Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa_TP. Hà Nội

Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A,\) ta được:

\(A = \frac{7}{{\sqrt {25} + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}.\)

Vậy khi \(x = 25\) thì \(A = \frac{7}{{13}}.\)

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9,\) ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

 \( = \frac{{x + 3\sqrt x + 2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)\( = \frac{{x + 5\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

 \[ = \frac{{x - 3\sqrt x + 8\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + 8\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\]

 \[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\]

Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9\) thì \[B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\]

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9,\) ta có: \(P = AB = \frac{7}{{\sqrt x + 8}} \cdot \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}}.\)

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9,\) ta có: \(\sqrt x \ge 0,\) suy ra \(\sqrt x + 3 \ge 3\) nên \(\frac{7}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{7}{3}\) hay \(P \le \frac{7}{3}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\) (thỏa mãn).

Vậy biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{7}{3}\) khi \(x = 0.\)

Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số ngày mà người thứ nhất, người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Trong một ngày, người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc), người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Hai người cùng làm trong 12 ngày thì xong công việc nên trong một ngày, cả hai người làm được \(\frac{1}{{12}}\) công việc. Khi đó, ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Hai người cùng nhau làm trong 4 ngày thì được \(4 \cdot \frac{1}{{12}} = \frac{1}{3}\) (công việc).

Người thứ hai làm một mình trong 14 ngày được \(14 \cdot \frac{1}{y} = \frac{{14}}{y}\) (công việc).

Theo bài, hai người làm cùng nhau trong 4 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 14 ngày nữa mới xong nên ta có phương trình: \(\frac{1}{3} + \frac{{14}}{y} = 1\) hay \(\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}.\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2) suy ra \(y = \frac{{14 \cdot 3}}{2} = 21\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 21\) vào phương trình (1), ta được:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{21}} = \frac{1}{{12}},\) suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{28}}\) nên \(x = 28\) (thỏa mãn).

Xét phương trình \({x^2} - 3x + 2m = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 2m = 9 - 8m.\)

Để phương trình trên có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta > 0,\) tức là \(9 - 8m > 0\) hay \(m < \frac{9}{8}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = 2m.\end{array} \right.\)

Theo bài, \(x_1^2 + x_2^2 = 5\)

\(x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 5\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 5\)

\({3^2} - 2 \cdot 2m = 5\)

\(9 - 4m = 5\)

\(4m = 4\)

\(m = 1\) (thỏa mãn \(m < \frac{9}{8}).\)

Vậy \(m = 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Tần số tương đối của điểm 7 là: \(\frac{6}{{40}} \cdot 100\% = 15\% .\)

Tần số tương đối của điểm 8 là: \(\frac{{14}}{{40}} \cdot 100\% = 35\% .\)

Tần số tương đối của điểm 9 là: \(\frac{{16}}{{40}} \cdot 100\% = 40\% .\)

 Tần số tương đối của điểm 10 là: \(\frac{4}{{40}} \cdot 100\% = 10\% .\)

Bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đã cho như sau:

2) Biểu đồ tần số tương đối ở dạng biểu đồ cột của mẫu số liệu thống kê đã cho như sau:

Vì \(MP,\,\,MQ\) lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(P,\,\,Q\) nên \(OP \bot MP,\,\,OQ \bot MQ.\)

Do \[\Delta OMP\] vuông tại \(P\) nên ba điểm \(O,\,\,M,\,\,P\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM.\)

⦁ Vì \(MP,\,\,MQ\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(M\) nên \(MO\) là tia phân giác của \(\widehat {PMQ}.\) Suy ra \(\widehat {PMO} = \widehat {OMQ}.\)

Xét \(\Delta OMQ\) vuông tại \(Q\) ta có \(\widehat {OMQ} + \widehat {MOQ} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Mà \[\widehat {NOM} + \widehat {MOQ} = \widehat {NOQ} = 90^\circ \] (do \(ON \bot OQ)\) nên \(\widehat {NOM} = \widehat {OMQ} = \widehat {PMO}.\)

Xét \(\Delta NOM\) có \(\widehat {NOM} = \widehat {NMO}\) nên \(\Delta NOM\) cân tại \(N,\) suy ra \(ON = OM.\)

⦁ Vì \(MP,\,\,MQ\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(M\) nên \(MP = MQ,\) suy ra điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của \(PQ.\)

Vì \(OP = OQ\) nên điểm \(O\) cũng nằm trên đường trung trực của \(PQ.\)

Do đó \(OM\) là đường trung trực của \(PQ\) nên \(OM \bot PQ\) tại \(K.\)

Xét \(\Delta OIK\) và \(\Delta OMH\) có: \(\widehat {OKI} = \widehat {OHM} = 90^\circ \) và \(\widehat {HOM}\) là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OH}}\) nên \(IO \cdot OH = OK \cdot OM.\)

Xét \(\Delta OPK\) và \(\Delta OMP\) có: \(\widehat {OKP} = \widehat {OPM} = 90^\circ \) và \(\widehat {POM}\) là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{OP}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OP}}\) nên \(O{P^2} = OK \cdot OM.\)

Mà \(IO \cdot OH = OK \cdot OM\) (câu 2) nên \(O{P^2} = IO \cdot OH.\) Suy ra \(OI = \frac{{O{P^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{OH}}.\)

Vì đường tròn \(\left( O \right)\) và đường thẳng \(d\) cố định nên \(OH\) cố định. Như vậy, điểm \(I\) nằm trên \(OH\) cố định với \(OI = \frac{{{R^2}}}{{OH}}\) không đổi là một điểm cố định.

Mà \(PQ\) đi qua điểm \(I\) nên khi điểm \(M\) di động trên đường thẳng \(d\) thì \(PQ\) luôn đi qua điểm \(I\) cố định.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của đáy hầm biogas có dạng hình hộp chữ nhật là \(x{\rm{\;(m)}}\) \(\left( {x > 0} \right).\)

Khi đó, chiều cao của hầm biogas cũng là \(x{\rm{\;(m)}}.\)

Gọi \(a{\rm{\;(m)}}\) là chiều dài của hầm biogas \(\left( {a > 0} \right).\)

Ta có thể tích của hầm biogas đó là: \[V = a \cdot x \cdot x = a{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Mà theo bài, hầm biogas có thể tích \(27\;\;{{\rm{m}}^3}\)  nên ta có \[a{x^2} = 27,\] suy ra \(a = \frac{{27}}{{{x^2}}}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích đáy của hầm biogas là: \({S_d} = x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = \frac{{27}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh của hầm biogas là: \({S_{xq}} = 2\left( {x + \frac{{27}}{{{x^2}}}} \right) \cdot x = 2{x^2} + \frac{{54}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích toàn phần của hầm biogas là: \({S_{tp}} = 2{S_d} + {S_{xq}} = 2 \cdot \frac{{27}}{x} + 2{x^2} + \frac{{54}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất thì ta cần tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \({S_{tp}}\) có giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \({S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \(2{x^2},\,\,\frac{{54}}{x},\,\,\frac{{54}}{x}\) ta được:

\({S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{54}}{x} \cdot \frac{{54}}{x}}} = 3 \cdot 18 = 54.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2{x^2} = \frac{{54}}{x},\) hay \(x = 3\) (thỏa mãn). Khi đó \(a = \frac{{27}}{{{3^2}}} = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vậy để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm) thì hầm biogas có đáy là hình vuông với cạnh bằng \(3{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)