ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Cực trị của hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy: 

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x=2 nên x=2 là điểm cực đại của hàm số, y=3 là giá trị cực đại của hàm số và (2;3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Ngoài ra, đạo hàm không đổi dấu qua điểm x=−2 nên x=−2 không là điểm cực trị của hàm số.

Đáp án cần chọn là: C

Dựa vào đồ thị hàm số ta thầy, trên đoạn \[\left[ { - 3;\,\,3} \right],\]hàm số y=f(x) có 3 điểm cực trị là \[\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\,\left( {1; - 3} \right);\,\,\left( {2;\,\,3} \right).\]

Đáp án cần chọn là: D

 D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đổi dấu khi đi qua 4 điểm có hoành độ là \[ - 1;\,\,0;\,\,2;\,\,4\]Vậy hàm số \[y = f\left( x \right)\] có 4 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: C

TXĐ:\[D = R \setminus \left\{ 2 \right\}\]

Dễ thấy\[y' = \frac{1}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}} > 0\forall x \in D\]

⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;2} \right)\]và \[\left( {2; + \infty } \right)\]

⇒ Hàm số không có cực trị.

Đáp án cần chọn là: A

Cách 1:

\[y' = 3{x^2} - 6x\]

\[y\prime = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow y = 1}\\{x = 2 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.\]

Từ đây suy ra hai điểm cực trị có tọa độ A(0,1) và B(2,−3).

Phương trình  đường thẳng qua hai điểm A,B là\[\frac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \frac{{y - 1}}{{ - 3 - 1}}\]

\[ \Leftrightarrow - 4x = 2\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow y = - 2x + 1.\]

Cách 2:

Ta có \[y' = 3{x^2} - 6x\]

Khi đó \[{x^3} - 3{x^2} + 1 = \left( {3{x^2} - 6x} \right)\left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}} \right) - 2x + 1\]

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là\[y = - 2x + 1\]Cách 3:

Bước 1:

\[y' = 3{x^2} - 6x;y'' = 6x - 6\]

Bước 2:

Bước 3: Ta được a=1 và b=-2

Vậy đường thẳng là: \[y = - 2x + 1\]

Đáp án cần chọn là: A

Vậy hàm số \[y = {x^3}\] không có cực trị.

Đáp án B: \[y\prime = 3{x^2} + 6x = 3x(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\]

\[y\prime \prime = 6x + 6 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y\prime \prime (0) = 6 > 0}\\{y\prime \prime ( - 2) = - 6 < 0}\end{array}} \right.\], do đó x=0 là điểm cực tiểu của hàm số, x=−2x=−2 là điểm cực đại của hàm số.

Đáp án C: \[y\prime = 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y\prime > 0,\forall x > 0}\\{y\prime < 0,\forall x < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 0\] là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án D: \[y\prime = 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y\prime > 0,\forall x > 0}\\{y\prime < 0,\forall x < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 0\] là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án cần chọn là: A

</></></>

Ta có: \[f\left( x \right) = 2\sin 2x - 3\]

TXĐ: \[D = R.\]

\[f'\left( x \right) = 4\cos 2x,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z\]

\[f''\left( x \right) = - 8\sin 2x\]Ta có: \[f''\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right) = - 8\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right),k \in Z\]

Khi \[k = 2n\]thì\[\sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi } \right) = \sin \frac{\pi }{2} = 1\] nên\[f''\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{2n\pi }}{2}} \right) = - 8 < 0\]

Khi\[k = 2n + 1\] thì\[\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \left( {2n + 1} \right)\pi } \right) = \sin \frac{{3\pi }}{2} = - 1\]nên\[f''\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{\left( {2n + 1} \right)\pi }}{2}} \right) = 8 > 0\]

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại\[x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{2}\]Đáp án cần chọn là: D

</>

Đáp án C: \[y' = 8{x^3} + 8x = 8x({x^2} + 1)\] chỉ có 1 nghiệm x=0 nên loại.

Đáp án D: \[y' = - 4{x^3} - 4x = - 4x({x^2} + 1)\] chỉ có 1 nghiệm x=0 nên loại.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: \[f'\left( x \right) = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} - 2)({x^4} - 4) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 1){({x^2} - 2)^2}({x^2} + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \sqrt 2 }\\{x = - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\end{array}\]Một điểm được gọi là cực trị của hàm số khi đạo hàm của hàm số đổi dấu qua điểm đó.

Ta nhận thấy đạo hàm của hàm số chỉ đổi dấu qua x=1 và không đổi dấu qua \[x = \pm \sqrt 2 \]

Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: D

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = {x^3} - 3x + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3}\\{y' = 0 \Leftrightarrow x = \; \pm 1}\end{array}\]

Tọa độ 2 điểm cực trị : A(1;0),B(−1;4)

Khi đó

\[{S_{{\rm{\Delta }}OAB}} = \frac{1}{2}.OA.d(B,OA) = \frac{1}{2}.\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = \frac{1}{2}.\left| 1 \right|.\left| 4 \right| = 2\]

Đáp án cần chọn là: A

TXĐ:\[D = R\]

Ta có:\[y' = 3{x^2} - 6x\]

\[ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\]  hoặc x=2

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng dễ thấy hàm số đạt giá trị cực tiểu y=0 tại x=2

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: \[y = \frac{{ - {x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}} = - x + 5 - \frac{4}{{x + 2}}\]

TXĐ:\[D = R \setminus \left\{ { - 2} \right\}\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}y\prime = - 1 + \frac{4}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 4x}}{{{{(x + 2)}^2}}};y\prime = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow y = 3}\\{x = - 4 \Rightarrow y = 11}\end{array}} \right.\end{array}\]

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;3) và điểm cực tiểu là (−4;11).

Đáp án cần chọn là: A

Gọi hàm số\[y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\]

Đồ thị hàm số\[y = a{x^2} + bx + c\] nhận điểm (0;−1) làm đỉnh và đi qua điểm (1;1) nên\[a = 2;b = 0;c = - 1\]  hay\[f\left( x \right) = 2{x^2} - 1\]

Do đó\[g'\left( x \right) = 2{x^2} + m - 1\]

Hàm số\[y = g\left( x \right)\] không có cực trị\[ \Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0\] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Vậy

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: C

Từ đồ thị ta thấy, hàm số f(x) đạt cực trị tại các điểm x=-2 và x=0 nên f'(-2)=0, f'(0)=0.

Ta có: \[g'\left( x \right) = \left( { - 4x + 4} \right)f'\left( { - 2{x^2} + 4x} \right)\]

Cho\[g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4x + 4 = 0}\\{f\prime ( - 2{x^2} + 4x) = 0}\end{array}} \right.( * )\]

Do\[f'\left( { - 2} \right) = 0,f'\left( 0 \right) = 0\]\[ \Rightarrow f\prime ( - 2{x^2} + 4x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2{x^2} + 4x = 0}\\{ - 2{x^2} + 4x = - 2}\end{array}} \right.\]

Do đó,

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4x + 4 = 0}\\{ - 2{x^2} + 4x = - 2}\\{ - 2{x^2} + 4x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 1 \pm \sqrt 2 }\\{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Các nghiệm này đều là nghiệm đơn.

Do đó \[g\prime (x)\;\] đổi dấu qua 5 điểm trên.

Vậy hàm số y=g(x) có 5 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: B

Dựa vào hình vẽ ta thấy được, trong khoảng thời gian từ ngày 16/06/2021 đến ngày 27/01/2021, ngày 17/08/2020 có số người được điều trị Covid – 19 nhiều nhất là 492 người.

Đáp án cần chọn là: B

Đặt \[g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\] ta có\[g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\]

\[g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{f\prime ({x^2} - 2x) = 0}\end{array}} \right.\]

Dựa vào BBT ta thấy \[f\prime ({x^2} - 2x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2x = 0}\\{{x^2} - 2x = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\\{x = - 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\]

⇒ Phương trình \[g'\left( x \right) = 0\] có 5 nghiệm đơn\[x = 0,\,\,x = 2,\,\,x = 3,x = - 1,x = 1\]Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: C

Xét hàm số\[y = {x^2} - 3x + 2\] ta có:\[y' = 2x - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\]

⇒ Hàm số\[y = {x^2} - 3x + 2\]  có 1 cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số\[y = {x^2} - 3x + 2\]  với trục hoành ta có:

\[{x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\]

⇒ Đồ thị hàm số\[y = {x^2} - 3x + 2\] cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

⇒ Số điểm cực trị của hàm số \[y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|\] là:\[S = 1 + 2 = 3\] cực trị.

Đáp án cần chọn là: B

Bước 1: Tìm nghiệm của\[f'(x) = 0\]

Ta có:\[f'\left( x \right) = x{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {{x^2} - x - 2} \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow f\prime (x) = 0\\ \Leftrightarrow x{(x + 2)^2}({x^2} - x - 2) = 0\\ \Leftrightarrow x{(x + 2)^2}(x + 1)(x - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x + 2 = 0}\\{x + 1 = 0}\\{x - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 2}\\{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\]

Bước 2: Xác định số nghiệm bội lẻ của phương trình \[f'\left( x \right) = 0\].

Trong đó: \[x = - 2\] là nghiệm bội 2 nên x=−2 không là điểm cực trị của hàm số \[y = f\left( x \right).\]

Còn lại: \[x = 0;x = - 1;x = 2\;\] là các nghiệm bội 1 của hàm số nên chúng là các điểm cực trị của hàm số \[y = f\left( x \right).\]

Vậy hàm số \[y = f\left( x \right)\] có 3 điểm cực trị.

Ta có:

\[\begin{array}{l}g(x) = f({x^2} - 2x)\\ \Rightarrow g\prime (x) = (2x - 2)f\prime ({x^2} - 2x)\\g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 2 = 0}\\{f\prime ({x^2} - 2x) = 0}\end{array}} \right.\end{array}\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{{x^2} - 2x = - 2}\\{{x^2} - 2x = 3}\end{array}} \right.\)  (ta không xét \[{x^2} - 2x = 0\]  vì x=0 là nghiệm kép của phương trình \[f'\left( x \right) = 0\])

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\) và qua các nghiệm này thì g′(x) đổi dấu.

Chọn x=4 ta có \[g'\left( 4 \right) = 6f'\left( 8 \right) > 0\]

Khi đó ta có BXD của g′(x) như sau:

Điểm cực đại của hàm số\[g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\] là\[{x_{CD}} = 1\]

Đáp án cần chọn là: CCâu 31. Hàm số \[f\left( x \right) = {x^4}{\left( {x - 1} \right)^2}\] có bao nhiêu điểm cực trị?

Bước 1: Tính f′(x).

Ta có:

\[\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^4}{\left( {x - 1} \right)^2}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3}{\left( {x - 1} \right)^2} + {x^4}.2\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\,\,\\f'\left( x \right) = 2{x^3}\left( {x - 1} \right)\left[ {2\left( {x - 1} \right) + x} \right]\,\,\,\,\\\,\,f'\left( x \right) = 2{x^3}\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 2} \right)\end{array}\]

Bước 2:  Giải phương trình \[f'\left( x \right) = 0\] xác định số nghiệm bội lẻ.

\[f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\,(nghiem\,boi3)}\\{x = 1\,(nghiem\,don)}\\{x = \frac{2}{3}\,(nghiem\,don)}\end{array}} \right.\]

Vậy hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị.

Bước 1: Tìm y' và y''.

Ta có:

\[y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + n \Rightarrow y' = 3{x^2} - 4mx + {m^2},\,\,y'' = 6x - 4m\]

Bước 2:

Đồ thị hàm số\[y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + n\]  có điểm cực tiểu là A(1;3) khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\prime (1) = 0}\\{f\prime \prime (1) > 0}\\{f(1) = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - 4m + {m^2} = 0}\\{6 - 4m > 0}\\{1 - 2m + {m^2} + n = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 3}\\{m = 1}\end{array}} \right.}\\{m < \frac{3}{2}}\\{n = 3 - {{(m - 1)}^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{n = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy \[m + n = 1 + 3 = 4\]

Ta có \[f'\left( x \right) = 0\]\[\begin{array}{l}{x^{2021}}{(x - 1)^{2020}}(x + 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0(nghiem\,boi\,le)}\\{x = 1(nghiem\,boi\,chan)}\\{ = - 1(nghiem\,boi\,le)}\end{array}} \right.\end{array}\]

Vậy hàm số f(x) có 2 điểm cực trị\[x = 0,\,\,x = - 1\]

Bảng xét dấu

⇒ Hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.

Bước 1: Giải phương trình\[f'\left( x \right) = 0\]

Ta có:

\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0(nghiem\,boi\,chan)}\\{{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1(nghiem\,boi\,le)}\\{x = - 1(nghiem\,boi\,le)}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

Bước 2: Lập BBT của hàm số từ đó xác định điểm cực tiểu của hàm số.

BBT:

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là x=1.