Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng toán liên quan đến kiến thức hình học

Đáp án đúng là: B

Gọi độ dài đáy lớn và đáy nhỏ của hình thang lần lượt là x, y (x > 5, x > y > 0, cm).

Diện tích hình thang là 140 cm² nên ta có \(\frac{{\left( {x + y} \right).8}}{2} = 140\) hay x + y = 35 (1)

Đáy lớn hơn đáy bé 5 cm nên ta có phương trình x – y = 5 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 35\\x - y = 5\end{array} \right.\).

Thế x = 5 + y vào phương trình (1) ta được 5 + 2y = 35 hay y = 15 (thỏa mãn).

Thay y = 15 vào phương trình x – y = 5 suy ra x = 20 (thỏa mãn).

Vậy đáy lớn của hình thang là 20 cm, đáy nhỏ là 15 cm.

Đáp án đúng là: A

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là x, y (0 < y < x, m).

Theo đề chu vi của mảnh vườn là 34 m nên ta có phương trình:

2(x + y) = 34 suy ra x + y = 17 (1)

Diện tích mảnh vườn là xy (m²).

Nếu tăng chiều dài 3 m và chiều rộng 2 m thì diện tích tăng thêm 45 m² nên ta có phương trình (x + 3)(y + 2) = xy + 45 hay 2x + 3y = 39 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 17\\2x + 3y = 39\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1) ta có x = 17 – y.

Thế x = 17 – y vào phương trình (2) ta có 2(17 – y) + 3y = 39 hay y = 5 (thỏa mãn).

Thay y = 5 vào phương trình (1) ta có x = 12 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 12 m.

>

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là x, y (x > y > 0, m).

Chu vi mảnh vườn bằng 198 m nên 2(x + y) = 198 hay x + y = 99 (1).

Diện tích mảnh vườn bằng 2430 m² nên ta có xy = 2430 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 99\\xy = 2430\end{array} \right.\).

Từ phương trình (1) ta có x = 99 – y.

Thay x = 99 – y vào phương trình (2), ta được:

(99 – y).y = 2430 hay y² – 99y + 2430 = 0 hay y² – 54y – 45y + 2430 = 0.

Suy ra (y – 54)(y – 45) = 0

Do đó y = 54 (thỏa mãn) hoặc y = 45 (thỏa mãn).

Với y = 54 thay vào phương trình (1) được x = 45 (loại do x > y).

Với y = 45 thay vào phương trình (1) được y = 54 (thỏa mãn).

Vậy chiều rộng của thửa ruộng là 45 m.

Đáp án đúng là: D

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x, y (x > 7, x > y > 0, đơn vị: m).

Mảnh đất có đường chéo là 13 m nên ta có phương trình:

x² + y² = 13² (Định lý Pythagore) (1).

Chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7 m nên ta có phương trình: x – y = 7 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {13^2}\\x - y = 7\end{array} \right.\).

Thay x = 7 + y vào phương trình (1) ta được:

(7 + y)² + y² = 13² hay 2y² + 14y – 120 = 0 hay 2y² – 10y + 24y – 120 = 0

Suy ra (y – 5)(2y + 24) = 0 nên y = 5 (thỏa mãn) hoặc y = −12 (loại).

Thay y = 5 vào phương trình (2) được x = 12 (thỏa mãn).

Do đó, chiều dài mảnh đất là 12 m và chiều rộng mảnh đất là 5 m.

Chu vi mảnh đất hình chữ nhật đó là: 2(5 + 12) = 34 (m).

Đáp án đúng là: A

Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó lần lượt là x, y (x > y > 0, m).

Chu vi hình chữ nhật là 70 m nên 2(x + y) = 70 hay x + y = 35 (1).

Diện tích của hình chữ nhật là xy (m²).

Nếu giảm chiều rộng đi 3 m và tăng chiều dài 5 m thì diện tích như cũ nên ta có phương trình (x + 5)(y – 3) = xy hay 5y – 3x = 15 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 35\\5y - 3x = 15\end{array} \right.\).

Từ (1) ta có y = 35 – x.

Thế y = 35 – x vào phương trình (2) ta được:

5(35 – x) – 3x = 15 hay 8x = 160 nên x = 20 (thỏa mãn)

Thay x = 20 vào (1) được y = 15 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 20 m và 15 m.

Đáp án đúng là: A

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x, y (x > y > 2, m).

Theo đề chiều dài gấp bốn lần chiều rộng nên ta có x = 4y (1).

Diện tích mảnh đất đó là xy (m²).

Nếu giảm chiều rộng 2m vào tăng chiều dài lên gấp đôi thì diện tích tăng thêm 20 m² nên ta có phương trình 2x(y – 2) = xy + 20 hay xy – 4x = 20 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\xy - 4x = 20\end{array} \right.\).

Thế x = 4y vào phương trình (2) được 4y² – 8x – 20 = 0 hay y² – 4y – 5 = 0.

Suy ra (y – 5)(y + 1) = 0 nên y = 5 (thỏa mãn) hoặc y = −1.

Với y = 5 thì x = 20 (thỏa mãn).

Vậy chiều rộng của mảnh đất đó là 5 m.

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác đó lần lượt là x, y (x, y > 0, dm).

Theo đề, chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\) cạnh đáy nên x = \(\frac{3}{4}\)y (1).

Diện tích tam giác là \(\frac{1}{2}\)xy (dm²).

Nếu tăng chiều cao thêm 3 dm và cạnh đáy giảm 3 dm thì diện tích tăng thêm 12 dm² nên ta có phương trình \(\frac{1}{2}\)(x + 3)(y – 3) = \(\frac{1}{2}\)xy + 12 hay xy – 3x + 3y – 9 = xy + 24

Hay 3x – 3y = −33 hay x – y = −11 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}y\\x - y = - 11\end{array} \right.\)

Thay x = \(\frac{3}{4}\)y vào phương trình (2) ta được

\( - \frac{1}{4}\)y = −11 suy ra y = 44 (thỏa mãn).

Với y = 44 thì x = 33.

Chiều cao của tam giác là 33 dm, đáy là 44 dm.

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật là x, y (x > y > 0, cm).

Chu vi của hình chữ nhật là 2010 cm nên ta có 2(x + y) = 2010 hay x + y = 1005 (1)

Khi tăng chiều dài 20 cm, tăng chiều rộng 10 cm thì kích thước hình chữ nhật mới là

Chiều dài: x + 20 (cm), chiều rộng: y + 10 (cm).

Khi đó diện tích hình chữ nhật mới là:

(x + 20)(y + 10) = xy + 13 300 hay x + 2y = 1310 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1005\\x + 2y = 1310\end{array} \right.\).

Thế x = 1005 – y vào phương trình thứ (2) được 1005 – y + 2y = 1310 hay y = 305 (thỏa mãn).

Thay y = 305 vào phương trình (1) được x = 700 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật lần lượt là 700 m và 305 m.

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật (x > y > 4).

Chu vi của khu vườn là 280 m nên ta có 2(x + y) = 280 hay x + y = 140 (1)

Sau khi làm lối đi thì chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là x – 4 và y – 4 (m).

Diện tích phần còn lại để trồng là: (x – 4)(y – 4) = 4256 hay xy – 4x – 4y = 4240 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 140\\xy - 4x - 4y = 4240\end{array} \right.\)

Thế x = 140 – y vào phương trình (2) ta được:

(140 – y)y – 4(140 – y) – 4y = 4240 hay y² – 140y – 4800 = 0 hay (y – 60)(y – 80) = 0

Do đó, y = 60 hoặc y = 80.

Với y = 60 thì x = 80 (thỏa mãn do x > y).

Với y = 80 thì x = 60 (loại).

Vậy chiều dài ban đầu của khu vườn là 80 m, chiều rộng ban đầu của khu vườn là 60 m.