Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 1 lớp 12 (có lời giải) - Đề 4

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\).

\(y' \ge 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 0\end{array} \right.\)

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Ta có: \[y' = 81{x^2} + 216x - 81\]

\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x =  - 3\end{array} \right.\]

Nhận xét: Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên [1;3]

Ta có \[f'\left( x \right) = 3{x^2} - 16x + 16\] ; \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\quad  \notin \left( {1;3} \right)\\x = \frac{4}{3}\;\;\; \in \left( {1;3} \right)\end{array} \right.\]

\[f(1) = 0;\,\,\,f\left( {\frac{4}{3}} \right) = \frac{{13}}{{27}};\,\,\,f(3) =  - 6\].

Do đó \[\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;3} \right]} {\kern 1pt} f(x) = f\left( {\frac{4}{3}} \right) = \frac{{13}}{{27}}\].

Ta có hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 1\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1\;;\;3} \right]\)

\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x\).

\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left( {1;3} \right)\\x = \sqrt 2  \in \left( {1;3} \right)\\x =  - \sqrt 2  \notin \left( {1;3} \right)\end{array} \right.\].

\(f\left( 1 \right) =  - 2;\;f\left( {\sqrt 2 } \right) =  - 3;\,f\left( 3 \right) = 46\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm đã cho trên đoạn \(\left[ {1\;;3} \right]\) bằng 46.

Tập xác định của hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = 2;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = 2\).

Vậy đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} =  - \infty \).

Vậy đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \[x = 1\].

Ta có \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{x + 2}} = 2x - 7 + \frac{{15}}{{x + 2}}\)

Nhận thấy: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {2x - 7} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{15}}{{x + 2}} = 0\] ;

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {2x - 7} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{15}}{{x + 2}} = 0\].

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \[y = 2x - 7\].

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \[f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 2;0} \right)\] nên hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 2;0} \right)\].

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: đồ thị có đường tiệm cận đứng là \[x = 1\] (loại C), đường tiệm cận ngang là \[y = 1\] (loại B) ; \[y' < 0\,\forall x \ne 1\] (loại A) nên đáp là D.

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\].

\(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x - 2}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\).

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có \(v = s' = 9{t^2} + 8t - 1\).

Vận tốc của chuyển động khi \[t = 4s\] bằng \(v\left( 4 \right) = {9.4^2} + 8.4 - 1 = 175\,\left( {m/s} \right)\).

Ta có : \(f'(x) = {x^2}(x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\left( {{n_o}\,kep} \right)\\x = 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right) \Rightarrow \] mệnh đề a) đúng.

b)    Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).

Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}},y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\), ta có dấu của \({y^\prime }\) :

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {1;2} \right)\] và \(\left( {2;3} \right)\) \[ \Rightarrow \] mệnh đề b) sai.

c)    Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Suy ra điểm cực đại của hàm số là \(x = 0\) ( \(y'\) đổi dấu từ + sang - ) \[ \Rightarrow \] mệnh đề c) đúng.

d)    Ta có \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 2}}\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).

\(g'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}},\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 \Rightarrow y = 0}\\{x = 3 \Rightarrow y = 4}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;0} \right)\\B\left( {3;4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB:y = 2x - 2\]

Vậy điểm \(N\left( {2;2} \right) \in AB \to \) mệnh đề d) đúng.

\[\left\{ \begin{array}{l}f( - 1) =  - 34\\f(1) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]}  = 0\], mệnh đề a) đúng.

b)    Ta có \(f'(x) = 3{x^2} - 16x + 16;f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 16x + 16 = 0 \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{array}{l}x = 4 \notin [1;3]\\x = \frac{4}{3} \in [1;3]\end{array} \right.\)

Khi đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(1) = 0}\\{f(\frac{4}{3}) = \frac{{13}}{{27}}}\\{f(3) =  - 6}\end{array}} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {1;3} \right]}  = \frac{{13}}{{27}} = a\\\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {1;3} \right]}  =  - 6 = b\end{array} \right. \to 27a - b = 19\]. Mệnh đề b) sai.

c)    Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}};y' = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x = 0

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \notin (1; + \infty )}\\{x = 2 \in (1; + \infty )}\end{array}} \right.\).

Từ bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất là: 3 \( \to \) Mệnh đề c) đúng.

d) Ta có \[G'\left( x \right) = 1,5x - 0,075{x^2},G'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1,5x - 0,075{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 20 \in \left( {0; + \infty } \right)\\x = 0 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\]

Vậy huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng \(20mg\). Mệnh đề d) đúng.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 3}} = 1\) nên đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\) có đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\).

b) Đúng.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}} =  + \infty \) nên đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}\) có đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 1\).

c) Đúng.

Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 3}} = x - 6 + \frac{{20}}{{x + 3}}\)

Vậy đường thẳng \(y = x - 6\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

d) Đúng.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5x + 15}}{x} = 5\). Vậy đường thẳng \(y = 5\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

a) Sai.

Thay \(x = 0\) vào hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) ta được \(y = 1\).

Mặt khác đồ thị đã cho đi qua điểm O\(\left( {0;\,0} \right)\).

b) Sai.

Hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có tiệm đứng là đường thẳng \(x = 1\).

Mặt khác đồ thị đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 1\).

c) Đúng.

Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

\(y' = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

d) Sai.

Ta có \(P'\left( t \right) = \frac{{0,75a{e^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {b + {e^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}}\), \(t \ge 0\).

  Theo giả thiết ta có

 \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( 0 \right) = 20\\P'\left( 0 \right) = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{b + 1}} = 20\\\frac{{0,75a}}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 20\left( {b + 1} \right)\\\frac{{15}}{{b + 1}} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 30\\b = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Từ đồ thị và giả thiết, ta có bảng biến thiên của \[y = f\left( x \right)\]:

\[y' = {\left( {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \right)^\prime } = 2f\left( x \right).f'\left( x \right)\].

Ta có bảng xét dấu của \[y' = {\left( {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \right)^\prime }\]:

Ta được hàm số \[y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\] nghịch biến trên \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\] và \(\left( {1;\,3} \right)\). Do đó hàm số có \(2\) khỏang nghịch biến.

\(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 5\). Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(y' = 3{x^2} - 6x - 9\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Với \[x =  - 1 \Rightarrow y = 10 \Rightarrow A\left( { - 1;10} \right)\].

Với \[x = 3 \Rightarrow y =  - 22 \Rightarrow B\left( {3; - 22} \right)\].

Ta có phương trình đường thẳng \[AB\] là: \[\frac{{x + 1}}{{3 + 1}} = \frac{{y - 10}}{{ - 22 - 10}}\] \[ \Rightarrow y =  - 8x + 2\] \[ \Rightarrow {x_I} = \frac{1}{4}\]

Vậy suy ra \[\frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 1 - \frac{1}{4}} \right)}^2} + {{10}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {3 - \frac{1}{4}} \right)}^2} + {{22}^2}} }} = \frac{5}{{11}}\]\( \Rightarrow b + c = 16\).

Đặt \(t = \sin x\), \(t \in \left[ {0\,;\,1} \right]\).

Xét hàm \(f\left( t \right) = \frac{{3t + 2}}{{t + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,1} \right]\) có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0\,,\,t \in \left[ {0\,;\,1} \right]\).

Suy ra hàm số đồng biến trên \(\left[ {0\,;\,1} \right]\)

\[ \Rightarrow M = \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left[ {0;1} \right]} f(t) = f(1) = \frac{5}{2}\] và \[m = \mathop {{\rm{Min}}}\limits_{\left[ {{\rm{0;1}}} \right]} f(t) = f(0) = 2\].

Khi đó, \({M^2} + {m^2} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + {2^2} = \frac{{41}}{4}\) \( \Rightarrow b - c = 37\).

Ta có: \[v'(t) = 0,003906{t^2} - 0,18058t\]

\[v'(t) = 0 \Leftrightarrow 0,003906{t^2} - 0,18058t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 46,23\end{array} \right.\].

\[\begin{array}{l}v(0) = 83;\\v\left( {46,23} \right) = 18,67;\\v\left( {126} \right) = 1254,05.\end{array}\]

Tàu con thoi đạt vận tốc lớn nhất bằng \[1254,05\,\,\,\left( {ft/s} \right)\].

Ta có độ dài một cạnh của mảnh vườn là \(x\,\,\left( m \right)\) nên độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là \(\frac{{900}}{x}\,\,\left( m \right)\).

Ta có \(x \ge \frac{{900}}{x}\,\). Suy ra, \(x \ge 30\).

Ta có \(P\left( x \right) = 2\left( {x + \frac{{900}}{x}} \right) = 2x + \frac{{1800}}{x}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {P\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1800}}{x} = 0\) nên đồ thị hàm số \(P\left( x \right)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x\).

Suy ra \(a = 2,\,\,b = 0\). Do vậy, \[T = 100\].

Phương trình hoành độ giao điểm

\[\begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2x - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x = 0\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\]

Suy ra toạ độ các giao điểm \(A\left( {0;\,\, - 1} \right),\,\,B\left( {2;\,\,3} \right)\)

Diện tích cần tìm là

 \[S = \frac{1}{2}\left| {0.3 - \left( { - 1} \right).2} \right| = 1\].