Đề kiểm tra Ứng dụng hình học của tích phân lớp 12 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng:
\[\int_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} \].
\[\int_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)dx} \].
\[\int_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} - 2x + 4} \right)dx} \].
\[\int_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right)dx} \].
Chọn A
Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là:
\(\int_{ - 1}^2 {\left[ {\left( { - {x^2} + 2} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 2} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right){\rm{d}}x} .\)\(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx\).
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx\).
\(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx\).
\(V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\).
Chọn B
Công thức tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), xung quanh trục \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx\).Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ {a\,;b} \right]\] có đồ thị như hình vẽ. Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right),\;y = 0,\;x = a,\;x = b\] quanh trục \[{\rm{Ox}}\] được tính theo công thức nào sau đây:
![Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [ a; b ] có đồ thị như hình vẽ. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid2-1769935394.png)
\[S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .\]
\[S = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .\]
\[S = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\]
\[S = \int\limits_a^b {{\pi ^2}{f^2}\left( x \right)dx} .\]
Chọn A
Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right),\;y = 0,\;\] \[x = a,\;x = b\] quanh trục \[Ox\] được tính theo công thức\({e^3}.\)
\({e^3} - 1.\)
\({e^2} - 1.\)
\(e\left( {{e^2} - 1} \right).\)
Chọn B
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {e^x},\] trục hoành và hai đường thẳng \[x = 0\] và \[x = 3\] là\[2.\]
\[1.\]
\[ - 1.\]
\[3.\]
Chọn B
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\); \(y = x\) và hai đường thẳng \(x = 2;x = 3\) là
\[\begin{array}{l}S = \int\limits_2^3 {\left| {\frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} - x} \right|dx = } \int\limits_2^3 {\left| {\frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}} \right|dx = } \int\limits_2^3 {\left| { - 1 + \frac{2}{{x - 1}}} \right|dx = } \\ = \left( { - x + 2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)\mathop |\nolimits_2^3 = \left( { - 3 + 2\ln 2} \right) + 2 = - 1 + 2\ln 2\end{array}\]
Vậy \(a = 2;b = - 1 \Rightarrow a + b = 1\).\(8\).
\(12\).
\(10\).
\(9\).
Chọn C
Ta có: \[S = \int_0^2 {\left| {3{x^2} + 1} \right|} \,{\rm{d}}x = \int_0^2 {\left( {3{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} = \left( {{x^3} + x} \right)\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right. = 10\].\[\ln 3\]
\[\ln 5\]
\[\ln 2\]
\[\ln 7\]
Chọn A
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}},\)\(y = x - 1\) và hai đường thẳng \(x = 2,\)\(x = 4\) là:
\[S = \int\limits_2^4 {\left| {\frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} - (x - 1)} \right|dx} = \int\limits_2^4 {\left| { - \frac{1}{{x - 1}}} \right|dx = } \int\limits_2^4 {\frac{1}{{x - 1}}dx = } \left. {\ln \left| {x - 1} \right|} \right|_2^4 = \ln \frac{{4 - 1}}{{2 - 1}} = \ln 3.\]
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}},\)\(y = x - 1\) và hai đường thẳng \(x = 2,\)\(x = 4\) là \(S = \ln 3\).\[\frac{4}{3}\]
\[\frac{5}{2}\]
\[\frac{8}{3}\]
\[\frac{{18}}{{23}}\]
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^3} + 11x - 6 = 6{x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\].
Đặt \(h(x) = ({x^3} + 11x - 6) - 6{x^2} = {x^3} - 6{x^2} + 11x - 6\).
Bảng xét dấu
Ta có:
\[S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^3} + 11x - 6} \right) - 6{x^2}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right|{\rm{d}}x} \]
\(S = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right)dx} \) \( = - \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^3} + \frac{{11{x^2}}}{2} - 6x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^3} + \frac{{11{x^2}}}{2} - 6x} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{2}\).
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \[y = {x^3} + 11x - 6,\]\[y = 6{x^2}\] và hai đường thẳng là \(S = \frac{5}{2}\).\[10 + \frac{3}{{\ln 2}}\].
\[10 - \frac{3}{{\ln 2}}\].
\[10 - \frac{4}{{\ln 2}}\].
\[10 + \frac{4}{{\ln 2}}\].
Chọn B
Ta có đồ thị của các hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\) và \(g\left( x \right) = - x + 6\) như hình vẽ sau
Dựa vào đồ thị, ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(S = \int\limits_0^2 {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \)
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(\sqrt 3 \).
\(4\sqrt 3 \).
\(4\pi \sqrt 3 \).
\(\pi \sqrt 3 \).
Chọn B
Diện tích của mặt cắt hình vuông là \[S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {3 - {x^2}} \,} \right)^2} = 3 - {x^2}\].
Thể tích của vật thể đã cho là:
\[V = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {3 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } = \left( {2\sqrt 3 + 2\sqrt 3 } \right) = 4\sqrt 3 \].\(\frac{{25\pi }}{2}\).
\(\frac{{25}}{2}\).
\(25\pi \).
\(\frac{{25}}{4}\).
Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm hai hàm số \(y = \sqrt {5 - x} ,y = 0\).
\(\begin{array}{l}\sqrt {5 - x} = 0\\ \Leftrightarrow 5 - x = 0\\ \Leftrightarrow x = 5\end{array}\)
\[D\] là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left\{ \begin{array}{l}y = f\left( x \right) = \sqrt {5 - x} \\y = 0\\x = 0;x = 5\end{array} \right.\)
![Cho hình phẳng \[D\] giới hạn bởi đồ thị hàm số (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid5-1769935865.png)
Thể tích khối tròn xoay khi quay\(D\)quanh \(Ox\)là
\(V = \pi \int\limits_0^5 {{{\left( {\sqrt {5 - x} } \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_0^5 {\left( {5 - x} \right)} dx = \pi {\left. {\left( {5x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0}^5 = \frac{{25\pi }}{2}\).\(19\).
\(19\pi \).
\(\frac{{15\pi }}{2}\).
\(\frac{{15}}{2}\).
Chọn B
Có \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;1} \right)\]nên vtpt của đường thẳng \(AB\)là \(\overrightarrow n = \left( { - 1;3} \right)\)
Phương trình đường thẳng \(AB\)qua \(A\), vtpt \(\overrightarrow n \) có dạng
\( - 1\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 3y - 6 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{x}{3} + 2\)
Khi đó \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{3}x + 2\\y = 0\\x = 0;x = 3\end{array} \right.\)
Quay \(D\) quanh trục \[Ox\] tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng
\[V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\frac{x}{3} + 2} \right)}^2}dx = \pi \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{4}{3}x + 4} \right)} } dx = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{27}} + \frac{{2{x^2}}}{3} + 4x} \right)} \right|_0^3 = 19\pi \].Diện tích hình học phẳng được giới hạn bới hàm số đã cho, trục hoành, \(x = - 1\)và \(x = 1\) là \(\frac{{{e^2} - 1}}{e}\).
Với \(a = \ln 4\) thì diện tích hình học phẳng được giới hạn bới hàm số đã cho, các trục tọa độ và đường thẳng \(x = a\) bằng \(3\).
Cho hình phẳng \[D\] giới hạn bởi đường cong \[y = {e^x},\] trục hoành và các đường thẳng \[x = 0,\]\[x = 1.\] Khối tròn xoay tạo thành khi quay \[D\] quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng \[V = 2\pi \left( {{e^2} - 1} \right)\].
Gọi \(d\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\)đã cho tại điểm \({x_0} = 0\). Diện tích hình học phẳng được giới hạn bởi đường thẳng \(d\), trục hoành , \(x = - 1\) và \(x = 1\) là \(2\).
a) Đúng.
Diện tích hình học phẳng được giới hạn bởi hàm số \(y = {e^x}\), trục hoành, \(x = - 1\) và \(x = 1\) là
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x}} \right|} \,dx = \left. {{e^x}} \right|_{ - 1}^1 = e - \frac{1}{e} = \frac{{{e^2} - 1}}{e}\) .
b) Đúng.
Diện tích hình học phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {e^x}\], \[y = 0\], \[x = 0\] và \[x = \ln 4\] là
\[S = \int\limits_0^{\ln 4} {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_0^{\ln 4} = \]\[{e^{\ln 4}} - {e^0} = 4 - 1 = 3\].
c) Sai.
Ta có: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}} dx\)\( = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}} dx\)\( = \pi .\frac{{{e^{2x}}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right.\)\( = \frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2} \cdot \)
d) Đúng.
Ta có: \(y' = {e^x} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 1\), \(y\left( 0 \right) = 1\)
Phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại điểm \(x = 0\) là
\(\begin{array}{l}y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\\ \Leftrightarrow y = 1\left( {x - 0} \right) + 1\\ \Leftrightarrow y = x + 1\end{array}\)
Diện tích hình học phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(d\), trục hoành , \(x = - 1\) và \(x = 1\) là
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)dx} = \left. {\frac{1}{2}{x^2} + x} \right|_{ - 1}^1 = 2\).Cho đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4\,\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:y = 2x - 2\). Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm \(A\left( { - 2; - 6} \right),\,B\left( {1;0} \right),\,C\left( {3;4} \right)\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = - 1;\,x = 2\)bằng \(\frac{{21}}{4}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) bằng \(\frac{{253}}{{12}}\).
Biết đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) thành hai miền \({S_1}\) và \({S_2}\). Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{63}}{{16}}\)
a) Đúng
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 2{x^2} - 3x + 4 = 2x - 2 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\). Với: \[\begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow y = - 6\\\,x = 1 \Rightarrow y = 0\\\,x = 3 \Rightarrow y = 4\end{array}\].Vậy đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm \(A\left( { - 2; - 6} \right),\,B\left( {1;0} \right),\,C\left( {3;4} \right)\).
b) Sai
Diện tích cần tính là: \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right|} dx = \frac{{97}}{{12}}\).
c) Đúng
Ta có \[(S):\left\{ \begin{array}{l}y = f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4\\y = g\left( x \right) = 2x - 2\\x = - 2\\x = 3\end{array} \right.\]. \(\)Ta có: \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6\).
Diện tích: \(S = {S_1} + {S_2} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|} dx + \int\limits_1^3 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|} dx = \frac{{63}}{4} + \frac{{16}}{3} = \frac{{253}}{{12}}\).
d) Sai
Ta có: \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{{63}}{4}}}{{\frac{{16}}{3}}} = \frac{{189}}{{64}}\).Diện tích hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 2} \,\,\,(x \ge - 2)\) , trục tung, trục hoành và đường thẳng \(x = 2\) là \({S_D} = \frac{{16}}{3} - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\,\)(đvdt).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 2} \)và đường thẳng \(y = x\), hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = \frac{{10}}{3} - \frac{{2\sqrt 2 }}{9}\) (đvdt).
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x\), trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) quanh trục \[Ox\] là \(5\pi \) (đvtt).
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) quanh trục \[Ox\] là \(6\pi \)(đvtt).
a) Đúng.
Diện tích cần tìm là \({S_D} = \int\limits_0^2 {\left| {\sqrt {x + 2} } \right|{\rm{d}}x} \)
Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\)thì \(\sqrt {x + 2} \ge 0\) nên
\({S_D} = \int\limits_0^2 {\left| {\sqrt {x + 2} } \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\sqrt {x + 2} {\rm{ d}}x} = \int\limits_0^2 {{{\left( {x + 2} \right)}^{\frac{1}{2}}}{\rm{d}}x} = \frac{2}{3}\left. {{{\left( {x + 2} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^2 = \frac{{16}}{3} - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\,\).
b) Sai.
Diện tích cần tìm là \(S = \int\limits_0^2 {\left| {\sqrt {x + 2} - x} \right|{\rm{d}}x} \)
Ta có \(\sqrt {x + 2} - x = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (\(x \ge 0\))
Vậy\[S = \int\limits_0^2 {\left| {\sqrt {x + 2} - x} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {x + 2} - x} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_0^2 {\sqrt {x + 2} {\rm{ d}}x - \int\limits_0^2 {x{\rm{d}}x} } } \right| = \left| {\int\limits_0^2 {{{\left( {x + 2} \right)}^{\frac{1}{2}}}{\rm{d}}x} - \int\limits_0^2 {x{\rm{d}}x} } \right|\]\[ = \left| {\frac{2}{3}\left. {{{\left( {x + 2} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^2 - \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^2} \right| = \frac{{10}}{3} - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\] (đvdt).
c) Sai.
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là \(V = \pi \int\limits_1^3 {{x^2}{\rm{d}}x} = \pi \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^3 = \frac{{26}}{3}\pi \) (đvtt).
d) Đúng.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) quanh trục \[Ox\] là:
\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\sqrt {x + 2} } \right)}^2}{\rm{d}}x} = 6\pi \)(đvtt).Diện tích hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), trục tung, trục hoành là \(\frac{3}{2} - 2\ln 2.\)
Diện tích hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), đường thẳng \(d\), \(x = 1\,,\,\,x = 2\) là \(\frac{5}{2} + 2\ln \frac{3}{2}\).
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) quanh trục \(Ox\) là \[\left( {\frac{{20}}{3} - 12\ln 2} \right)\pi \].
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(H\) quanh trục \(Ox\) là \[\left( {12\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\pi .\]
a) Đúng.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}\) và trục hoành
\(\,\,\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}} = 0\,\,,x \ne - 1\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Diện tích hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), trục tung, trục hoành là
\({S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}} \right|} \,{\rm{d}}x = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {x - 2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right)} \,{\rm{d}}x} \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 2x + 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1} \right| = \frac{3}{2} - 2\ln 2\)(đvdt).
b) Sai.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(d\): \(\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}} = 2\,\,,x \ne - 1\,\,\,\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - x = 2\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \notin \left[ {1;2} \right]\\x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} \notin \left[ {1;2} \right]\end{array} \right.\)
Diện tích hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), đường thẳng \(d:y = 2\) \(x = 1\,,\,\,x = 2\) là
\({S_2} = \int\limits_1^2 {\left| {\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}} - 2} \right|} \,{\rm{d}}x = \left| {\int\limits_1^2 {\left( {x - 4 + \frac{2}{{x + 1}}} \right)} \,{\rm{d}}x} \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 4x + 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2} \right| = \frac{5}{2} - 2\ln \frac{3}{2}\) (đvdt).
c) Sai.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), trục tung, trục hoành khi quay quanh trục \(Ox\) là
\[{V_1} = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x - 2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 8 - \frac{{12}}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)} \,{\rm{d}}x\]
\[ = \pi \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 8x - 12\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{4}{{x + 1}}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{25}}{3} - 12\ln 2} \right)\pi \](đvdt).
d) Đúng.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), đường thẳng \(d\), \(x = 0\,,\,\,x = 2\) khi quay quanh trục \(Ox\) là
\[\begin{array}{l}{V_2} = \pi \int\limits_1^2 {{2^2}{\rm{d}}x - } \pi {\int\limits_1^2 {\left( {\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}{\rm{d}}x\\ = 4\pi - \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {x - 2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = 4\pi - \pi \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 4x + 8 - \frac{{12}}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)\,} {\rm{d}}x\end{array}\]
\[ = 4\pi - \pi \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 8x - 12\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{4}{{x + 1}}} \right)} \right|_1^2\]
\[ = 4\pi - \left( {5 + 12\ln \frac{2}{3}} \right)\pi = \left( {12\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\pi \](đvdt).
Ta có: mặt cắt của vật thể là một hình vuông có cạnh là \(\sqrt {9 - {x^2}} \) nên diện tích mặt cắt là:
\(S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {9 - {x^2}} } \right)^2} = 9 - {x^2}\), do \(9 - {x^2} \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;3} \right]\).
Thể tích của vật thể đã cho là:
\(V = \int\limits_0^3 {S\left( x \right){\rm{ d}}x} = \int\limits_0^3 {\left( {9 - {x^2}} \right){\rm{ d}}x} = \left. {\left( {9x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3 = 18\).Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng \(A\) và \(B\) lần lượt là \({S_A} = 4\) và \({S_B} = 10\). Tính giá trị của \(f\left( 3 \right)\), biết giá trị của \(f\left( 0 \right) = 2\).
Ta có:
Hình phẳng \(A\) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), trục hoành \(y = 0\), trục tung \(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) nên diện tích hình phẳng \(A\) là:
\({S_A} = \int\limits_0^1 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\rm{ d}}x} = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{ d}}x} = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)\)
\( \Rightarrow f\left( 1 \right) = {S_A} + f\left( 0 \right) = 4 + 2 = 6\).
Lại có:
Hình phẳng \(B\) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), trục hoành \(y = 0\), đường thẳng \(x = 1\) và đường thẳng \(x = 3\) nên diện tích hình phẳng \(B\) là:
\({S_B} = \int\limits_1^3 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\rm{ d}}x} = - \int\limits_1^3 {f'\left( x \right){\rm{ d}}x} = \left. { - f\left( x \right)} \right|_1^3 = - \left[ {f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right)} \right] = - f\left( 3 \right) + f\left( 1 \right)\).
Suy ra \(f\left( 3 \right) = f\left( 1 \right) - {S_B} = 6 - 10 = - 4\).
Vậy \(f\left( 3 \right) = - 4\).Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy \(x\)(cm)(\(0 \le x \le 16\)) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính (10+\(\sqrt x \))(cm). Tìm \(x\)(đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu?
Dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu nên ta có phương trình
\(\pi \int\limits_0^x {(10 + } \sqrt x {)^2}dx = \frac{1}{2}\pi \int\limits_0^{16} {(10 + } \sqrt x {)^2}dx \Leftrightarrow \pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^x = \frac{1}{2}\pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16}\)
\( \Leftrightarrow 100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x + \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{{3872}}{3}\)
Đặt t =\(\sqrt x \)(t>0)
Ta được phương trình \(100{t^2} + \frac{{40}}{3}{t^3} + \frac{{{t^4}}}{2} = \frac{{3872}}{3}\). Đặt \(f(t) = 100{t^2} + \frac{{40}}{3}{t^3} + \frac{{{t^4}}}{2}\)
\(f'(t) = 200t + 40{t^2} + 2{t^3} > 0\,\,\,(\forall t > 0)\)nên \(f(t)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\)
Do đó phương trình trên có nghiệm duy nhất t \( \approx 2,990279433\)
Vậy \(x = {t^2} \approx 8,94\)(cm)Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như hình bên. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\) (mét) (\(0 \le x \le 3\)) thì được hình chữ nhật có các kích thước lần lượt là \(x\) và \(\sqrt {9 - {x^2}} \). Tính thể tích cái lều (đơn vị m3).
Một cái lu đựng nước có dạng hình trụ như hình vẽ. Biết rằng khi lượng nước trong lu là x (dm) \(\left( {0 < x \le 9} \right)\)thì mặt nước lf hình tròn có bán kính là \(x\left( {dm} \right)\). Hãy tính dung tích của cái lu nước trên
Diện tích đáy của hình trụ là: \({\rm{S}} = \pi {x^2}\)
Dung tích của lu nước là: \(V = \pi \int\limits_0^9 \pi {x^2}dx = 243{\pi ^2}\)\(\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
