Đề tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026-2027 (Chung) Trường THPT Chuyên KHXHNV (có đáp án)

Đáp án đúng là: B

Vì \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B\) nên góc \(\widehat {OBA} = 90^\circ \).

Xét tam giác vuông \(OBA\), áp dụng định lí Pythagore ta có:

\(A{B^2} = O{A^2} - O{B^2} = {5^2} - {3^2} = 16\).

Suy ra \(AB = 4\) cm.

Đáp án đúng là: C

Số tiền cho 1 km đầu tiên là 20 000 đồng.

Số tiền cho 19 km tiếp theo (từ km số 1 đến km số 20) là \(19 \cdot 15\,\,000 = 285\,\,000\) (đồng).

Tổng số tiền đi 20 km đầu tiên là \(20\,\,000 + 285\,\,000 = 305\,\,000\) (đồng).

Số tiền còn lại khách hàng phải trả cho phần quãng đường trên 20 km là

\(359\,\,000 - 305\,\,000 = 54\,\,000\) (đồng).

Phần quãng đường đi thêm với giá 12 000 đồng/km là \(54\,\,000:12\,\,000 = 4,5\) (km).

Tổng quãng đường khách hàng đã đi là \(20 + 4,5 = 24,5\) km.

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là:

\(\frac{1}{2}{x^2} = 2\) suy ra \({x^2} = 4\) nên \(x =  - 2\) và \(x = 2\).

Tọa độ hai giao điểm là \(A\left( { - 2;2} \right)\) và \(B\left( {2;2} \right)\).

Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) (nằm trên đường ngang \(y = 2\)) là độ dài đáy của tam giác: \(AB = 4\).

Chiều cao hạ từ gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) xuống đường thẳng \(y = 2\) là \(h = 2\).

Diện tích tam giác \(OAB\) là \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) (đvdt).

Đáp án đúng là: B

Theo hệ thức Viète, tổng hai nghiệm \({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{2}\) và tích hai nghiệm \({x_1}{x_2} =  - 5\).

Bình phương hai vế hệ thức \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{9}{2}\), ta có \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = \frac{{81}}{4}\).

Suy ra \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = \frac{{81}}{4}\).

Thay các biểu thức Viète vào, ta được:

\[{\left( { - \frac{b}{2}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 5} \right) = \frac{{81}}{4}\].

\(\frac{{{b^2}}}{4} + 20 = \frac{{81}}{4}\)

\(\frac{{{b^2}}}{4} = \frac{1}{4}\).

\({b^2} = 1\)

\(b = 1\) hoặc \(b =  - 1\).

Vậy có 2 giá trị của tham số \(b\).

Đáp án đúng là: B

Đặt \(t = {x^2}\) (\(t \ge 0\)), phương trình trở thành \({t^2} - 2mt + m + 2 = 0\) (1).

Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thực phân biệt, phương trình (1) phải có duy nhất 1 nghiệm dương. Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Phương trình (1) có một nghiệm dương và một nghiệm âm. Điều này xảy ra khi tích hai nghiệm âm, tức là \(P = m + 2 < 0\), dẫn đến \(m <  - 2\).

Vì \(m\) nguyên dương nên trường hợp này không có giá trị nào.

Trường hợp 2: Phương trình (1) có nghiệm kép dương.

Điều kiện là \(\Delta \prime  = {m^2} - \left( {m + 2} \right) = 0\) và nghiệm kép \(t = m > 0\).

Giải phương trình:

\(\Delta \prime  = {m^2} - \left( {m + 2} \right) = 0\)

\({m^2} - m - 2 = 0\)

\(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\)

\(m = 2\) hoặc \(m =  - 1\).

Vì yêu cầu \(m\) nguyên dương nên ta nhận \(m = 2\). (Khi đó \(t = 2 > 0\), cho ta đúng hai nghiệm \(x = \sqrt 2 \) và \(x =  - \sqrt 2 \)).

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án đúng là: C

Gọi khối lượng quặng A là \(x\) (tấn) và khối lượng quặng B là \(y\) (tấn) \(\left( {x,\,y > 0} \right)\).

Tổng khối lượng là 25 tấn, ta có phương trình \(x + y = 25\).

Khối lượng sắt trong hỗn hợp là \(75\% x + 50\% y = 0,75x + 0,5y = 0,66 \cdot 25 = 16,5\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\0,75x + 0,5y = 16,5\end{array} \right.\).

Nhân phương trình đầu với 0,5 ta được hệ phương trình mới là \(\left\{ \begin{array}{l}0,5x + 0,5y = 12,5\\0,75x + 0,5y = 16,5\end{array} \right.\).

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất của hệ mới, ta được \(0,25x = 4\), từ đó tính ra \(x = 16\).

Khối lượng quặng A đem trộn là 16 tấn.

Lượng sắt nguyên chất có trong phần quặng A này là \(16 \cdot 75\%  = 12\) (tấn).

Đáp án đúng là: A

Giải bất phương trình

\(3x\left( {x - 2} \right) + 6x \le 46\)

\(3{x^2} - 6x + 6x \le 46\).

\(3{x^2} \le 46\)

\({x^2} \le \frac{{46}}{3}\) (khoảng 15,33).

Vì \(x\) là số nguyên nên \({x^2} \le 15\).

Các giá trị nguyên của \(x\) có bình phương không vượt quá 15 là: \[ - 3;{\rm{ }} - 2;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3.\]

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Gọi lãi suất của ngân hàng BIDV là \(x\) (\(x > 0\)), thì lãi suất của VP là \(x + 0,5\%  = x + 0,005.\)

Tổng số tiền gốc ông Bình đã gửi là \(100 + 150 = 250\) (triệu đồng).

Tổng số tiền lãi ông nhận được sau 1 năm là \(264,5 - 250 = 14,5\) (triệu đồng).

Phương trình tiền lãi: \(100x + 150\left( {x + 0,005} \right) = 14,5\).

Giải phương trình:

\(100x + 150\left( {x + 0,005} \right) = 14,5\)

\(250x + 0,75 = 14,5\)

\(250x = 13,75\).

\[x = \frac{{13,75}}{{250}} = 0,055 = 5,5\% \].

Vậy lãi suất của ngân hàng BIDV tại thời điểm ông Bình gửi là 5,5%.

Đáp án đúng là: B

Với \(x \ge 0,x \ne 1\) ta có:

\(A = \frac{{x\sqrt x  + 26\sqrt x  - 19}}{{x + 2\sqrt x  - 3}} - \frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}\)

\( = \frac{{x\sqrt x  + 26\sqrt x  - 19}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x\sqrt x  + 26\sqrt x  - 19 - \left( {3\sqrt x  - 3 - x + \sqrt x } \right) - \left( {2x + 6\sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x\sqrt x  + 26\sqrt x  - 19 - \left( {3\sqrt x  - 3 - x + \sqrt x } \right) - \left( {2x + 6\sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x\sqrt x  + 26\sqrt x  - 19 + x - 4\sqrt x  + 3 - 2x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x\sqrt x  - x + 16\sqrt x  - 16}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x\left( {\sqrt x  - 1} \right) + 16\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 16} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 16}}{{\sqrt x  + 3}}.\)

Vậy với \(x \ge 0,x \ne 1\) thì \(A = \frac{{x + 16}}{{\sqrt x  + 3}}.\)

Đáp án đúng là: B

Gọi \(\left( {i;\,\,j} \right)\) là kết quả thu được khi tung một con xúc xắc hai lần, với \(i;\,\,j\) lần lượt là số chấm xuất hiện của lần tung thứ nhất và thứ hai.

Không gian mẫu khi tung xúc xắc hai lần có \(6 \cdot 6 = 36\) phần tử.

Các kết quả thuận lợi để tổng số chấm bằng 6 là các cặp:

\[\left( {1;{\rm{ }}5} \right),{\rm{ }}\left( {2;{\rm{ }}4} \right),{\rm{ }}\left( {3;{\rm{ }}3} \right),{\rm{ }}\left( {4;{\rm{ }}2} \right),{\rm{ }}\left( {5;{\rm{ }}1} \right).\]

Có tất cả 5 kết quả thuận lợi. Xác suất cần tìm là \(\frac{5}{{36}}\).

Đáp án đúng là: C

Với \(x \ge 0,\) ta có \(P = \frac{{6\sqrt x  + 1}}{{2\sqrt x  + 1}} = \frac{{3\left( {2\sqrt x  + 1} \right) - 2}}{{2\sqrt x  + 1}} = 3 - \frac{2}{{2\sqrt x  + 1}}\).

Vì điều kiện \(x \ge 0\) nên \(2\sqrt x  + 1 \ge 1\). 

Khi đó \(0 < \frac{2}{{2\sqrt x  + 1}} \le 2\) nên \[1 \le 3 - \frac{2}{{2\sqrt x  + 1}} < 3\] hay \[1 \le P < 3\]

Vì \(P\) có giá trị nguyên nên \(P \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\)

Nếu \(P = 1\), ta có \[\frac{2}{{2\sqrt x  + 1}} = 2\] suy ra \(2\sqrt x  + 1 = 1\), dẫn đến \(2\sqrt x  = 0\) nên \(x = 0\) (thỏa mãn).

Nếu \(P = 2\), ta có \[\frac{2}{{2\sqrt x  + 1}} = 1\] suy ra \(2\sqrt x  + 1 = 2\), dẫn đến \(2\sqrt x  = 1\), vậy \(x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).

Vậy có đúng 2 giá trị thực của \(x\) để biểu thức \(P\) đạt giá trị nguyên.

Đáp án đúng là: D

Ta nhân cả hai vế của biểu thức với 2 thì được:

\(2P = \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} +  \ldots  + \frac{2}{{99.101}}\).

Áp dụng quy tắc phân tách \(\frac{2}{{n\left( {n + 2} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 2}}\), ta có:

\(2P = \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) +  \ldots  + \left( {\frac{1}{{99}} - \frac{1}{{101}}} \right)\)\( = 1 - \frac{1}{{101}}\)\( = \frac{{100}}{{101}}\).

Từ đó tính được \(P = \frac{{50}}{{101}}\).

Đáp án đúng là: C

Gọi \(H\) là trung điểm của dây \(MN\), ta có \(MH = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta OMN\) cân tại \(O\) (vì \(OM = ON = R)\) có \(OH\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác và đường cao, đo dó tam giác \(OMH\) vuông tại \(H\).

Khi đó \(\sin \widehat {MOH} = \frac{{MH}}{{OM}} = \frac{{\frac{{R\sqrt 3 }}{2}}}{R} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \(\widehat {MOH} = 60^\circ \). Do đó \(\widehat {MON} = 2 \cdot 60^\circ  = 120^\circ \).

Số đo cung nhỏ \(MN\) bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó, tức là \(120^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Giải phương trình thứ nhất:

\({x^2} - 4{y^2} = 0\)

\(\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 2y\) hoặc \(x =  - 2y\).

⦁ Trường hợp 1: \(x = 2y\). Thay vào phương trình thứ hai:

\({\left( {2y} \right)^2} - 2y + {y^2} + y + 1 = 0\), hay \(5{y^2} - y + 1 = 0\).

Tính biệt thức \(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 =  - 19 < 0\). Phương trình vô nghiệm.

⦁ Trường hợp 2: \(x =  - 2y\). Thay vào phương trình thứ hai:

\({\left( { - 2y} \right)^2} - \left( { - 2y} \right) + {y^2} + y + 1 = 0\), hay \(5{y^2} + 3y + 1 = 0\).

Tính biệt thức \(\Delta  = {3^2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 =  - 11 < 0\). Phương trình vô nghiệm.

Do cả hai trường hợp đều vô nghiệm nên hệ phương trình không có nghiệm nào.

Đáp án đúng là: B

Đường chéo của hình chữ nhật nội tiếp chính là đường kính của đường tròn.

Theo định lí Pythagore, đường kính \(d = \sqrt {{6^2} + {4^2}}  = \sqrt {52} \) cm.

Bán kính \(R = \frac{{\sqrt {52} }}{2} = \sqrt {13} \) cm.

Diện tích hình tròn là \({S_1} = \pi {R^2} = 3,14 \cdot {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} = 40,82\) (cm²).

Diện tích hình chữ nhật là \({S_2} = 6 \cdot 4 = 24\) (cm²).

Diện tích phần gạch chéo là \({S_1} - {S_2} = 40,82 - 24 = 16,82\) (cm²).

Đáp án đúng là: D

Gọi giá niêm yết một đôi tất là \(x\) và giá niêm yết một đôi găng tay là \(y\) (\(x,\,\,y > 0;\) đơn vị: đồng).

Số tiền khách A phải trả là: \(6x + 4y = 620\,\,000\) hay \(3x + 2y = 310\,\,000\). (1)

Hóa đơn khách B sau khi giảm 10% là 657 000 đồng, giá trị thực tế trước khi giảm là \(657\,\,000:0,9 = 730\,\,000\) đồng.

Số tiền khách B phải trả là: \(5x + 6y = 730\,\,000\).  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 310\,\,000\\5x + 6y = 730\,\,000\end{array} \right.\)

Nhân phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ phương trình mới là \(\left\{ \begin{array}{l}9x + 6y = 930\,\,000\\5x + 6y = 730\,\,000\end{array} \right.\).

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ mới, ta được:

\(\left( {9x + 6y} \right) - \left( {5x + 6y} \right) = 930\,\,000 - 730\,\,000\) hay \(4x = 200\,\,000\), do đó \(x = 50\,\,000\) (tm).

Thay \(x = 50.000\) vào phương trình \(3x + 2y = 310\,\,000\), ta có:

\(150\,\,000 + 2y = 310\,\,000\) suy ra \(2y = 160\,\,000\) nên \(y = 80\,\,000\) (tm).

Vậy giá một đôi găng tay khách A phải trả là 80 000 đồng.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác \(HEC\), có hai đường cao là \(EA\) (do \(BA \bot CA\) tại \(A\) nên \(EA \bot CH\)) và \(HD\) (do \(BH \bot CE\) tại \(D\)). Hai đường cao cắt nhau tại \(B\), vậy \(B\) chính là trực tâm của tam giác \(HEC\).

Đường cao thứ ba hạ từ \(C\) tới đoạn \(HE\) phải đi qua trực tâm \(B\). Do đó \(CB \bot HE\).

Ta có \(\widehat {CAB} = \widehat {CDB} = 90^\circ \) nên hai điểm \(A,D\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(BC,\) do đó 4 điểm \(A,C,D,B\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(CB\) hay tứ giác \(ACDB\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(CB\).

Suy ra \(\widehat {CDA} = \widehat {CBA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CA\))

Lại có \(\widehat {HDC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ADH} = 90^\circ  - \widehat {CDA} = 90^\circ  - \widehat {CBA}\).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(90^\circ  - \widehat {CBA} = \widehat {ACB}\).

Vậy \(\widehat {ADH} = \widehat {ACB} = 34^\circ \).

Đáp án đúng là: C

Gọi \(x\) là số lần ban tổ chức giảm 10 nghìn đồng (\(x \ge 0\)).

Giá vé lúc này là \(a = 200 - 10x\) (nghìn đồng; \(0 \le x < 20\)).

Số khán giả đến xem là \[28\,\,000 + 2\,\,000x = \left( {28 + 2x} \right) \cdot 1\,\,000\].

Doanh thu là \(R = \left( {200 - 10x} \right)\left( {28 + 2x} \right) \cdot 1\,\,000\) (nghìn đồng).

                         \( =  - 20\,\,000\left( {{x^2} - 6x - 280} \right)\)

                         \( =  - 20\,\,000\left( {{x^2} - 6x + 9 - 289} \right)\)

                         \( =  - 20\,\,000{\left( {x - 3} \right)^2} + 5\,\,780\,\,000\).

Hàm bậc hai này đạt giá trị lớn nhất khi \({\left( {x - 3} \right)^2} = 0\) tức là \(x = 3\).

Khi đó, giá vé tối ưu là \(a = 200 - 10 \cdot 3 = 170\) (nghìn đồng).

Với giá vé này, số khán giả là \(28\,\,000 + 6\,\,000 = 34\,\,000\), thỏa mãn sức chứa tối đa của sân vận động là 50 000.

Vì \(a = 170\), giá trị này thỏa mãn bất đẳng thức \(a > 165\).

Đáp án đúng là: C

Đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương, ta có:

\(Q = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2}}  = \left| {a - 1} \right| + \left| {a + 1} \right|\).

Áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối \(\left| x \right| = \left| { - x} \right|\), ta viết lại \(Q = \left| {1 - a} \right| + \left| {a + 1} \right|\).

Sử dụng bất đẳng thức tam giác \(\left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|\), ta có:

\(Q \ge \left| {1 - a + a + 1} \right| = \left| 2 \right| = 2\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\left( {1 - a} \right)\left( {a + 1} \right) \ge 0\), tức là \( - 1 \le a \le 1\).

Giá trị nhỏ nhất của \(Q\) bằng 2.

Đáp án đúng là: A

Đặt độ dài đoạn \(HB\) là \(x\) (cm) (\(x > 0\)). Cạnh huyền \(BC\) có độ dài là \(x + 9\).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) và \(\Delta HBA\) vuông tại \(H\) có \(\widehat B\) là góc chung

Do đó $\Delta ABC\backsim \Delta HBA$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{AB}}\) nên \(A{B^2} = HB \cdot BC\).

Thay số vào, ta có \({20^2} = x\left( {x + 9} \right)\), hay \({x^2} + 9x - 400 = 0\).

Giải phương trình bậc hai này, ta nhận được nghiệm dương \(x = 16\).

Tương tự, ta có  (g.g) nên suy ra được \(A{H^2} = HB \cdot HC = 16 \cdot 9 = 144\).

Do đó \(AH = 12\) cm.

Đáp án đúng là: B

Theo tính chất dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây cung: dây cung nào gần tâm hơn thì có độ dài lớn hơn.

Với giả thiết \(OH < OK < OM\), ta có sự sắp xếp các khoảng cách tới các dây tương ứng. Khoảng cách ngắn nhất tương ứng với dây dài nhất, do đó \(CA > BC > AB\).

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì có số đo lớn hơn.

Góc đối diện cạnh \(CA\) là \(\widehat B\), đối diện \(BC\) là \(\widehat A\), đối diện \(AB\) là \(\widehat C\).

Từ thứ tự \(CA > BC > AB\), ta suy ra thứ tự các góc là \(\widehat B > \widehat A > \widehat C\), hay \[\widehat C < \widehat A < \widehat B\].

Đáp án đúng là: D

Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Tam giác \(ACD\) nội tiếp chắn nửa đường tròn nên vuông tại \(C\).

Xét \(\Delta ABH\) (vuông tại \(H\)) và \(\Delta ADC\) (vuông tại \(C\)) có \(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

Do đó $\Delta ABH\backsim \Delta ADC$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}\).

Thay số liệu vào, ta có \(\frac{{12}}{{AD}} = \frac{6}{{15}}\).

Tính được đường kính \(AD = \frac{{12 \cdot 15}}{6} = 30\) cm.

Đáp án đúng là: C

Đỉnh parabol đặt tại gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\).

Khoảng cách hai chân cổng là 8, chiều cao là 6,4 nên điểm chân cổng bên phải có tọa độ \(\left( {4; - 6,4} \right)\).

Thay vào hàm số \(y = a{x^2}\) ta được:

\( - 6,4 = a \cdot {4^2}\), ta tính được \(a =  - 0,4\).

Parabol có phương trình \(y =  - 0,4{x^2}\).

Gọi \(D\) là điểm nằm ở góc phải phía trên của khung thép, tọa độ \(D\) là \(\left( {x;\,\, - 0,4{x^2}} \right)\) với \(0 < x < 4\).

Khung thép hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều rộng là \(2x\) và chiều cao là phần chênh lệch từ mặt đất lên đỉnh vòm: \( - 0,4{x^2} - \left( { - 6,4} \right) = 6,4 - 0,4{x^2}\).

Chu vi của khung thép (tổng chiều dài vật liệu cần dùng) là:

\(P = 2 \cdot \left( {2x + 6,4 - 0,4{x^2}} \right) = 4x + 12,8 - 0,8{x^2}\)

\( =  - 0,8\left( {{x^2} - 5x} \right) + 12,8\)

\( =  - 0,8{\left( {x - 2,5} \right)^2} + 0,8 \cdot 6,25 + 12,8\)

\( =  - 0,8{\left( {x - 2,5} \right)^2} + 5 + 12,8\)

\( =  - 0,8{\left( {x - 2,5} \right)^2} + 17,8\).

Chu vi khung thép đạt giá trị lớn nhất là 17,8 m khi \(x = 2,5\).\

Số tiền nhiều nhất phải trả là \(17,8 \cdot 3 = 53,4\) triệu đồng.

Đáp án đúng là: B

Gọi khối lượng cà rốt dự định mua là \(y\) (kg), số lượng cam dự định là \(2y\) (kg). Do bán theo túi 1 kg nên \(y\) phải là số nguyên dương.

Số tiền Phúc mang theo là \(M = 50\,\,000 \cdot 2y + 30\,\,000 \cdot y = 130\,\,000y\) (đồng).

Giá sau khi giảm: cam còn \(50\,\,000\left( {100\%  - 10\% } \right) = 45{\rm{ }}000\) đồng/kg, cà rốt còn \(30\,\,000\left( {100\%  - 20\% } \right) = 24{\rm{ }}000\) đồng/kg.

Thực tế, Phúc mua \(2y + 1\) kg cam và \(y\) kg cà rốt.

Số tiền đã tiêu là:

\(45\,\,000\left( {2y + 1} \right) + 24\,\,000y = 90\,\,000y + 45\,\,000 + 24\,\,000y = 114\,\,000y + 45\,\,000\).

Số tiền dư là \(130\,\,000y - \left( {114\,\,000y + 45\,\,000} \right) = 16\,\,000y - 45\,\,000\).

Vì Phúc còn dư tiền và số dư ít hơn 5000 đồng nên ta có:

\(0 < 16\,\,000y - 45\,\,000 < 5\,\,000\)

\(45\,\,000 < 16\,\,000y < 50\,\,000\).

\(45 < 16y < 50\)

\(\frac{{45}}{{16}} < y < \frac{{50}}{{16}}\)

Giá trị nguyên duy nhất thỏa mãn là \(y = 3\).

Số tiền Phúc mang theo ban đầu là \(M = 130\,\,000 \cdot 3 = 390\,\,000\) đồng.

Đáp án đúng là: B

Xét \(\Delta MOA\) vuông tại \(A\) và \(\Delta OBA\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {AMO} = \widehat {AOB}\) (cùng phụ với \(\widehat {AOM}).\)

Do đó $\Delta MOA\backsim \Delta OBA$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{MA}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{BA}}\) nên \(O{A^2} = MA \cdot AB\), hay \({R^2} = MA \cdot AB\).

Diện tích tam giác \(MOB\) là: \(S = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot OA = \frac{1}{2}\left( {MA + AB} \right)R\).

Theo bất đẳng thức AM-GM, tổng hai độ dài \(MA + AB \ge 2\sqrt {MA \cdot AB}  = 2\sqrt {{R^2}}  = 2R\).

Thay vào công thức diện tích, ta có \(S \ge \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot R = {R^2}\).

Diện tích tam giác \(MOB\) đạt giá trị nhỏ nhất là \({R^2}\) khi \(MA = AB = R\).

Đáp án đúng là: B

\(2{x^2} + {y^2} + 2xy + 7x + 7y + 6 = 0\)

\({x^2} + \left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) + 7\left( {x + y} \right) + 6 = 0\).

\({x^2} + {\left( {x + y} \right)^2} + 7\left( {x + y} \right) + 6 = 0\).

Đặt \(S = x + y\), phương trình trở thành:

\({x^2} + {S^2} + 7S + 6 = 0\) hay \({x^2} =  - \left( {{S^2} + 7S + 6} \right)\).

Vì bình phương luôn không âm, ta có điều kiện \({x^2} \ge 0\), dẫn đến \( - \left( {{S^2} + 7S + 6} \right) \ge 0\).

Suy ra \({S^2} + 7S + 6 \le 0\)

           \(\left( {S + 1} \right)\left( {S + 6} \right) \le 0\).

           \( - 6 \le S \le  - 1\).

Giá trị lớn nhất là \(M =  - 1\) và giá trị nhỏ nhất là \(m =  - 6\).

Tổng cần tìm là \(M + m =  - 1 + \left( { - 6} \right) =  - 7\).