ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Diện tích hình trụ, thể tích khối trụ

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: \[{S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .5.3 + 2\pi {.5^2} \approx 251,3c{m^2}\]

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: A

Thể tích gáo \[{V_1} = \pi {R^2}.h = \pi .0,{04^2}.0,05 = 8\pi {.10^{ - 5}}({m^3})\]

Số nước múc ra trong một ngày \[{V_2} = 170{V_1} = 170.8.\pi {.10^{ - 5}} = 0,0136\pi \left( {{m^3}} \right)\]

Số ngày dùng hết nước là \[\frac{{2.3.2}}{{{V_2}}} = \frac{{12}}{{0,0136\pi }} \approx 281\] (ngày)

Đáp án cần chọn là: B

\[V = Sh = \pi {R^2}.h \Rightarrow R = \sqrt {\frac{V}{{\pi h}}} = \sqrt {\frac{{0,{{5.10}^{ - 3}}}}{{\pi .0,15}}} = 0,0326(m) = 3,26(cm)\]

Đáp án cần chọn là: A

- Với cột bê tông hình lăng trụ:

Đáy của mỗi cột là hình lục giác đều có diện tích bằng 6 tam giác đều cạnh 14cm, mỗi tam giác có diện tích là\[\frac{{{{14}^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)\]

- Với cột bê tông đã trát vữa hình trụ:

Đáy của mỗi cột là hình tròn bán kính 15cm nên có diện tích là \[{15^2}\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Số lượng vữa cần trát thêm vào tất cả 17 cột, mỗi cột cao 390cm là:

\[17.390\left( {{{15}^2}\pi - 6.\frac{{{{14}^2}\sqrt 3 }}{4}} \right) = 1,{31.10^6}c{m^3} = 1,31{m^3}\]

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: A

Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{V = \pi r_1^2{h_1} + \pi r_2^2{h_2} = \pi r_1^2{h_1} + \pi \frac{1}{4}r_1^2.2{h_1} = \frac{3}{2}\pi r_1^2{h_1} = 30}\\{ \Rightarrow \pi r_1^2{h_1} = 20}\end{array}\]

Vậy thể tích khối trụ (H₁) là 20 cm³.

Đáp án cần chọn là: C

Dựa vào dữ kiện bài toán và hình vẽ ⇒ Hình trụ có chiều cao h = 2r và bán kính đáy R = 2r .

⇒ Thể tích khối trụ là\[V = \pi {\left( {2r} \right)^2}2r = 8\pi {r^3} = 120 \Leftrightarrow {r^3} = \frac{{120}}{{8\pi }} = \frac{{15}}{\pi }\]

Vậy thể tích mỗi khối cầu là \[{V_c} = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi .\frac{{15}}{\pi } = 20\,\,\left( {c{m^3}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: B

Gọi O,O′ lần lượt là tâm đường tròn đáy chứa A,B.

Gọi A′ là hình chiếu của A lên đường tròn đáy chứa điểm B.

Ta có\[AA'\parallel OO' \Rightarrow OO'\parallel \left( {AA'B} \right) \supset AB\]

\[ \Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = d\left( {OO';\left( {AA'B} \right)} \right) = d\left( {O';\left( {AA'B} \right)} \right)\]

Gọi H là trung điểm của A′B, ta có \[O'H \bot A'B\] (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Khi đó ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{O\prime H \bot A\prime B}\\{O\prime H \bot AA\prime }\end{array}} \right. \Rightarrow O\prime H \bot (AA\prime B) \Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = OH = \frac{1}{2}\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O′HB có

\[HB = \sqrt {O'{B^2} - O'{H^2}} = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

\[ \Rightarrow A'B = 2HB = \sqrt 3 \]

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông  có:

\[AA' = \sqrt {A{B^2} - A'{B^2}} = \sqrt {6 - 3} = \sqrt 3 \]

Vậy thể tích khối trụ là \[V = \pi {r^2}h = \pi {.1^2}.\sqrt 3 = \pi \sqrt 3 \]Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: C

Gọi r,h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, ta có

\[{S_{xq}} = 2\pi rh \Leftrightarrow 16\pi = 2\pi rh \Leftrightarrow rh = 8\]

Lại có thiết diện qua trục là hình vuông nên \[h = 2r\]do đó \[r.2r = 8 \Leftrightarrow {r^2} = 4\]

\[ \Rightarrow r = 2,\,\,h = 4 = AA'\]

Theo bài ra ta có: \[\angle AOB = {120^0}\]Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAB ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2.OA.OB.\cos \angle AOB}\\{A{B^2} = {r^2} + {r^2} - 2.r.r.\cos {{120}^0}}\\{A{B^2} = 3{r^2}}\\{ \Rightarrow AB = r\sqrt 3 = 2.\sqrt 3 }\end{array}\]

Vậy \[{C_{ABB'A'}} = 2\left( {AB + AA'} \right) = 2\left( {2\sqrt 3 + 4} \right) = 8 + 4\sqrt 3 \]Đáp án cần chọn là: D

Giả sử thiết diện qua trục là hình chữ nhật ABCD, ta có \[AD = h = 3,\,\,AB = 2r = 2\]Vậy \[{S_{ABCD}} = 3.2 = 6\]Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: \[{S_{ABCD}} = AB.AD = 2rh = 10.\]

\[ \Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi rh = 10\pi .\]Đáp án cần chọn là: A

Ta có hình trụ có diện tích đáy là \[S = \pi {R^2} = 900\pi \Leftrightarrow R = 30cm\].

Diện tích xung quanh hình trụ là \[S = 2\pi Rh = 2\pi .30.60 = 60\pi .60(c{m^2}).\]

Vậy cần miếng kim loại hình chữ nhật chiều dài \[60\pi cm\] và chiều rộng 60cm

Đáp án cần chọn là: B

Gọi độ dài đường cao của ống trụ là 10x(cm)(x > 0)

Chia ống trụ thành 10 phần bằng nhau, mỗi phần có độ dài đường sinh là x(cm).

Trải phẳng mỗi ống trụ nhỏ ta được 1 hình chữ nhật có hai kích thước là x và \[2\pi .R = 2\pi .\frac{2}{\pi } = 4\,\,\left( {cm} \right)\]

Khi đó độ dài đường chéo của hình chữ nhật là \[\sqrt {{x^2} + {4^2}} = \sqrt {{x^2} + 16} \], và độ dài đường chéo chính bằng độ dài của 1 vòng.

Do đó ta có phương trình:  \[10\sqrt {{x^2} + 16} = 50 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16} = 5\]

\[ \Rightarrow {x^2} + 16 = 25 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = 3\,\,\left( {cm} \right)\,\,\left( {tm} \right)\]Độ dài đường cao của ống trụ là \[h = 10x = 30(cm)\]

Vậy diện tích xung quanh của ống trụ là \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .\frac{2}{\pi }.30 = 120\,\,\left( {c{m^2}} \right)\].

Đáp án cần chọn là: D

Tam giác BCD là tam giác đều cạnh 4\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SBCD = 4\sqrt 3 }\\{p = 12}\end{array}} \right.\)

 Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp ta có:\[R = \frac{{2S}}{p} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]

Gọi O là tâm của tam giác đều BCD \[ \Rightarrow AO \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABO\] vuông tại O có

\[BO = \frac{{4\sqrt 3 }}{3};AB = 4 \Rightarrow AO = h = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\]

Khi đó diện tích xung quanh hình trụ có \[h = \frac{{4\sqrt 6 }}{3};R = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]  là \[S = 2\pi Rh = \frac{{16\sqrt 2 \pi }}{3}\]Đáp án cần chọn là: A

Gọi R,h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Giả sử thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, ta có AB = 2R và AD = h.

Chu vi thiết diện chứa trục bằng 12 \[ \Rightarrow 2R + h = 6 \Rightarrow h = 6 - 2R\]

Khi đó thể tích khối trụ:

\[V = \pi {R^2}h = \pi {R^2}\left( {6 - 2R} \right) = \pi .R.R\left( {6 - 2R} \right) \le \pi .{\left( {\frac{{R + R + 6 - 2R}}{3}} \right)^3} = 8\pi \]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[R = 6 - 2R \Leftrightarrow R = 2.\]

Vậy thể tích khối trụ lớn nhất là \[8\pi \] khi R = 2.

Đáp án cần chọn là: C

Mặt phẳng \[(\alpha )\;\]song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật ABCD với AD = BC = h = 5.  

\[ \Rightarrow 2\left( {AB + BC} \right) = 2\left( {AB + 5} \right) = 26 \Leftrightarrow AB = 8\,\,cm.\]

Gọi H là trung điểm của \[AB \Rightarrow OH \bot AB \Rightarrow OH \bot \left( {ABCD} \right)\]hay \[OH \bot \left( \alpha \right).\]

\[ \Rightarrow d\left( {OO';\,\,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {O;\,\,\left( \alpha \right)} \right) = OH.\]

\[ \Rightarrow AH = \frac{{AB}}{2} = 4\,\,cm.\]

Áp dụng định lý Pitago cho \[{\rm{\Delta }}AOH\] vuông tại HH ta có:\[\begin{array}{*{20}{l}}{OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3cm.}\\{ \Rightarrow d\left( {OO';\,\,\left( \alpha \right)} \right) = 3\,cm.}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D