Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Huyện Lạng Giang_Tỉnh Bắc Giang
30 câu hỏi
\[{x^3} - 4 \ge 3.\]
\[x + 3 > 4.\]
\[0x + 3 > 4.\]
\[4x < 4 + 3y.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Bất phương trình \[x + 3 > 4\] có thể viết lại thành \(x - 1 > 0,\) đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b > 0\) với \(a = 1,\,\,b = - 1.\)
\[10{\rm{\;cm}}.\]
\[6{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\]
\[8{\rm{\;cm}}.\]
\[4{\rm{\;cm}}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\) là: \(\frac{{10}}{2} = 5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Kẻ \(OH \bot AB,\) khi đó \(OH\) là khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB.\)
Xét \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) (do \(OA = OB)\) nên đường cao \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến của tam giác, do đó \(AH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Xét \(\Delta OAH\) vuông tại \(H,\) theo định lí Pythagore, ta có: \(O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\)
Suy ra \(O{H^2} = O{A^2} - A{H^2} = {5^2} - {3^2} = 16.\) Do đó \(OH = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
\( - 2\).
\( - 1\).
\(1\).
\(\frac{{ - 1}}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(A = 1:\left( {\frac{{\sqrt 7 - \sqrt {21} }}{{1 - \sqrt 3 }} - \sqrt {11 + 4\sqrt 7 } } \right) = 1:\left[ {\frac{{\sqrt 7 \left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}{{1 - \sqrt 3 }} - \sqrt {7 + 2 \cdot \sqrt 7 \cdot 2 + 4} } \right]\)
\( = 1:\left[ {\sqrt 7 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + 2} \right)}^2}} } \right] = 1:\left[ {\sqrt 7 - \left| {\sqrt 7 + 2} \right|} \right] = 1:\left[ {\sqrt 7 - \left( {\sqrt 7 + 2} \right)} \right]\)
\( = 1:\left[ {\sqrt 7 - \sqrt 7 - 2} \right] = 1:\left( { - 2} \right) = \frac{{ - 1}}{2}.\)
Khi đó ta có \(a = - 1,\,\,b = 2\) nên \(a + b = - 1 + 2 = 1.\)
\(2\).
\(0\).
\(4\).
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + ay = 0\\bx - y = - 1\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;2} \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 1} \right) + a \cdot 2 = 0\\b \cdot \left( { - 1} \right) - 2 = - 1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 + 2a = 0\\ - b = 1\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2a = 2\\b = - 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right..\)
Khi đó, \({a^2} + {b^2} = {1^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 2.\)
\(A = 15.\)
\(A = 45.\)
\(A = 25.\)
\(A = 35.\)
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định: \(x \ne - 2,\,\,x \ne 5.\)
Giải phương trình:
\(\frac{7}{{x + 2}} = \frac{3}{{x - 5}}\)
\(\frac{{7\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right)}}\)
\(7x - 35 = 3x + 6\)
\(4x = 41\)
\(x = \frac{{41}}{4}\) (thỏa mãn).
Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{{41}}{4}.\)
Khi đó, \(a = 41,\,\,b = 4\) nên \(A = a + b = 41 + 4 = 45.\)
\(5,4\pi {\rm{\;(cm)}}.\)
\(4,6\pi {\rm{\;(cm)}}.\)
\(3,2\pi {\rm{\;(cm)}}.\)
\(4,8\pi {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Đáp án đúng là: D
Do \[\Delta ABC\] vuông tại \(A\) nên đường tròn \(\left( O \right)\) là đường kính là \(BC.\)
Ta có: \[\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{A{C^2} \cdot A{B^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{C^2} \cdot A{B^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{{{\left( {AC \cdot AB} \right)}^2}}}.\]Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABC}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{AC}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{BA}}\) hay \(AC \cdot AB = AH \cdot BC.\)
Khi đó, \[\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{{{\left( {AC \cdot AB} \right)}^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{{{\left( {AH \cdot BC} \right)}^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{H^2} \cdot B{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}.\]
Nên \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{{25}}{{576}},\] suy ra \(A{H^2} = \frac{{576}}{{25}}\) do đó \(AH = \frac{{24}}{5} = 4,8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Vậy độ dài đường tròn có đường kính \(AH\) bằng \(2\pi \cdot \frac{{4,8}}{2} = 4,8\pi {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
\(100.\)
\(20.\)
\(10.\)
\( - 10.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Căn bậc hai số học của \(100\) bằng \(10\) vì \({10^2} = 100\) và \(10 > 0.\)
\(x > 0.\)
\(x \ge 0.\)
\(x < 0.\)
\(x \le 0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện để \(\sqrt {\frac{1}{x}} \)có nghĩa là \(\frac{1}{x} \ge 0,\) hay \(x > 0.\)
\(A = 1.\)
\(A = 0.\)
\(A = 3.\)
\(A = 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x - y = 1\end{array} \right.\) bằng cách sử dụng MTCT, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = 1\end{array} \right..\)
Như vậy, \(A = {x_0} + {y_0} = 1 + 1 = 2.\)
\(1.\)
vô số nghiệm.
\(0.\)
\(2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định: \(x \ne 1.\)
Giải phương trình:
\(\frac{2}{{x - 1}} = \frac{{2x}}{{x - 1}}\)
\(2 = 2x\)
\(x = 1\) (không thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm (không có nghiệm nào).
\(\frac{5}{2}.\)
\(\frac{3}{2}.\)
\( - \frac{3}{2}.\)
\( - \frac{5}{2}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Giải phương trình:
\(\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)
\(2x + 1 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)
\(x = - \frac{1}{2}\) hoặc \(x = 2.\)
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: \( - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}.\)
\(100 - 20x \ge 10.\)
\(100 - 20x < 10.\)
\(100 - 20x > 10.\)
\(100 - 20x \le 10.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Sau \(x\) ngày, số xi măng được xuất đi là: \(20x\) (tấn).
Số xi măng còn lại trong kho sau \(x\) ngày là: \(100 - 20x\) (tấn).
Theo bài, khối lượng xi măng còn lại trong kho ít nhất là \(10\) tấn nên ta có bất phương trình:
\(100 - 20x \ge 10.\)
\(m = - 1.\)
\(m = 2.\)
\(m = 0.\)
\(m = 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đồ thị của hàm số \(y = \left( {2m - 1} \right){x^2}\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) nên ta có:
\(4 = \left( {2m - 1} \right) \cdot {\left( { - 2} \right)^2}\) hay \(4\left( {2m - 1} \right) = 4,\) suy ra \(2m - 1 = 1,\) nên \(2m = 2,\) do đó \(m = 1.\)
Vậy \(m = 1.\)
\(\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\).
\(\left( { - \sqrt 3 ; - \sqrt 3 } \right)\).
\(\left( {3;\sqrt 3 } \right)\).
\(\left( { - 1;3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Xét hàm số \(y = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}{x^2}\)
⦁ Thay \(x = - 1\) vào hàm số trên, ta được: \(y = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}.\) Do đó đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}{x^2}\) không đi qua điểm \(\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\) và \(\left( { - 1;3} \right).\)
⦁ Thay \(x = - \sqrt 3 \) vào hàm số trên, ta được: \(y = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} = - \sqrt 3 .\) Do đó đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}{x^2}\) đi qua điểm \(\left( { - \sqrt 3 ; - \sqrt 3 } \right).\)
⦁ Thay \(x = 3\) vào hàm số trên, ta được: \(y = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot {3^2} = - 3\sqrt 3 \ne \sqrt 3 .\) Do đó đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}{x^2}\)không đi qua điểm \(\left( {3;\sqrt 3 } \right).\)
Vậy ta chọn phương án B.
\(2\sqrt 3 {\rm{\;m}}.\)
\(9\sqrt 3 {\rm{\;m}}.\)
\(3{\rm{\;m}}.\)
\(3\sqrt 3 {\rm{\;m}}.\)
Đáp án đúng là: C
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 6{\rm{\;m}}\) và \(\widehat {B\,} = 60^\circ \) mô tả chiếc thang dựa vào tường.
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = BC \cdot \cos B = 6 \cdot \cos 60^\circ = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)Cho \(\Delta ABC\)có \(\widehat {BAC} = 45^\circ \)và có 3 đỉnh thuộc đường tròn tâm \(O.\)Số đo \(\widehat {BOC}\)bằng
\(90^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(135^\circ .\)
\(45^\circ .\)
Đáp án đúng là: A
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BAC},\,\,\widehat {BOC}\) lần lượt là góc nội tiếp, góc ở tâm cùng chắn cung \(BC\) nên \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ .\)
\(0.\)
\(4.\)
\( - 4.\)
\(2.\)
Đáp án đúng là: C
Do \(x = 2\)là một nghiệm của phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) nên ta có:
\({2^2} + b \cdot 2 + c = 0\) hay \(2b + c = - 4.\)
Tính diện tích phần kẻ sọc ở hình sau, giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính \(LM\)và hai nửa đường tròn có đường kính tương ứng là \(LN = 8\,{\rm{cm}}\)và \(NM = 4\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(24\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
\(12\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
\(36\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
\(18\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(LM = LN + NM = 8 + 4 = 12{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Diện tích nửa hình tròn đường kính \(LN\) là: \({S_1} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot {\left( {\frac{8}{2}} \right)^2} = 8\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích nửa hình tròn đường kính \(LM\) là: \({S_2} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} = 18\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích nửa hình tròn đường kính \(NM\) là: \({S_3} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot {\left( {\frac{4}{2}} \right)^2} = 2\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích phần kẻ sọc ở hình đã cho là: \(S = {S_2} - {S_1} + {S_3} = 18\pi - 8\pi + 2\pi = 12\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Hai con thuyền \(P\) và \(Q\) cách nhau \(300\)m và thẳng hàng với chân \(B\) của tháp hải đăng ở trên bờ biển. Từ \(P\) và \(Q\) người ta nhìn thấy tháp hải đăng dưới các góc \(\widehat {BPQ} = 14^\circ ,\,\,\widehat {BQA} = 42^\circ .\) Đặt \(h = AB\) là chiều cao của tháp hải đăng.
\(103,4{\rm{\;m}}.\)
\(103,5{\rm{\;m}}.\)
\(104{\rm{\;m}}.\)
\(103{\rm{\;m}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ABQ\) vuông tại \(B,\) ta có: \(AB = BQ \cdot \tan \widehat {BQA}\) suy ra \(BQ = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {BQA}}} = \frac{{AB}}{{\tan 42^\circ }}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Xét \(\Delta ABP\) vuông tại \(B,\) ta có: \(AB = BP \cdot \tan \widehat {BPA}\) suy ra \(BP = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {BPA}}} = \frac{{AB}}{{\tan 14^\circ }}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Ta có: \(PQ = BP - BQ\) nên \(300 = \frac{{AB}}{{\tan 14^\circ }} - \frac{{AB}}{{\tan 42^\circ }}\)
\(300 = AB\left( {\frac{1}{{\tan 14^\circ }} - \frac{1}{{\tan 42^\circ }}} \right)\)
\(AB = \frac{{300}}{{\frac{1}{{\tan 14^\circ }} - \frac{1}{{\tan 42^\circ }}}} \approx 103{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
\[800{\rm{ }}000\] đồng.
\[600{\rm{ }}000\] đồng.
\[680{\rm{ }}000\] đồng
\[712{\rm{ }}000\] đồng.
Đáp án đúng là: A
Giá của đôi giày khi không sử dụng thẻ khách hàng thân thiết là:
\[418{\rm{ }}000:\left( {100\% - 5\% } \right) = 440\,\,000\] (đồng).
Giá ban đầu của đôi giày nếu không được khuyến mãi là:
\(440\,\,000:\left( {100\% - 45\% } \right) = 800\,\,000\) (đồng).
II. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm)
Câu 21-23. (2,5 điểm)
Với \(a > 0,\,\,a \ne 1,\) ta có:
\(A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} + \frac{1}{{\sqrt a - a}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{2}{{a - 1}}} \right)\)
\[ = \left[ {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} - \frac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]\]
\( = \left[ {\frac{{\sqrt a \cdot \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]\)
\( = \frac{{a - 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt a - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}\)
\( = \frac{{a - 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}}\)
\( = \frac{{a - 1}}{{\sqrt a }}.\)
Vậy với \(a > 0,\,\,a \ne 1\) thì \(A = \frac{{a - 1}}{{\sqrt a }}.\)
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + 2y = 5\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, ta được hệ phương trình mới \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 2\\x + 2y = 5.\end{array} \right.\)
Cộng từng vế của hai phương trình của hệ trên, ta được phương trình
\(7x = 7\)suy ra \(x = 1.\)
Thay \(x = 1\)vào phương trình (1), ta được:
\(3 \cdot 1 - y = 1\) suy ra \(y = 2.\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,2} \right).\)
Giải bất phương trình:
\(2x + 3\left( {x + 1} \right) > 5x - \left( {2x - 4} \right)\)
\(2x + 3x + 3 > 5x - 2x + 4\)
\(2x > 1\)
\(x > 0,5\)
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x > 0,5.\)
Câu 24-25 (1,0 điểm)
1) Giải phương trình \(2{x^2} - 5x + 3 = 0.\)
\(2{x^2} - 5x + 3 = 0\)
\(2{x^2} - 2x - 3x + 3 = 0\)
\(2x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) = 0\)
\(\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) = 0\)
\(x - 1 = 0\)hoặc \(2x - 3 = 0\)
\(x = 1\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\)
Vây phương trình có hai nghiệm là \(x = 1;\,\,x = \frac{3}{2}.\)
Thời gian từ khi người đó nhảy đến khi chạm mặt nước là 9 giây nên \[t = 9.\]
Thay \(t = 9\) vào \(d = \frac{{9,8}}{3} \cdot {t^2},\) ta được: \[d = \frac{{9,8 \cdot {9^2}}}{3} = \frac{{9,8 \cdot 81}}{3} = 264,6.\]
Vậy độ cao của người nhảy bungee so với mặt nước là 264,6 (m).
(1,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Trong đợt thi đấu giải bóng bàn dành cho lứa tuổi học sinh THCS của năm học 2024 – 2025. Một đội tuyển học sinh của một cụm trường THCS tham gia cuộc thi đấu bóng bàn gồm cả Nam và Nữ. Trong lớp có \(\frac{1}{2}\) số học sinh nam và \(\frac{5}{8}\) số học sinh nữ thi đấu tạo thành cặp (một nam kết hợp với một nữ). Số học sinh còn lại không thi đấu là 16 học sinh làm cổ động viên. Hỏi đội tuyển có tất cả bao nhiêu học sinh?
Hướng dẫn giải
Gọi số học sinh nam và nữ của đội tuyển lần lượt là \(x,\;y\) (học sinh)\(\left( {x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)
\(\frac{1}{2}\) số học sinh nam của đội tuyển là: \(\frac{1}{2}x\) (học sinh).
\(\frac{5}{8}\) số học sinh nữ của đội tuyển là: \(\frac{5}{8}y\)(học sinh).
Thi đấu theo cặp thì số học sinh nam thi đấu bằng số học sinh nữ thi đấu nên ta có phương trình: \(\frac{1}{2}x = \frac{5}{8}y\) hay \(4x = 5y\) nên \(4x - 5y = 0.\) (1)
Số học sinh nam còn lại để cổ vũ là: \(x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x\) (học sinh).
Số học sinh nữ còn lại để cổ vũ là: \(y - \frac{5}{8}y = \frac{3}{8}y\)(học sinh).
Theo bài, số học sinh còn lại không thi đấu là 16 học sinh nên ta có phương trình:
\(\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}y = 16\)hay \(4x + 3y = 128.\)(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 5y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4x + 3y = 128\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2), ta được phương trình:
\( - 8y = - 128\)suy ra \(y = 16\) (thỏa mãn).
Thay \(y = 16\)vào phương trình (1), ta được:
\[4x - 5 \cdot 16 = 0\] suy ra \(4x = 80\) nên \(x = 20\) (thỏa mãn).
Vậy đội tuyển có tất cả \(20 + 16 = 36\) học sinh.
Câu 27- 29: (2,0 điểm)Cho \(\left( O \right)\)có đường kính \(AB.\) Kẻ đường kính \(CD\) vuông góc với \(AB.\) Lấy \(M\) thuộc cung nhỏ \(AM\)cắt \(CD\) tại \(E.\) Qua \(D\) kẻ tiếp tuyến với \(\left( O \right)\)cắt đường thẳng \(BM\) tại \(N.\) Gọi \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(DN.\)
Ta có \(DN \bot CD\,\,\)(vì \(DN\)là tiếp tuyến của \(\left( O \right))\) nên \(\widehat {CDN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {EDN} = 90^\circ .\)
\(\Delta EDN\)vuông tại \(D\)nên ba điểm \(E,\,\,D,\,\,N\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(EN.\)Ta có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right))\) nên\(\widehat {EMN} = 90^\circ .\)
\(\Delta EMN\)vuông tại \(M\) nên ba điểm \(E,\,\,M,\,\,N\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(EN.\)Như vậy, các điểm \(M,\,\,N,\,\,D,\,\,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính\(EN.\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\)có \(\widehat {CDM} = \widehat {CBM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CM)\) hay \(\widehat {EDM} = \widehat {CBM}\) (1)
Vì tứ giác \(MNDE\)có 4 đỉnh thuộc đường tròn đường kính \(EN\) (câu a) nên \(\widehat {EDM} = \widehat {ENM}\) (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EM)\)
Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {CBM} = \widehat {ENM}\,\,\,\left( { = \widehat {EDM}} \right).\)
Mà hai góc \(\widehat {CBM},\,\,\widehat {ENM}\)này ở vị trí đồng vị nên \(EN\,{\rm{//}}\,CB.\)
⦁Ta có \(BP \bot DN\) nên \(\widehat {BPN} = 90^\circ .\)
Ta có \(DN \bot CD\)và \(AB \bot CD\) nên \(BA\,{\rm{//}}\,DN,\) suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {DNB}\)(đồng vị).
Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta BPN\) có:
\(\widehat {AMB} = \widehat {BPN} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABM} = \widehat {BND}\)
Do đó (g.g).
Xét tứ giác \(OBPD\)có \(\widehat {DOB} = \widehat {BPD} = \widehat {ODP} = 90^\circ \)và \(OD = OB = R\)
Suy ra \(OBPD\) là hình vuông nên \(OD = OB = BP = R\) (4)
Từ (3) và (4) ta có\(AM \cdot BN = AB \cdot BP = 2R \cdot R = 2{R^2}.\)
⦁ Kẻ \(EF \bot BC,\,\,NK \bot BC\)
Ta có \({S_{BNC}} = \frac{1}{2}NK \cdot BC.\) Do \(BC\) không đổi nên \({S_{BNC}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(NK\) lớn nhất.
Do \(EF \bot BC,\,\,NK \bot BC\)nên \(EF\,{\rm{//}}\,NK.\)
Khi đó, tứ giác \(EFKN\) là hình bình hành, lại có \(\widehat {EFK} = 90^\circ \) nên hình bình hành \(EFKN\) là hình chữ nhật. Do đó \(EF = NK.\)
Ta có \(NK\) lớn nhất khi \(EF\) lớn nhất, điều này xảy rakhi điểm \(E\) trùng với điểm \(O,\)khi điểm \(M\) trùng điểm \(B.\)
Hướng dẫn giải
Gọi \(x,\,\,y{\rm{\;(m)}}\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật \(ABCD\)\(\left( {x,\,\,y > 0} \right).\)
Vì độ dài đường kính của đường tròn là đường chéo của hình chữ nhật \(ABCD\) nên biểu thức xác định đường kính của đường tròn là \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} {\rm{\;(m)}}\) (áp dụng định lí Pythagore).
Suy ra bán kính của đường tròn là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Diện tích đường tròn là \(S = \pi \cdot \frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích của hình chữ nhật là \({S_{hcn}} = xy = 640{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích phần đất trồng hoa là \(S' = S - {S_{hcn}} = \pi \cdot \frac{{{x^2} + {y^2}}}{4} - xy{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Với mọi \(x,\,\,y\) ta luôn có:
\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)
\({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)
\({x^2} + {y^2} \ge 2xy\)
\(\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4} \ge \frac{{xy}}{2} > 0\)
\(\frac{{\pi \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{4} \ge \frac{{\pi xy}}{2}\)
\(\frac{{\pi \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{4} - xy \ge \frac{{\pi xy}}{2} - xy\)
Do đó \(S' \ge \frac{{\pi xy}}{2} - xy = 320\pi - 640{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - y} \right)^2} = 0\) hay \(x = y.\)
Như vậy, để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất thì \(x = y.\)
Khi đó, ta có \(x = y\) và \(xy = 640\) nên \(x = y = \sqrt {640} = 8\sqrt {10} {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Vậy mảnh vườn \(ABCD\) có hai kích thước bằng nhau và bằng \(8\sqrt {10} {\rm{\;m}}\) thì diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất.
