Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì \( - 8\) là một căn bậc hai của \(x\) nên \(x = {\left( { - 8} \right)^2} = 64.\)

Vậy căn bậc ba của \(x\) bằng \(\sqrt[3]{{64}} = \sqrt[3]{{{4^3}}} = 4.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì lớp 9A có \(38\) học sinh tham gia buổi lao động trồng cây gây rừng nên ta có phương trình \(x + y = 38.\)

Vì cả lớp trồng được tất cả 170 cây xanh, trong đó mỗi bạn nữ trồng 4 cây, mỗi bạn nam trồng 5 cây nên ta có phương trình: \(5x + 4y = 170.\)

Như vậy, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 38\\5x + 4y = 170\end{array} \right..\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình quạt tròn bán kính 30 cm, cung \(120^\circ \) là: \({S_{hq}} = \frac{{\pi \cdot {{30}^2} \cdot 120}}{{360}} = 300\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Vậy tổng diện tích các miếng bìa bạn Lan đã dùng là: \(4 \cdot {S_{hq}} = 4 \cdot 300\pi = 1200\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với \(a > 0,\,\,b < 0\) ta có: \(\left| a \right| = a,\,\,\left| b \right| = - b.\)

Khi đó, \(A = \frac{{ - b}}{a}\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}}} = \frac{{ - b}}{a} \cdot \frac{{\sqrt {{a^3}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \frac{{ - b}}{a} \cdot \frac{{\sqrt {{a^2} \cdot a} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \frac{{ - b}}{a} \cdot \frac{{\left| a \right|\sqrt a }}{{\left| b \right|}} = \frac{{ - b}}{a} \cdot \frac{{a\sqrt a }}{{ - b}} = \sqrt a .\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để biểu thức \(\sqrt {4x - 2} \) có nghĩa thì \(4x - 2 \ge 0,\) tức là \(x \ge \frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi \(x\) (đồng) là số tiền Nam cần tiết kiệm mỗi tháng \(\left( {x > 0} \right).\)

Sau 8 tháng, Nam tiết kiệm được số tiền là: \(8x\) (đồng).

Tổng số tiền Nam có sau 8 tháng cùng với số tiền đã có là: \(8x + 1\,\,200\,\,000\) (đồng).

Do Nam cần 3 200 000 đồng để mua xe đạp nên ta có bất phương trình:

\(8x + 1\,\,200\,\,000 \ge 3\,\,200\,\,000\)

\(8x \ge 2\,\,000\,\,000\)

\(x \ge 250\,\,000\) (thỏa mãn)

Vậy Nam cần tiết kiệm ít nhất 250 000 đồng mỗi tháng để sau 8 tháng có đủ tiền mua xe.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.\)

Suy ra \(BC = 10{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền, bán kính là \(\frac{{BC}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) là: \(2\pi \cdot 5 = 10\pi {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2}\,\,\left( {m \ne 1} \right)\) có đồ thị nằm phía trên trục hoành khi \(m - 1 > 0\) tức là \(m > 1.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của phép thử là: \(\Omega = \left\{ {10;\,\,11;\,\,12;\,\,...;\,\,98;\,\,99} \right\}.\)

Không gian mẫu có \(99 - 10 + 1 = 90\) phần tử.

Có 6 số chính phương trong các số trên là: \(16;\,\,25;\,\,36;\,\,49;\,\,64;\,\,81.\)

Vậy xác suất để số được chọn là số chính phương là: \(\frac{6}{{90}} = \frac{1}{{15}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\) ta có: \(\widehat N + \widehat P = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông)

Suy ra \(\sin N = \cos P.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) mô tả hình ảnh chiếc thang dự vào tường (hình vẽ).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(C,\) ta có: \(\cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{4} = 0,5.\)

Suy ra \(\widehat {B\,} = 60^\circ .\) Vậy góc tạo bởi thang và mặt đất bằng \(60^\circ .\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - my = 2\\nx + y = 3\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,1} \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 - m \cdot 1 = 2\\n \cdot 2 + 1 = 3\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 1\end{array} \right..\)

Khi đó, \(2\,\,025m + {n^{2\,\,025}} = 2\,\,025 \cdot 0 + {1^{2\,\,025}} = 1.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega = \left\{ {\left( {1;\,\,1} \right);\,\,\left( {1;\,\,2} \right);\,\,\left( {1;\,\,3} \right);\,\,\left( {1;\,\,4} \right);\,\,\left( {1;\,\,5} \right);\,\,\left( {1;\,\,6} \right);\,\,...;\,\,\left( {6;\,\,5} \right);\,\,\left( {6;\,\,6} \right)} \right\}.\)

Không gian mẫu có 36 phần tử.

Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: \(\left( {2;\,\,6} \right);\,\,\left( {3;\,\,5} \right);\,\,\left( {4;\,\,4} \right);\,\,\left( {5;\,\,3} \right);\,\,\left( {6;\,\,2} \right).\)

Vậy xác suất của biến cố A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8” là \(\frac{5}{{36}}.\)

1) Đồ thị của hàm số \(y = \left( {1 - m} \right){x^2}\left( {m \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 4} \right)\) khi

\( - 4 = \left( {1 - m} \right) \cdot {\left( { - 2} \right)^2}\)

\(4\left( {1 - m} \right) = - 4\)

\(1 - m = - 1\)

\(m = 2\) (thoả mãn)

Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.

2) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) ta có:

\[P = \left( {\frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{3\sqrt x - 1}}{{x - 1}}} \right):\frac{4}{{\sqrt x + 1}}\]

 \[ = \frac{{2\sqrt x - 2 - \sqrt x - 1 + 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{4}\]

 \[ = \frac{{4\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{4}\]

 \[ = \frac{{4\left( {\sqrt x - 1} \right) \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right) \cdot \left( {\sqrt x - 1} \right) \cdot 4}} = 1.\]

Vậy \(P = 1\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1.\)

3) Giải bất phương trình:

\(6 - 3x > 0\)

\( - 3x > - 6\)

 \(x < 2\)

Vậy bất phương trình có nghiệm là \(x < 2.\)

1) Thay \(m = 3\) vào phương trình (1) ta được: \({x^2} + x - 6 = 0.\)

Giải phương trình:

\({x^2} + x - 6 = 0\)

\({x^2} - 2x + 3x - 6 = 0\)

\(x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\)

\(x - 2 = 0\) hoặc \(x + 3 = 0\)

\(x = 2\) hoặc \(x = - 3\)

Vậy với \(m = 3\) thì phương trình có hai nghiệm là \(x = 2;\,\,x = - 3.\)

2) Xét phương trình \({x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m - 3 = 0\) (1)

Phương trình (1) có \[\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - m - 3} \right) = {m^2} - 4m + 4 + 4m + 12 = {m^2} + 16 > 0\] với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)

Áp dụng hệ thức Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 - m\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = - m - 3\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

\({x_1}^2 + \left( {m - 2} \right){x_1} - m - 3 = 0\)

 \(x_1^2 + m{x_1} - m = 2{x_1} + 3\)

Thay vào biểu thức \(\left( {x_1^2 + m{x_1} - m} \right)\left( {2{x_2} + 3} \right) = 5,\) ta được:

\(\left( {2{x_1} + 3} \right)\left( {2{x_2} + 3} \right) = 5\)

\(4{x_1}{x_2} + 6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 = 0\)

\(4\left( { - m - 3} \right) + 6\left( {2 - m} \right) + 4 = 0\) (do (2) và (3))

\( - 4m - 12 + 12 - 6m + 4 = 0\)

\( - 10m =  - 4\)

\(m = \frac{2}{5}\)

Vậy \(m = \frac{2}{5}\) là giá trị cần tìm.

1) Tần số tương đối của ngày có chất lượng không khí tốt là: \({f_1} = \frac{6}{{40}} \cdot 100\% = 15\% .\)

Tần số tương đối của ngày có chất lượng không khí trung bình là: \[{f_2} = \frac{{16}}{{40}} \cdot 100\% = 40\% .\]

Tần số tương đối của ngày có chất lượng không khí kém là: \({f_3} = \frac{{12}}{{40}} \cdot 100\% = 30\% .\)

Tần số tương đối của ngày có chất lượng không khí xấu là: \({f_4} = \frac{4}{{40}} \cdot 100\% = 10\% .\)

Tần số tương đối của ngày có chất lượng không khí rất xấu là: \({f_5} = \frac{2}{{40}} \cdot 100\% = 5\% .\)

Tần số tương đối của ngày có chất lượng không khí nguy hại là: \({f_6} = \frac{0}{{40}} \cdot 100\% = 0\% .\)

Ta có bảng tần số tương đối chất lượng không khí tại thành phố A trong 40 ngày đó như sau:

2) Trong 40 ngày tại địa điểm này số ngày có chất lượng không khí trung bình hoặc tốt là: \(6 + 16 = 22\) (ngày).

Xác suất của biến cố: “Ngày được chọn ra có chất lượng không khí trung bình hoặc tốt” là: \(\frac{{22}}{{40}} = 0,55.\)

1) Vì \(BM,CN\) là đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(BM \bot AC,\,\,CN \bot AB\) suy ra \(\widehat {BMC} = 90^\circ ,\) \(\widehat {BNC} = 90^\circ .\)

Vì \(\Delta BMC\) vuông tại \(M\)nên \(B,\,\,M,\,\,C\)thuộc đường tròn đường kính \(BC\) (1)

Vì \(\Delta BNC\) vuông tại \(N\)nên \(B,\,\,N,\,\,C\) thuộc  đường tròn đường kính \(BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \(B,\,\,M,\,\,N,\,\,C\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

Do đó tứ giác \(BNMC\) là tứ giác nội tiếp.

2) Vì tứ giác \(BNMC\) là tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BN)\)

Đường tròn \(\left( O \right)\) có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BQ)\)

Do đó \[\widehat {BMN} = \widehat {BPQ}.\]

Mà đây là hai góc đồng vị nên \(MN\,{\rm{//}}\,PQ.\)

Theo định lí Thalès, ta có: \(\frac{{HM}}{{MP}} = \frac{{HN}}{{NQ}}\) suy ra \(HM \cdot NQ = HN \cdot MP.\)

3) Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right).\)

Khi đó, \(\widehat {ACD} = \widehat {ABD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đưởng tròn).

Ta có: \(BM \bot AC,\,\,DC \bot AC\) nên \(BM\,{\rm{//}}\,DC\) hay \(BH\,{\rm{//}}\,DC.\)

Tương tự, ta có \(CH\,{\rm{//}}\,DB.\)

Tứ giác \(BHCD\) có \(BH\,{\rm{//}}\,DC\) và \(CH\,{\rm{//}}\,DB\) nên tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo \(BC\) và \(HD\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(I\) là trung điểm của \(HD.\)

Xét \(\Delta AHD\) có \(O,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,\,HD\) nên \(OI\) là đường trung bình của \(\Delta AHD\) suy ra \[OI = \frac{1}{2}AH\] hay \[AH = 2OI.\]

Hướng dẫn giải

Với \(a > 0,\,\,b > 0,\) ta có:

\(P = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt {ab} + 2}}{{\sqrt {ab} + 1}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + 1 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}}\)

 \( = \left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + 1} \right) + \left( {\frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + 1} \right) + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\)

 \( = \frac{{\sqrt a + \sqrt b + 1}}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\)

 \( = \left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{1}{{\sqrt b + 1}}} \right) + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1.\)

Với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta chứng minh được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\) (1), dấu “=” xảy ra khi \(x = y.\)

Thật vậy, với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta có:

\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)

\({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)

\({x^2} + {y^2} + 2xy \ge 4xy\)

\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)

\[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}} \ge \frac{{4xy}}{{xy\left( {x + y} \right)}}\]

\[\frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\]

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - y} \right)^2} = 0,\) tức là \(x = y.\)

Áp dụng (1) ta có \(\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{1}{{\sqrt b + 1}} \ge \frac{4}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}},\) dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt a + 1 = \sqrt b + 1,\) tức là \(a = b.\)

Từ đó suy ra \(P \ge \frac{{4\left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\,\,\,(2)\)

Ta có: \[M = \frac{{4\left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1 = 4\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}}} \right) + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\]

\[ = 3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{4}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}}.\]

Với \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có \(\sqrt a + \sqrt b \ge 2\sqrt {\sqrt {ab} } ,\) dấu “=” xảy ra khi \(a = b.\)

Từ đó suy ra \(M \ge 3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{2}{{\sqrt {\sqrt {ab} } + 1}}\) (3)

Từ (2) và (3) suy ra \(P \ge 3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{2}{{\sqrt {\sqrt {ab} } + 1}}\)

Đặt \(t = \sqrt {\sqrt {ab} } \,\,\left( {t \ge 1} \right)\) ta có:

\(3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{2}{{\sqrt {\sqrt {ab} } + 1}} = 3 + \frac{1}{{{t^2} + 1}} - \frac{2}{{t + 1}} = \frac{5}{2} + \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{t^2} + 1}} - \frac{2}{{t + 1}}} \right)\)

\( = \frac{5}{2} + \frac{{{t^3} - 3{t^2} + 3t - 1}}{{2\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)}} = \frac{5}{2} + \frac{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}{{2\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)}} \ge \frac{5}{2}\) (vì \(t \ge 1).\)

Suy ra \(P \ge \frac{5}{2}.\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\ab = 1\end{array} \right.\) tức là \(a = b = 1.\)

Vậy biểu thức \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{5}{2}\) khi \(a = b = 1.\)