Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{x^2} - 6x + 5}} = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{x^2} - 6x + 5}} = 2\)

Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{x^2} - 6x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x - 5}} = + \infty \);

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{x^2} - 6x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x - 5}} = 0\).

Do đó, đường thẳng x = 5 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: A

Ta có: y' = 2x –

          y' = 0 ⇔ x = 2 (do x ∈ [1; e]).

Ta có: y(1) = 1; y(2) = 4 – 8ln2 ≈−1,55; y(e) = e² – 8 ≈ −0,61.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [1; e] là 1.

Đáp án đúng là: A

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5.

Hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y = −2 và y = 1.

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1; 0).

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị hàm số, ta thấy:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung

⇒ x = \( - \frac{d}{c}\) > 0 ⇒ dc < 0.        (1)

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nằm trên trục hoành

⇒ y = \( - \frac{b}{a}\) > 0 ⇒ ab < 0.        (2)

Với x = 0 thì y = \(\frac{b}{d}\) > 0 hay bd > 0.   (3)

Đồ thị hàm số cho thấy y' = \(\frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) < 0 hay ad – bc < 0 ⇒ ad < bc.

Từ (1), (2) và (3) suy ra bc < 0, ad < 0.

Vậy ad < bc < 0.

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng:

2x – 3 = \(\frac{{2x + 3}}{{x + 3}}\)

(2x – 3)(x + 3) = 2x + 3

2x² + 3x – 9 = 2x + 3

2x² + x – 9 = 0

Xét ∆ = 1 + 4.2.9 = 55 > 0

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ (x₁; x₂ là hoành độ của hai điểm A, B).

Theo Vi-et, ta có: x₁ + x₂ = \( - \frac{1}{2}\)

Từ đó, hoành độ điểm I với I là trung điểm AB là: x_I = \(\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = - \frac{1}{4}\).

Do I là trung điểm AB nên I cũng thuộc đường thẳng y = 2x – 3.

Từ đó, tung độ điểm I là y_I = 2.\(\left( { - \frac{1}{4}} \right)\) − 3 = \( - \frac{7}{2}\).

Vậy \(I\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{7}{2}} \right).\)

a) Khi m = 2, ta có: y = \(\frac{1}{3}\)x³ + x² + x + \(\frac{2}{3}\).

                                y' = x² + 2x + 1 = (x + 1)² ≥ 0 với mọi x.

Hàm số luôn đồng biến trên ℝ.

Hàm số không có cực trị.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \)

Đồ thị hàm số nhận điểm I\(\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)\) làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số có hình vẽ như sau:

b) Ta có: y = \(\frac{1}{3}\)x³ + (m – 1)x² + (2m – 3)x + \(\frac{2}{3}\)

               y' = x² + 2(m – 1)x + 2m – 3

               y' = x² + 2mx – 2x + 2m – 3

               y' = (x² – 2x – 3) + (2mx + 2m)

               y' = (x + 1)(x – 3) + 2m(x + 1).

               y' = (x + 1) (x – 3 + 2m)

               y' = 0 khi x = −1 hay x = 3 – 2m

Để hàm số có hai nghiệm phân biệt thì x₁ ≠ x₂ hay 3 – 2m ≠ −1 hay m ≠ 2.   

Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 5\)

           (−1)² + (3 – 2m)² = 5

            (3 – 2m)² = 4

Suy ra 3 – 2m = 2 hoặc 3 – 2m = −2

⇒ m = \(\frac{5}{2}\) hoặc m \(\frac{1}{2}\).

Vậy m ∈ \(\left\{ {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right\}\).

c) Ta có: y' = x² + 2(m – 1)x + 2m – 3

Để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {2m - 3} \right) \le 0\end{array} \right.\)        

m² – 2m + 1 – 2m + 3 ≤ 0

m² – 4m + 4 ≤ 0

(m – 2)² ≤ 0

⇒ m = 2.

d) Ta có: y' = x² + 2(m – 1)x + 2m – 3

             y' = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3 - 2m\end{array} \right.\)

Trường hợp 1: −1 ≤ 3 – 2m ⇔ m ≤ 2. Ta có bảng biến thiên như sau:

Để hàm số đồng biến trên (1; +∞) thì 3 – 2m ≤ 1 ⇔ m ≥ 1.

Vậy kết hợp điều kiện ta được 1 ≤ m ≤ 2.

Trường hợp 2: 3 – 2m < −1 ⇔ m > 2. Có bảng biến thiên như sau:

Trường hợp này hàm số đồng biến trên (−1; +∞) nên hiển nhiên đồng biến trên (1; +∞).

Vậy trường hợp này m > 2.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) khi và chỉ khi m ≥ 1.

a) Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = 3x² – 6x²

           y' = 0 ⇔ 3x² – 6x² = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 và y_CĐ = y(0) = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 và y_CT = y(2) = −2.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \)

Ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (3; 2); (2; −2); (−1; −2); (0; 2).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (1; 0).

Đồ thị hàm số như sau:

b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 0).

Ta có: y'(1) = −3.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của nó là:

y =  y'(1)(x – 1) + y(1)

   = −3(x – 1) + 0

   = −3x + 3 (∆).

Ta có: y' = 3x² – 6x = 3(x² – 2x + 1) – 3 = 3(x – 1)² – 3 ≥ −3 với mọi x.

Vậy ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).

c) Ta có: x³ – 3x² – m = 0 ⇔ x³ – 3x² + 2 = m + 2.

a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2m + 1}}{{x - 1}} = m + 1\);

               \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y\frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2m + 1}}{{x - 1}} = m + 1\).

Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng y = m + 1.

Để tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 2) thì m + 1 = 2 hay m = 1.

Vậy m = 1.

b) Với m = 1, hàm số trở thành \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Ta có: \(\frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) < 0, với mọi x ≠ 1.

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2\),

                \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2\).

Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

                 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = + \infty \),

                 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = - \infty \).

Do đó, đồ thị nhận đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên của hàm số được cho như sau:

Đồ thị hàm số như sau:

c) Ta có:

\(y = \left| {f(x)} \right| = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{ khi f(x) }} \ge {\rm{ 0}}\\ - f(x){\rm{ khi f(x) < 0}}{\rm{.}}\end{array} \right.\)

Như vậy, để vẽ đồ thị hàm số y = \(\left| {f(x)} \right|\) ta làm như sau: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số

y = f(x) ở phía trên trục Ox; lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị hàm số y = f(x) ở phía trên trục Ox. Đồ thị y = \(\left| {f(x)} \right|\) là đường liền nét trong hình vẽ dưới đây:

a) Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

Ta có: \(y' = \frac{{m{x^2} + 4mx + 4m - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ mx² + 4mx + 4m – 1 = 0

Xét ∆' = 4m² – m(4m – 1) = 4m² – 4m² + m = m.

Với m > 0 thì ta được y' = 0 là phương trình bâc hai có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m > 0.

b) Với m = 1, ta có: y = \(\frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ x² + 4x + 3 = 0 ⇔ x = −3 hoặc x = −1.

Ta có:   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \) .

             \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = - \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = −2 làm tiệm cận đứng.

Ta có: y = \(\frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\)= x – 1 + \(\frac{1}{{x + 2}}\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\)

Do đó, đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số như sau:

c) Lấy M\(\left( {t;\frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}}} \right)\) ∈ (H) bất kì.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại M là:

d: y = y'(t)(x – t) + y(t)

    y = \(\frac{{{t^2} + 4t + 3}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\left( {x - t} \right) + \frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}}\).

Tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng tại điểm A\(\left( { - 2; - \frac{{3t + 4}}{{t + 2}}} \right)\).

Tiếp tuyến d cắt tiệm cận xiên tại điểm B(2t + 2; 2t + 1).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2t = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = (2t + 1) - \frac{{3t + 4}}{{t + 2}} = \frac{{2{t^2} + 2t - 2}}{{t + 2}} = 2{y_M}\end{array} \right.\).

Vậy M là trung điểm của đoạn AB.

a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài  của quạt tròn dùng làm phễu nên ta có: 2πr = Rx ⇔ r = \(\frac{{Rx}}{{2\pi }}\).

Mặt khác h = \(\sqrt {{R^2} - {r^2}} \) = \(\sqrt {{R^2} - \frac{{{R^2}{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \) = \(\frac{R}{{2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \).

b) Thể tích của hình nón là:

V = \(\frac{1}{3}\pi {r^2}h\) = \(\frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \), 0 < x < 2π.

c) Ta cần tìm x ∈ (0; 2π) sao cho thể tích V đạt giá trị lớn nhất.

Xét hàm số f(x) = \(\frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \), x ∈ (0; 2π).

Ta có: f'(x) = \(\frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}.\frac{{x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\)

           f'(x) = 0 ⇔ x = \(\frac{{2\pi \sqrt 6 }}{3}\)≈ 1,63π.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hình nón có thể tích lớn nhất khi x = \(\frac{{2\pi \sqrt 6 }}{3}\)≈ 1,63π.

Khi đó: \(\mathop {\max }\limits_{x \in (0;2\pi )} V = f\left( {\frac{{2\pi \sqrt 6 }}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\pi {R^3}\).

a) Ta có:

Kẻ AH là chiều cao của tam giác ABC

Lúc này, AH = \(\sqrt {A{C^2} - H{C^2}} \) = \(\sqrt {25 - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \) = \(\frac{1}{2}\sqrt {100 - {x^2}} \).

Diện tích tam giác ABC là:

S_∆ABC = \(\frac{1}{2}\)BC. AH = \(\frac{1}{2}\)x\(\frac{1}{2}\sqrt {100 - {x^2}} \) = \(\frac{1}{4}x\sqrt {100 - {x^2}} \).

Thể tích khối lăng trụ là:

V = S_∆ABC. AA' = 5x\(\sqrt {100 - {x^2}} \) (m³) với 0 < x < 10.

b) Xét hàm số thể tích f(x) = 5x\(\sqrt {100 - {x^2}} \) trên khoảng (0; 10).

Ta có: f'(x) = 5\(\sqrt {100 - {x^2}} \) + 5x.\(\frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {100 - {x^2}} }}\) = \(\frac{{500 - 10{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\);

           f'(x) = 0 ⇔ x = \(5\sqrt 2 \) (x > 0).

Bảng biến thiên:

Vậy hình lăng trụ có thể tích lớn nhất khi x = \(5\sqrt 2 \) (m).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{x \in (0;10)} V = V\left( {5\sqrt 2 } \right) = 250\)(m³).