frac{{16\sqrt 2 }}{3}\)
Diện tích hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x - 2\) và đồ thị \((C):y = \sqrt {2x} \), và trục hoành bằng \(\frac{5}{3}\)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(d\) quanh trục \(Ox\),\(x = 3;\,\,x = 6\) bằng \(165\pi \)
Cho hình \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \((C):y = \sqrt {2x} \), đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x - 2\) và trục hoành. Công thức tính thể tích của vật thể sinh ra khi cho hình \(H\) quay quanh trục hoành là \[V = \pi \int\limits_0^2 {\left| {{{\left( {\sqrt {2x} } \right)}^2} - {{\left( {2x - 2} \right)}^2}} \right|{\rm{d}}x} \]
a) Đúng.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 4\) là
\[S = \int_0^4 {\sqrt {2x} } {\rm{d}}x = \left. {\frac{1}{3}{{\left( {2x} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^4 = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\].
b) Đúng.
Đồ thị:
Phương trình hoành độ giao điểm:
∙ \(\sqrt {2x} = 2x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2x = {\left( {2x - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\4{x^2} - 10x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\).
∙ \(2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
∙ \(\sqrt {2x} = 0 \Rightarrow x = 0\).
Diện tích hình \(\left( H \right)\): \(S = {S_{{D_1}}} + {S_{{D_2}}} = \int\limits_0^1 {\sqrt {2x} {\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left( {\sqrt {2x} - 2x + 2} \right){\rm{d}}x} = \frac{5}{3}\)
c) Sai. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi qua bởi đồ thị \(d\) quanh trục hoành và hai đường thẳng \(x = 3;\,\,x = 6\) quanh trục \(Ox\) là
\[V = \pi \int_3^6 {{{(2x - 2)}^2}} {\rm{d}}x = \pi \left. {\frac{1}{6}{{\left( {2x - 2} \right)}^3}} \right|_3^6 = 156\pi \]
d) Sai.
Cho \(H\)là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \((C):y = \sqrt {2x} \), đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x - 2\) và trục hoành. Công thức tính thể tích của vật thể sinh ra khi cho hình \(H\) quay quanh trục hoành là: \[V = \pi \left[ {\int\limits_0^1 {{\rm{2}}x{\rm{d}}x + \int\limits_1^2 {{{\left( {2x - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} } } \right]\]
Cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 3\).
Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\), trục hoành, \(x = 2\),\(x = 3\) quanh trục hoành là: \[V = \int\limits_2^3 {{{\left( {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \]
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) với hai trục tọa độ có diện tích nhỏ hơn 2.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 3\) là \(12 - 5\ln 5\)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 3\) quanh trục hoành là: \[V = \pi \int\limits_0^4 {\left| {{{\left( {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}} \right)}^2} - {{\left( {x - 3} \right)}^2}} \right|{\rm{d}}x} \].
a) Sai.
Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\), trục hoành, \(x = 2\),\(x = 3\) quanh trục hoành là: \[V = \pi \int\limits_2^3 {{{\left( {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \]
b) Đúng.
Giao điểm với trục hoành \(\left( {\frac{3}{2};0} \right)\)
Diện tích hình phẳng: \(S = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left| {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}} \right|{\rm{d}}x} = - \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {2 - \frac{5}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \left. { - \left( {2x - 5\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_0^{\frac{3}{2}} = - 3 + 5\ln \frac{5}{2} \approx 1,58\)
c) Đúng.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 3\).
Ta có \(\frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = x - 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\)
Diện tích hình phẳng:
\(S = \int\limits_0^4 {\left| {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}} - \left( {x - 3} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^4 {\left( { - x + 5 - \frac{5}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x} = \left( { - \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 5\ln \left( {x + 1} \right)} \right)\mathop |\limits_0^4 = 12 - 5\ln 5\)
d) Sai.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = - x + 3\).
Ta có \(\frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = - x + 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 6 \)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 3\) quanh trục hoành là:
\[V = \left[ {\pi \int\limits_0^{\sqrt 6 } {{{\left( {x - 3} \right)}^2}{\rm{d}}x} - \pi \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {{{\left( {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} } \right] + \left[ {\pi \int\limits_{\sqrt 6 }^4 {{{\left( {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} - \pi \int\limits_3^4 {{{\left( {x - 3} \right)}^2}{\rm{d}}x} } \right]\].
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \(x\) \((1 \le x \le 4)\) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(3x\) và \(x.\) Thể tích vật thể là bao nhiêu?
Diện tích thiết diện là: \(S(x) = 3{x^2}\)
\( \Rightarrow \) Thể tích vật thể là: \[V = \int\limits_1^4 {3{x^2}dx = 63.} \]
Biết rằng \(y = F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = f(x).\) Đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) được biểu diễn trong hình bên dưới.
Biết rằng diện tích các phần hình phẳng \(A\)và \(B\)lần lượt là \({S_A} = 5,\,{S_B} = 2.\) Nếu \(F( - 2) = 1\) thì \(F(1)\) bằng bao nhiêu?
Theo đề bài ta có:
\({S_A} = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx = F(0) - F( - 2) = 5} \); \({S_B} = \int\limits_0^1 { - f(x)dx = F(0) - F(1) = 2} \)
Từ đó suy ra : \({S_A} - {S_B} = F(1) - F( - 2) = 3 \Leftrightarrow F(1) = 4.\)
Một dụng cụ đựng nước có dạng như hình bên. Nếu cắt dụng cụ bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\)(cm) \((0 \le x \le 5)\) thì được thiết diện là hình chữ nhật có chiều dài là \(2x\) (cm) và chiều rộng là \(\sqrt {x + 3} \)(cm). Dung tích của dụng cụ trên là bao nhiêu ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).
Diện tích của mặt cắt là: \(S(x) = 2x.\sqrt {x + 3} \)(cm2)
Ta có: Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là: \[V = \int\limits_0^5 {2x\sqrt {x + 3} } {\rm{d}}x \approx 62,6\](cm3).
Một chiếc đèn cói có hình như bên. Nếu cắt đèn bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\)(dm) \((0 \le x \le 4)\) thì được thiết diện là hình tròn có bán kính \(\sqrt {4 - x} \)(dm). Thể tích của chiếc đèn cói là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).
Diện tích của mặt cắt là: \(S(x) = \pi {(\sqrt {4 - x} )^2}\)(dm2)
Ta có: Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là: \[V = \pi {\int\limits_0^4 {\left( {\sqrt {4 - x} } \right)} ^2}{\rm{d}}x \approx 25,1\](dm3)
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) vẽ nửa đường tròn tâm \(O\), bán kính \(r = 2\) nằm phía trên trục \(Ox\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục \(Ox\) và đường thẳng \(x = 1\)(Hình 6) . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\).
Phương trình đường tròn tâm \(O\), bán kính \(r = 2\) là \({x^2} + {y^2} = 4\).
Do nửa đường tròn nằm phía trên trục \(Ox\), nên ta có \(y \ge 0\).
Suy ra phương trình nửa đường tròn là \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \).
Hình phẳng \(D\) (phần được tô đậm) được giới hạn bởi đồ thì hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \), trục \(Ox\)và đường thẳng \(x = 1\). Do đó, thể tích khối tròn xoay khi quay \(D\) quanh \(Ox\)là
\[V = \pi \int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4 - {x^2}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^1 = 9\pi \].
Một bình chứa nước có dạng như hình dạng như hình vẽ. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao \(x{\rm{ }}(dm)\)\((0 \le x \le {\rm{6)}}\) thì mặt nước là hình vuông có cạnh \(\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{6}} {\rm{ }}(dm)\). Tính dung tích của bình.
Chọn trục \(Ox\)vuông góc với mặt đáy của bình sao cho đáy nhỏ, đáy to của bình vuông góc với \(Ox\)lần lượt tại \(x = 0\) và \(x = 6\).
Diện tích mặt nước ở chiều cao \(x\) là \(S(x) = {\left( {\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{6}} } \right)^2} = 2 + \frac{{{x^2}}}{6}\).
Khi đó, dung tích của bình là \[V = \int\limits_0^6 {S(x)\,} {\rm{d}}x = \int\limits_0^6 {\left( {2 + \frac{{{x^2}}}{6}} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( {2x + \frac{{{x^3}}}{{18}}} \right)} \right|_0^6 = 24\,\,(d{m^3})\].
