a) Xét đường tròn (O;R) có $\widehat{\mathrm{ACB}}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{\mathrm{ACB}}=90°,$ hay $\mathrm{AC}\perp \mathrm{CB}$ suy ra $\widehat{\mathrm{DCH}}=90°$ hay tam giác DCH vuông tại C suy ra ba điểm D,C,H cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DCH có tâm là trung điểm của DH và bán kính bằng $\frac{1}{2}\mathrm{DH}$ (đường tròn đường kính DH)

b) Ta có bốn điểm A,B,M,C cùng nằm trên đường tròn (O;R) nên tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn, suy ra $\widehat{\mathrm{ACM}}+\widehat{\mathrm{ABM}}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Mà $\widehat{\mathrm{ACM}}+\widehat{\mathrm{MCD}}=180°$ (kề bù) nên $\widehat{\mathrm{ABM}}=\widehat{\mathrm{MCD}}$ hay $\widehat{\mathrm{DBA}}=\widehat{\mathrm{DCM}}.$

$\widehat{\mathrm{CAM}},\widehat{\mathrm{CBM}}$ là các góc nội tiếp chắn cung CM suy ra $\widehat{\mathrm{CAM}}=\widehat{\mathrm{CBM}}$ hay $\widehat{\mathrm{DAM}}=\widehat{\mathrm{DBC}}$

Xét $\mathrm{\Delta DCM}$ và $\mathrm{\Delta DBA}$ có: $\widehat{\mathrm{ADB}}$ là góc chung và $\widehat{\mathrm{DCM}}=\widehat{\mathrm{DBA}}$ (chứng minh trên)

Do đó $\mathrm{\Delta DCM}\backsim \mathrm{\Delta DBA}$ (g.g).

c) Xét đường tròn (O;R) có $\widehat{\mathrm{CAM}},\widehat{\mathrm{COM}}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CM nên $\widehat{\mathrm{COM}}=2\widehat{\mathrm{CAM}}.$ (1)

Chứng minh tương tự câu a ta có bốn điểm $\mathrm{A},\mathrm{C},\mathrm{H},\mathrm{K}$ cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ACHK nội tiếp đường tròn, nên $\widehat{\mathrm{CAH}}=\widehat{\mathrm{CKH}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH) hay $\widehat{\mathrm{CAM}}=\widehat{\mathrm{CKH}}$

Chứng minh tương tự, ta có $\widehat{\mathrm{CBM}}=\widehat{\mathrm{MKH}}$.

Lại có $\widehat{\mathrm{CAM}}=\widehat{\mathrm{CBM}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM của đường tròn (O)) nên $\widehat{\mathrm{CKH}}=\widehat{\mathrm{MKH}}$ hay KH là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{CKM}},$ suy ra $\widehat{\mathrm{CKM}}=2\widehat{\mathrm{CKH}}=2\widehat{\mathrm{CAM}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\mathrm{CKM}}=\widehat{\mathrm{COM}}.$

d) Ta có MP là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{AMB}}$ nên $\widehat{\mathrm{AMP}}=\widehat{\mathrm{BMP}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{AMB}}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°.$

Gọi Q là giao điểm của MP với đường tròn (O;R) Khi đó $\widehat{\mathrm{AQB}}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $\widehat{\mathrm{ABQ}}=\widehat{\mathrm{AMQ}}=45°$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AQ của đường tròn (O))

Suy ra $\text{ΔQAB}$ vuông cân tại Q

Hướng dẫn giải

Gọi \(a,\,\,b\) lần lượt là số thanh có độ dài là \(0,7\,{\rm{m}}\) và \(0,5\,{\rm{m}}\) được cắt nhỏ từ thanh sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) \(\left( {a \in \mathbb{N},\,\,b \in \mathbb{N}} \right).\)

Khi đó, ta có phương trình \(0,7a + 0,5b = 7,4\) hay \(7a + 5b = 74.\)

Suy ra \(b = \frac{{74 - 7a}}{5} = 15 - a - \frac{{1 + 2a}}{5}.\)

Vì \(b \in \mathbb{N}\) nên \(\left( {1 + 2a} \right)\,\, \vdots \,\,5\) hay \(\left( {1 + 2a} \right) \in \left\{ {0;\,\,5;\,\,10;\,\,15;\,\,20;\,\,25;\,\,...} \right\}\)

Mà \(1 + 2a\) là số lẻ nên \(\left( {1 + 2a} \right) \in \left\{ {5;\,\,15;\,\,25;\,\,...} \right\}\) suy ra \(a \in \left\{ {2;\,\,7;\,\,12;\,\,...} \right\}\)

Lại có \(74 = 7a + 5b \ge 7a\) nên \(a \le \frac{{74}}{7}.\) Suy ra \(0 \le a \le 10\) nên \(a \in \left\{ {2;\,\,7} \right\}.\)

Với \[a = 2,\] ta có \[b = 12\] (thỏa mãn).

Với \(a = 7,\) ta có \(b = 5\) (thỏa mãn).

Như vậy, có 2 cách cắt mỗi thanh sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) thành các thanh có độ dài là \(0,7\,{\rm{m}}\) và \(0,5\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Cách 1: Cắt thanh sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) thành 2 thanh \(0,7\,{\rm{m}}\) và 12 thanh \(0,5\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Cách 2: Cắt thanh sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) thành 7 thanh dài \(0,7\,{\rm{m}}\) và 5 thanh dài \(0,5\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

⦁ Theo đề bài cần cắt \(1000\) đoạn dài \(0,7\,{\rm{m}}\) và \(2000\) đoạn dài \(0,5\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Do đó, nếu cắt theo cách 1 cần \(500\) cây sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) khi đó thừa \(\left( {500:2} \right) \cdot 12 - 2000 = 1000\) đoạn \(0,5\,{\rm{m}}\) lãng phí.

Nếu cắt theo cách 2 thì cần \(400\) cây sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) khi đó thừa \(\left( {2000:5} \right) \cdot 7 - 1000 = 1800\) đoạn dài \(0,7\,{\rm{m}}\) lãng phí.

Do vậy để tiết kiệm ta sẽ dùng cả 2 cách cắt trên.

⦁ Gọi \(x\) là số cây sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) dùng để cắt theo cách 1, \(y\) là số cây sắt dài \(7,4\,{\rm{m}}\) dùng để cắt theo cách 2 \((x,\,y\) là các số tự nhiên khác 0)

Số đoạn sắt dài \(0,7\,{\rm{m}}\) là: \(2x + 7y\) đoạn.

Số đoạn sắt dài \(0,5\,{\rm{m}}\) là \(12x + 5y\) đoạn.

Vì cần \(1000\) đoạn dài \(0,7\,{\rm{m}}\) và \(2000\) đoạn \(0,5\,{\rm{m}}\) nên ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 7y = 1000\\12x + 5y = 2000\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình trên, ta được \(x \approx 121,6\) và \(y \approx 108,1.\)

Ta lấy \(x = 121\) và \(y = 108\) thì sẽ cắt được tổng là \(2 \cdot 121 + 7 \cdot 108 = 998\) đoạn \(0,7\,{\rm{m}}\) và \[12 \cdot 121 + 5 \cdot 108 = 1992\] đoạn \(0,5\,{\rm{m}}.\)

Ta chỉ cần cắt thêm 1 thanh theo cách 1 (thêm 2 thanh \(0,7\,{\rm{m}}\) và 12 thanh \(0,5\,{\rm{m),}}\) tức là đã dùng \(121 + 108 + 1 = 230\) thanh sắt \(7,4\,{\rm{m}}.\)

Điều quan trọng lúc này chúng ta cần chỉ ra rằng cách này là tiết kiệm nhất.

Thật vậy, ta thấy tổng số độ dài của \(1000\) đoạn \(0,7{\rm{\;m}}\) và \(2000\) đoạn \(0,5\,{\rm{m}}\) là:

\(1000 \cdot 0,7 + 2000 \cdot 0,5 = 1\,\,700{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Như vậy, phải dùng ít nhất là \(1700:7,4 \approx 229,7 \approx 230\) thanh sắt \(7,4\,{\rm{m}}.\)

Vậy cần cắt 122 thanh theo cách 1 và 108 thanh theo cách 2 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.