Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 4) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THPT Chu Văn An_Tỉnh Thái Nguyên

Hướng dẫn giải

1) Giải phương trình: \(3{x^2} - 7x + 2 = 0\)

Phương trình có \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 > 0\) và \(\sqrt \Delta   = \sqrt {25} = 5.\)

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{7 + 5}}{{2 \cdot 3}} = 2;\,\,{x_1} = \frac{{7 - 5}}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{3}.\)

2) Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3x + 2y = 4\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Từ phương trình (1) của hệ ta có \(x = 3y + 5\,\,\,(3),\) thế vào phương trình (2) của hệ, ta được:

\[3\left( {3y + 5} \right) + 2y = 4\] hay \(11y = - 11,\) suy ra \(y = - 1.\)

Thay \(y = - 1\) vào phương trình (3), ta được:

\(x = 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 5 = 2.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {2;\,\, - 1} \right).\)

a) Với \(x \ge 0,x \ne 1,\) ta có:

\(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}\)

 \( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

 \( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

 \( = \frac{{x + \sqrt x + 3\sqrt x - 3 - 6\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

 \( = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\)

Vậy khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \(P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\)

b) Với điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) ta có:

\(P = \frac{1}{3}\) khi \(\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{3}\) hay \(3\left( {\sqrt x - 1} \right) = \sqrt x + 1\) nên \(2\sqrt x = 4,\) suy ra \(x = 4.\)

Giá trị \(x = 4\) thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

Vậy \(P = \frac{1}{3}\) khi \(x = 4.\)

a) Vì đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(B\left( {200;\,\,75} \right)\) nên thay \(x = 200;y = 75\) vào công thức \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right),\) ta được:

\(75 = a \cdot {200^2}\) suy ra \(a = \frac{3}{{1\,\,600}}.\)

b) Với \(a = \frac{3}{{1\,\,600}},\) ta có hàm số là \(y = \frac{3}{{1\,\,600}}{x^2}.\)

Điểm \(H\) thuộc đồ thị hàm số trên và có hoành độ 100 nên thay \(x = 100\) vào công thức hàm số \(y = \frac{3}{{1600}}{x^2},\) ta được:

\(y = \frac{3}{{1\,\,600}} \cdot {100^2} = 18,75.\)

Vậy chiều \[CH\] của dây cáp là \(18,75\) m.

Hướng dẫn giải

1) Chiều dài của phần đất làm nhà là: \(28 - \left( {y + 4} \right) = 24 - y\) (m).

Chiều rộng của phần đất làm nhà là: \(24 - y\) (m).

Vì các kích thước là số dương nên \(y > 0\) và \(24 - y > 0,\) suy ra \(y > 0\) và \(y < 24.\)

Biểu thức \(Q\) biểu diễn diện tích làm nhà là:

\(Q = {\left( {24 - y} \right)^2} = {y^2} - 48y + 576\) (m²).

2) Thay \(Q = 400\) ta có:

\({y^2} - 48y + 576 = 400\)

\({y^2} - 48y + 176 = 0\)

\(y = 44\) hoặc \(y = 4.\)

So với điều kiện ta loại \(y = 44.\)

Vậy \(y = 4\) m.

1) Tổng số học sinh là \(n = 40.\)

Ti lệ học sinh đạt điểm 5 là: \({f_1} = \frac{4}{{40}} \cdot 100\% = 10\% .\)

Tỉ lệ học sinh đạt điểm 6 là: \({f_2} = \frac{8}{{40}} \cdot 100\% = 20\% .\)

Tỉ lệ học sinh đạt điểm 7 là: \({f_3} = \frac{{10}}{{40}} \cdot 100\% = 25\% .\)

Tỉ lệ học sinh đạt điểm 8 là: \({f_4} = \frac{{12}}{{40}} \cdot 100\% = 30\% .\)

Ti lệ học sinh đạt điểm 9 là: \({f_5} = \frac{6}{{40}} \cdot 100\% = 15\% .\)

Ta có bảng tần số tương đối:

2) Số học sinh có điểm Toán cao hơn 7 (điểm 8, điểm 9) là \[12 + 6 = 18.\]

Vậy xác suất của biến cố B: “Chọn được học sinh có điểm Toán cao hơn 7” là \(\frac{{18}}{{40}} = \frac{9}{{20}}.\)

1)

⦁ Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(AB = BC \cdot \sin \widehat {ACB} = 5 \cdot 0,8 = 4\) (cm).

Theo định lí Pythagore, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Suy ra \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {5^2} - {4^2} = 9\) nên \(AC = 3\) cm.

⦁ Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) có: \(AH = AC \cdot \sin \widehat {ACH} = 3 \cdot 0,8 = 2,4\) (cm).

Theo định lí Pythagore, ta có: \(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\)

Suy ra \(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {3^2} - 2,{4^2} = 3,24\) nên \(HC = 1,8\) cm.

Diện tích tam giác \(AHC\) là \(S = \frac{1}{2}AH \cdot HC = 2,16\) (cm²).

2) Bán kính đáy của lon nước là: \(R = \frac{6}{2} = 3\) cm.

Thể tích của lon nước ngọt là: \(V = \pi {R^2}h \approx 3,14 \cdot {3^2} \cdot 14 \approx 395,6\) (cm³).

1) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(HB\) có \(\widehat {HDB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra \(\widehat {HDA} = 90^\circ \) nên \(\Delta ADH\) vuông tại \(D,\) khi đó đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ADH\) có tâm là trung điểm của \(AH\) và có đường kính là \(AH.\)

Suy ra ba điểm \(A,\,\,D,\,\,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)

Tương tự, ta có \(\Delta ACH\) vuông tại \(E\) nên ngoại tiếp đường tròn đường kính \(AH.\)

Do đó ba điểm \(A,\,\,C,\,\,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)

Như vậy, bốn điểm \(A,\,\,D,\,\,H,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)

Vậy tứ giác \(ADHE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH.\)

Hướng dẫn giải

2) Xét đường tròn đường kính \(AH,\) ta có: \(\widehat {DAH} = \widehat {DEH}\) (góc nội tiếp cùng chắn
Lại có \(\widehat {DAH} = \widehat {DHB}\) (cùng phụ với \(\widehat {DHA}).\)

Suy ra \(\widehat {DEH} = \widehat {DHB}\) hay \[\widehat {IEH} = \widehat {DHB}.\]

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta HIE\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {HIE} = 90^\circ \) và \[\widehat {IEH} = \widehat {DHB}\] (chứng minh trên).

Do đó  (g.g).

Suy ra: \(\frac{{BD}}{{HI}} = \frac{{BH}}{{HE}}\) hay \(BD \cdot HE = BH \cdot HI.\) (1)

Chứng minh tương tự, ta có:  (g.g).

Suy ra: \(\frac{{CE}}{{HI}} = \frac{{CH}}{{HD}}\) hay \(CE \cdot HD = CH \cdot HI.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\[BD \cdot HE + CE \cdot HD = BH \cdot HI + CH \cdot HI = \left( {BH + CH} \right) \cdot HI = BC \cdot HI.\]