Do hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 27a³ nên cạnh hình lập phương là \(\sqrt[3]{{27{a^3}}} = 3a.\)

Suy ra cạnh của hình vuông ABCD là 3a và bán kính của hình trụ bằng bán kính của đường tròn (O) ngoại tiếp hình vuông ABCD và bằng \(\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}.\)

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ (T) là:

\[2\pi \cdot \frac{{3a\sqrt 2 }}{2} \cdot 3a + 2\pi \cdot {\left( {\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 9\pi {a^2}\sqrt 2 + 9\pi {a^2} = 9\pi {a^2}\left( {\sqrt 2 + 1} \right).\]

Diện tích đáy bể là: π.0,8² = 0,64π (m²).

Do hình trụ có diện tích đáy bằng 0,64π m² và có thể tích là 1,1\[h = \frac{{1,12\pi }}{{0,64\pi }} = 1,75\]2π m³ nên ta có chiều cao của hình trụ đó là:  (m).

Diện tích xung quanh của bể hình trụ đó là: 2π.0,8.1,75 = 2,8π (m²).

Số tiền làm đáy bể là: 0,64π . 100 000 = 64 000π (đồng).

Số tiền làm thân bể là: 2,8π . 150 000 = 420 000π (đồng).

Số tiền làm nắp bể là: 0,64π . 120 000 = 76 800π (đồng).

Số tiền bác An đã chi để làm được cái bể đó là:

64 000π + 420 000π + 76 800π = 560,8π ≈ 560,8 . 3,14 ≈ 1 761 000 (đồng).

Thể tích của khối gỗ hình trụ (T) là: πR²h.

Thể tích của khối gỗ hình nón (N) là: \(\frac{1}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{2}{3}R} \right)^2} \cdot h = \frac{4}{{27}}\pi {R^2}h.\)

Thể tích phần còn lại của khối gỗ (T) sau khi khoét bỏ khối gỗ hình nón (N) là

\(\pi {R^2}h - \frac{4}{{27}}\pi {R^2}h = \frac{{23}}{{27}}\pi {R^2}h.\)

Tỉ số phần trăm của khối gỗ (T) sau khi khoét bỏ khối hình nón (N) so với thể tích của khối gỗ (T) ban đầu là \(\frac{{\frac{{23}}{{27}}\pi {R^2}h}}{{\pi {R^2}h}} \cdot 100\% \approx 85,2\% .\)

Vậy thể tích phần còn lại của khối gỗ (T) sau khi khoét bỏ khối hình nón (N) bằng khoảng 85,2% thể tích của khối gỗ (T) ban đầu.

Chu vi của một phần tư hình tròn tâm A bán kính AB = 4 dm là:

\(\frac{1}{4} \cdot 2\pi \cdot 4 = 2\pi \) (dm).

Gọi R là bán kính đường tròn đáy của phễu.

Ta có 2πR = 2π nên R = 1 (dm).

Lại có, đường sinh của phễu là l = 4 dm, suy ra chiều cao của phễu là:

\(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{4^2} - {1^2}} = \sqrt {15} \approx 3,87\) (dm).

Ta có chiều cao của hình nón là: \(\sqrt {{{17}^2} - {8^2}} = \sqrt {289 - 64} = \sqrt {225} = 15\) (cm).

Gọi R là bán kính hình cầu.

Do thể tích hình cầu bằng thể tích hình nón nên ta có:

\(\frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {8^2} \cdot 15\) hay R³ = 240.

Do đó \(R = \sqrt[3]{{240}} \approx 6,2\) (cm).

Bán kính mặt cầu của hình cầu có đường kính là 30 cm là: 30 : 2 = 15 (cm).

Thể tích hình cầu bán kính 15 cm là:

\[V = \frac{4}{3}\pi \cdot {15^3} = 4\,\,500\pi \] (cm³).

Thể tích bình nuôi cá cảnh là:

\[\frac{5}{6} \cdot 4\,\,500\pi = 3\,\,750\pi \] (cm³).

Lượng nước cần phải đổ là:

\[\frac{3}{4}\].3 750π = 2 812,5π (cm³) = 2,8125π (dm³) = 2,8125π (lít) ≈ 8,83125 (lít).

Ta có tổng thể tích của 4 viên bi thuỷ tinh hình cầu có cùng bán kính 3 cm là:

\(4 \cdot \left( {\frac{4}{3}\pi \cdot {3^3}} \right) = 144\pi \) (cm³).

Khi thả vào cốc nước 4 viên bi thuỷ tinh đó thì lượng nước trong cốc cao thêm độ cao h là: \(h = \frac{{144\pi }}{{\pi \cdot {4^2}}} = 9\) (cm).

Vậy sau khi thả vào cốc nước 4 viên bi thuỷ tinh đó, mực nước trong cốc cách miệng cốc một khoảng là: 20 – 9 – 9 = 2 (cm).