Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Nguyễn Trường Tộ_Quận Đống Đa_TP. Hà Nội
12 câu hỏi
Câu 1-3 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức và với .
Thay \[x = 9\](thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \[A,\] ta được: \[A = \frac{{3\sqrt 9 }}{{\sqrt 9 + 2}} = \frac{{3 \cdot 3}}{{3 + 2}} = \frac{9}{5}.\]
Vậy khi \[x = 9\] thì \[A = \frac{9}{5}\].
Với \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] ta có:
\[B = \frac{{x + 4}}{{x - 4}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\]\[ = \frac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{x + 4 - 2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x + 4 - 2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\]
Vậy với \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] thì \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\]
Với \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] ta có:
\[A - B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\]
Theo bài, \[A - B < \frac{5}{4}\]
Suy ra \[\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} < \frac{5}{4}\]
\[\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{5}{4} < 0\]
\[\frac{{8\sqrt x }}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{5\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0\]
\[\frac{{8\sqrt x - 5\sqrt x - 10}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0\]
\[\frac{{3\sqrt x - 10}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0\] (*)
Với mọi \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] ta có:\[\sqrt x \ge 0\] nên \[\sqrt x + 2 > 0\] nên từ bất phương trình (*) suy ra:
\[3\sqrt x - 10 < 0\]
\[3\sqrt x < 10\]
\[\sqrt x < \frac{{10}}{3}\]
\[x < \frac{{100}}{9}\].
Kết hợp điều kiện xác định \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] ta có \[0 \le x < \frac{{100}}{9},\,\,x \ne 4.\]
Mà \[x\] là số nguyên dương lớn nhất nên \[x = 11\].
Vậy \(x = 11\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 4-6 (3,5 điểm)
Gọi khối lượng thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị thứ nhất và thứ hai sản xuất được lần lượt là \[x,y\] (tấn thóc, \[0 < x,\,\,y < 600).\]
Do năm ngoái hai đơn vị thu hoạch được \[600\] tấn thóc nên ta có phương trình: \[x + y = 600.\,\,\left( 1 \right)\]
Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức \(10{\rm{\% }}\) so với năm ngoái nên khối lượng thóc thu hoạch được là \(\left( {100\% + 10\% } \right)x = 110\% x = 1,1x\) (tấn thóc).
Năm nay, đơn vị thứ hai làm vượt mức \(20{\rm{\% }}\) so với năm ngoái nên khối lượng thóc thu hoạch được là \(\left( {100\% + 20\% } \right)y = 120\% y = 1,2y\) (tấn thóc).
Năm nay cả hai đơn vị thu hoạch được \[685\] tấn thóc nên ta có phương trình: \[1,1x + 1,2y = 685\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\1,1x + 1,2y = 685\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với \[1,2\] ta được hệ phương trình mới \(\left\{ \begin{array}{l}1,2x + 1,2y = 720\,\,\,\,\left( 3 \right)\\1,1x + 1,2y = 685\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Trừ từng vế của phương trình (3) cho phương trình (2), ta được:
\(0,1x = 35\) suy ra \[x = 350\] (thỏa mãn).
Thay \(x = 350\) vào phương trình (1) ta được \(350 + y = 600,\) suy ra \[y = 250\] (thỏa mãn).
Vậy, năm ngoái, đơn vị thứ nhất thu hoạch được \[350\] tấn thóc; đơn vị thứ hai thu hoạch được \[250\] tấn thóc.
Đổi 12 phút \( = \frac{1}{5}\) giờ.
Gọi quãng đường \[AB\] là \[x\]\[(x > 0,\] km).
Thời gian dự định đi hết quãng đường \[AB\] là \(\frac{x}{{50}}\) (giờ).
Thời gian đi hết quãng đường 40 km là: \(\frac{{40}}{{50}} = \frac{4}{5}\) (giờ).
Quãng đường còn lại là \(x - 40\) (km) và vận tốc di chuyển trên quãng đường đó là \(50 + 10 = 60\) (km/h).
Thời gian xe tải di chuyển trên quãng đường còn lại là \(\frac{{x - 40}}{{60}}\) (giờ).
Do xe tải đến \(B\) đúng dự định nên ta có phương trình: \(\frac{4}{5} + \frac{1}{5} + \frac{{x - 40}}{{60}} = \frac{x}{{50}}.\)
Giải phương trình:
\(\frac{4}{5} + \frac{1}{5} + \frac{{x - 40}}{{60}} = \frac{x}{{50}}\)
\(\frac{{x - 40}}{{60}} - \frac{x}{{50}} + 1 = 0\)
\(\frac{{5\left( {x - 40} \right)}}{{300}} - \frac{{6x}}{{300}} + \frac{{300}}{{300}} = 0\)
\(5\left( {x - 40} \right) - 6x + 300 = 0\)
\(5x - 200 - 6x + 300 = 0\)
\( - x + 100 = 0\)
\(x = 100\) (thỏa mãn).
Vậy quãng đường \[AB\] dài \[100\] km.
3) Một vật rơi tự do từ độ cao \[150\] m so với mặt đất. Quãng đường chuyển động \[s{\rm{\;(m)}}\] của vật phụ thuộc vào thời gian \(t\) (giây) được cho bởi công thức \(s = 6{t^2}.\)
a) Sau \[2\] giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét?
b) Sau bao lâu thì vật này chạm đất?
a) Sau \[2\] giây, vật rơi được quãng đường là: \[s = 6 \cdot {2^2} = 24{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Như vậy, sau 2 giây, vật này cách mặt đất số mét là: \[150 - 24 = 126{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
b) Khi vật chạm đất thì vật đã rơi được quãng đường là \(s = 150{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Khi đó, ta có: \(6{t^2} = 150\)
\[{t^2} = 25\]
\[t = 5\] (do \[t > 0).\]
Vậy, sau \[5\] giây thì vật này sẽ chạm đất.
Câu 7-8
a) Hàng rào có chiều dài là:
\[L = l + 2R = \frac{{\pi \cdot 50 \cdot 72}}{{180}} + 2 \cdot 50 \approx \frac{{3,14 \cdot 50 \cdot 72}}{{180}} + 100 = 162,8{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Diện tích công viên là: \[S = \frac{{\pi \cdot {{50}^2} \cdot 72}}{{360}} \approx \frac{{3,14 \cdot {{50}^2} \cdot 72}}{{360}} = 1570{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]
Diện tích trồng cỏ trong công viên là: \[S' = 30\% S \approx 30\% \cdot 1570 = 471{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]
Câu 9-11: (3 điểm)
a) Ta có \(\Delta DMB\) vuông tại \(M\) nên ba điểm \(M,\,\,D,\,\,B\)thuộc đường tròn đường kính \(DB.\) (1)
Do \(\Delta DFB\) vuông tại \(F\) nên ba điểm \(F,\,\,D,\,\,B\)thuộc đường tròn đường kính \(DB.\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(M,\,\,D,\,\,B,\,\,F\)cùng thuộc một đường tròn đường kính \(DB.\)
Do đó tứ giác \[BMDF\] nội tiếp đường kính \(DB.\)
Do đó là trung điểm của
Xét tứ giác có là trung điểm của hai đường chéo nên là hình bình hành.
Lại có nên tứ giác là hình thoi.
⦁ Xét đường tròn có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên
Do tứ giác là hình thoi nên suy ra
Mà suy ra ba điểm thẳng hàng.
Xét vuông tại có là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên (3)
Xét và có: và (cùng phụ với
Do đó (g.g). Suy ra hay
Mà (do là trung điểm của suy ra (4)
Từ (3) và (4) suy ra
![Chứng minh: \[\frac{{DA}}{{DH}} + \frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DE}}{{DK}}.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/03/16-1741697241.png)
Kẻ \[AJ\,{\rm{//}}\,HK\] và \[BI\,{\rm{//}}\,HK\]\[\left( {I,\,\,J \in DE} \right).\]
Theo định lí Thalès, ta có: \(\frac{{DA}}{{DH}} = \frac{{DJ}}{{DK}};\,\,\frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DI}}{{DK}}.\)
Suy ra \(\frac{{DA}}{{DH}} + \frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DJ}}{{DK}} + \frac{{DI}}{{DK}} = \frac{{DJ + DI}}{{DK}}\) (5)
Do \[AJ\,{\rm{//}}\,HK\] và \[BI\,{\rm{//}}\,HK\] nên \(AJ\,{\rm{//}}\,BI\) suy ra \(\widehat {MBI} = \widehat {MAJ}\) (so le trong).
Xét \[\Delta BIM\] và \(\Delta AJM\) có:
\(\widehat {BMI} = \widehat {AMJ} = 90^\circ ,\)\(MA = MB,\)\(\widehat {MBI} = \widehat {MAJ}\)Do đó \[\Delta BIM = \Delta AJM\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra \(MI = MJ\) (hai cạnh tương ứng).
Lại có \(MD = ME\) nên \(MD - MI = ME - MJ\) hay \(DI = EJ\) (6)
Từ (5) và (6) suy ra \(\frac{{DA}}{{DH}} + \frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DJ + JE}}{{DK}} = \frac{{DE}}{{DK}}.\)
(0,5 điểm) Xét các hình hộp chữ nhật có thể tích bằng \(27\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) mà đáy là hình vuông cạnh \(a\,\,({\rm{cm}})\) và chiều cao \(h\,\,({\rm{cm}}).\) Tìm hình hộp có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Thể tích của hình hộp chữ nhật là:
\(V = a \cdot a \cdot h = {a^2}h{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Theo bài, hình hộp chữ nhật có thể tích bằng \(27\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên ta có \({a^2}h = 27,\) suy ra \(h = \frac{{27}}{{{a^2}}}.\)Diện tích toàn phần của hình hộp là:
\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 4ah + 2{a^2}\)
\( = 4a \cdot \frac{{27}}{{{a^2}}} + 2{a^2} = \frac{{108}}{a} + 2{a^2} = 2\left( {{a^2} + \frac{{27}}{a} + \frac{{27}}{a}} \right)\)
\( \ge 2 \cdot 3\sqrt[3]{{{a^2} \cdot \frac{{27}}{a} \cdot \frac{{27}}{a}}}\) (Bất đẳng thức Cauchy)
\( = 2 \cdot 3 \cdot 9 = 54.\)
Như vậy, \({S_{tp}} \ge 54\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({a^2} = \frac{{27}}{a}\) hay \(a = 3\) (thỏa mãn \(a > 0).\)
Khi đó, \(h = \frac{{27}}{{{a^2}}} = \frac{{27}}{{{3^2}}} = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Vậy hình hộp có diện tích toàn phần nhỏ nhất là \(54{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3},\) khi cạnh đáy hình vuông là \(3{\rm{\;cm}}\) và chiều cao là \(3{\rm{\;cm}}.\)
