22 câu hỏi
\(f\left( x \right) = - \sin x\).
\(f\left( x \right) = - \cos x\).
\(f\left( x \right) = \sin x\).
\(f\left( x \right) = \cos x\).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức \(\smallint {\rm{sin}}x{\rm{\;d}}x = - {\rm{cos}}x + C\). Suy ra \(f\left( x \right) = {\rm{sin}}x\).
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \].
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \].
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}\left( {2x} \right)} } \].
\[\int\limits_a^b {2024f\left( x \right){\rm{d}}x = 0} .\]
Đáp án đúng là: B
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \].
\(10\).
\(8\).
\(\frac{{26}}{3}\).
\(\frac{{32}}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]dx} = \left. {\left( {x + F\left( x \right)} \right)} \right|_1^3 = \left. {\left( {x + {x^2}} \right)} \right|_1^3 = 12 - 2 = 10.\)
\(V = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} \).
\(V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} \).
\(V = \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} \).
\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} \).
Đáp án đúng là: D
Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là: \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} \).
\(12\).
\(9\).
\(5\).
\(6\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 10x + 3} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = 9\].
\(V = 3036\).
\(V = 3036\pi \).
\(V = 1518\).
\(V = 1518\pi \).
Đáp án đúng là: A
Thể tích vật thể là: \(V = \int\limits_1^2 {2024xdx = 3036} \).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( { - 2;1;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;1;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 1; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 2;1; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
\(\left( P \right):\,2x - y + z - 3 = 0\).
Suy ra: mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 2;1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = - \overrightarrow n .\)
Vậy: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 2;1; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(\vec j = \left( {0;\,1;\,0} \right)\).
\(\vec n = \left( {1;0;1} \right)\).
\(\vec i = \left( {1;0;0} \right)\).
\(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec j = \left( {0;\,1;\,0} \right)\).
\(M\left( { - 3;0;0} \right)\).
\(N\left( {1; - 1;0} \right)\).
\(P\left( {0; - 2;0} \right)\).
\(Q\left( {0;0; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Xét điểm \(N\left( {1; - 1;0} \right)\) ta có: \(2.1 + 3.( - 1) + 6.0 + 6 = 5 \ne 0.\)
Vậy điểm \(N\) không thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
\[\overrightarrow n \left( {2; - 1;3} \right)\].
\[\overrightarrow n \left( {3;3; - 1} \right)\].
\[\overrightarrow n \left( {2;1;3} \right)\].
\[\overrightarrow n \left( {2;3;3} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Do \[M'\] là hình chiếu vuông góc của \[M\] lên mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] nên \(MM' \bot \left( P \right)\).
Do đó, \[\overrightarrow {MM'} \left( {4;2;6} \right)\]là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\].
Khi đó mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] cũng có một vectơ pháp tuyến khác là \[\overrightarrow n \left( {2;1;3} \right)\].
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1\,;\,2\,;\,1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {3\,;\,4\,;\, - 5} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y + z + 5 = 0\).
Cho \(I\left( {1\,;\,7\,;\,3} \right)\), khi đó \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt 6 \).
Đáp án đúng là: D
Do \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{12}}{{\sqrt 6 }} = 2\sqrt 6 \ne \sqrt 6 \) nên D sai.
\(3x - 2y + z + 11 = 0\).
\(2x - y + 3z - 14 = 0\).
\(3x - 2y + z - 11 = 0\).
\(2x - y + 3z + 14 = 0\).
Đáp án đúng là: C
\(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng đã cho song song với \(\left( P \right)\) nên cũng nhận nhận \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến
Vậy mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với \(\left( P \right)\) có phương trình là
\(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2y + z - 11 = 0\).
\(f\left( x \right) = \frac{a}{{2\sqrt {x - b} }}\).
\(\int {xG\left( x \right)} dx = 3\ln \left| {cx} \right| + C\).
Nếu \(c = - 6\) thì \(g'\left( x \right) = \frac{3}{{{x^4}}}\).
Nếu \(f\left( x \right) = \frac{{3x - 5}}{{\sqrt {x - 3} }}\) thì \(2{a^2} - 3b = - 1\).
a) S, b) S, c) S, d) Đ
a) \(f\left( x \right) = F'\left( x \right) = a\sqrt {x - b} + \frac{{ax + 2}}{{2\sqrt {x - b} }} = \frac{{2a\left( {x - b} \right) + ax + 2}}{{2\sqrt {x - b} }} = \frac{{3ax - 2ab + 2}}{{2\sqrt {x - b} }}\).
b) \(\int {xG\left( x \right)} dx = \int {\frac{{3x}}{{c{x^2}}}} dx = \int {\frac{3}{{cx}}} dx = \frac{3}{c}\ln \left| x \right| + C\).
c) \(G\left( x \right) = \frac{3}{{ - 6{x^2}}} = - \frac{1}{{2{x^2}}}\)\( \Rightarrow g\left( x \right) = G'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^3}}}\).
Suy ra \(g'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^\prime } = \frac{{ - 3}}{{{x^4}}}\).
d) Theo câu a, \(f\left( x \right) = \frac{{3ax - 2ab + 2}}{{2\sqrt {x - b} }}\) mà \(f\left( x \right) = \frac{{3x - 5}}{{\sqrt {x - 3} }}\) nên suy ra
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3a}}{2} = 3\\ - ab + 1 = - 5\\b = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\).
Do đó \(2{a^2} - 3b = {2.2^2} - 3.3 = - 1\).
\(F\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 1\).
\(\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} = \left. {{F^2}\left( x \right)} \right|_0^1\).
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = \frac{1}{2},x = \frac{3}{2}\) là \(F\left( {\frac{1}{2}} \right) - F\left( {\frac{3}{2}} \right)\).
Phần tô đậm trong hình sau là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = F\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0,x = 2\).
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( { - 3{x^2} + 6x} \right)dx} = - {x^3} + 3{x^2} + C\).
Vì \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \(C = 1\). Do đó \(F\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 1\).
b) \(\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {{{\left( { - 3{x^2} + 6x} \right)}^2}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {9{x^4} - 36{x^3} + 36{x^2}} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {9\frac{{{x^5}}}{5} - 9{x^4} + 12{x^3}} \right)} \right|_0^1\).
c) Ta có \(S = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left| { - 3{x^2} + 6x} \right|dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - 3{x^2} + 6x} \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} = F\left( {\frac{3}{2}} \right) - F\left( {\frac{1}{2}} \right)\).
d) Phần tô đậm trong hình sau là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = F\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0,x = 2\).
Hình vuông \(OABC\) có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong \(\left( C \right)\) có phương trình \(y = \frac{1}{4}{x^2}\). Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích của phần không tô đậm và tô đậm như hình vẽ sau.
\({S_2} = \left. {\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^4\).
\({S_1} = \int\limits_0^4 {\left( {\frac{{{x^2}}}{4} - 4} \right)dx} \).
\(0 < {S_1} < 2{S_2}\).
Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) là một số nguyên.
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Ta có \({S_2} = \int\limits_0^4 {\left| {\frac{{{x^2}}}{4}} \right|dx} = \int\limits_0^4 {\frac{{{x^2}}}{4}dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^4 = \frac{{16}}{3}\).
b) \({S_1} = {S_{OABC}} - {S_2} = 16 - \int\limits_0^4 {\frac{{{x^2}}}{4}dx} \) \( = 16 - \left. {\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^4 = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}\).
c) \(0 < {S_1} = 2{S_2}\).
d) \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{32}}{3}:\frac{{16}}{3} = 2\).
Điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) cách mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) một khoảng bằng 1.
\(I\left( {1;1;2} \right)\) là trung điểm đoạn thẳng \(CD\).
Nếu \(\left( \alpha \right)//CD\) thì \(2b - 3c + d = - 31\).
Nếu \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm \(I\left( {1;1;2} \right)\) của \(CD\) thì \(2b - 3c + d = - 16\).
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right):z = 0\).
\(d\left( {A,Oxy} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 1\).
b) \(I\left( {1;1;2} \right)\) là trung điểm đoạn thẳng \(CD\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;2} \right)\), \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;4; - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 6; - 10; - 14} \right) = - 2\left( {3;5;7} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)qua hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right),B\left( { - 2;1;3} \right)\) và \(\left( \alpha \right)//CD\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3;5;7} \right)\) có phương trình \(3\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 7\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(3x + 5y + 7z - 20 = 0\).
Suy ra \(b = 5;c = 7;d = - 20\). Do đó \(2b - 3c + d = - 31\).
d) Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {0;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( { - 3;0;1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1;3;3} \right)\).
Nếu \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm \(I\left( {1;1;2} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;3;3} \right)\) có phương trình là: \(\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0\) hay \(x + 3y + 3z - 10 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 9y + 9z - 30 = 0\).
Suy ra \(b = 9;c = 9;d = - 30\). Do đó \(2b - 3c + d = - 39\).
Trả lời: 1
Ta có \(f\left( x \right) = {\left( {x\sin x + C} \right)^\prime } = \sin x + x\cos x \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
Trả lời: −2
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{1 - \cos 2x}}{{1 + \cos 2x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2{{\sin }^2}x}}{{2{{\cos }^2}x}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx = \left. {\left( {\tan x - x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \sqrt 3 } - \frac{\pi }{3}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - 2\).
Trả lời: 0
Giả sử \(A\left( {a;{a^2}} \right),B\left( {b;{b^2}} \right) \in \left( P \right)\left( {b > a} \right)\) sao cho \(AB = 2\).
Phương trình đường thẳng \(AB:y = \left( {b + a} \right)x - ab\).
Gọi\(S\) là diện tích hình phẳng cần tìm, ta có
\(S = \int\limits_a^b {\left| {\left( {b + a} \right)x - ab - {x^2}} \right|} dx\)\( = \int\limits_a^b {\left[ {\left( {b + a} \right)x - ab - {x^2}} \right]} dx = \frac{1}{6}{\left( {b - a} \right)^3}\).
Vì \(AB = 2\) nên \(\left| {b - a} \right| = b - a \le 2\)\( \Rightarrow S \le \frac{4}{3}\).
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\b - a = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\end{array} \right.\). Suy ra \(a + b = 0\).
Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 30 cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc \(45^\circ \) để lấy một hình nêm (xem hình minh họa).
Tính thể tích của hình nêm (đơn vị cm3).
_____
Trả lời: 2250
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình \(y = \sqrt {225 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 15;15} \right]\).
Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x,\left( {x \in \left[ { - 15;15} \right]} \right)\) cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là \(S\left( x \right)\).
Ta có \(NP = y\) và \(MN = NP\tan 45^\circ = y = \sqrt {225 - {x^2}} \).
Khi đó \(S\left( x \right) = \frac{1}{2}MN.NP = \frac{1}{2}\left( {225 - {x^2}} \right)\).
Suy ra thể tích hình nêm là \(V = \int\limits_{ - 15}^{15} {S\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 15}^{15} {\left( {225 - {x^2}} \right)dx} = 2250\) cm3.
Trả lời: −6
Gọi \(H,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,B\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Khi đó theo giả thiết ta có: \(AB = 3\), \(AH = 6\), \(BK = 3\).
Do đó \(A,\,B\) ở cùng phía với mặt phẳng \(\left( P \right)\)
Lại có: \(AB + BK \ge AK \ge AH \Rightarrow H \equiv K\).
Suy ra \(A,\,B,\,H\) là ba điểm thẳng hàng và \(B\) là trung điểm của \(AH\) nên tọa độ \(H\left( {5;\,6;\, - 1} \right)\).
Vậy mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(H\left( {5;\,6;\, - 1} \right)\) và nhận \[\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,2;\, - 1} \right)\]là VTPT có nên phương trình
\(2\left( {x - 5} \right) + 2\left( {y - 6} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z - 23 = 0\).
Theo bài ra thì \(\left( P \right):\, - 4x - 4y + 2z + 46 = 0\), nên \(a = - 4,\,b = - 4,\,c = 2\).
Vậy \(T = a + b + c = - 6\).
Trả lời: 8
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Phương trình mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) có dạng: \(\frac{x}{{4a}} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 4a = 0\)
Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) bằng
\(d\left( {C,\left( {AB'D'} \right)} \right) = \frac{{\left| {4a + 2.2a + 2.2a - 4a} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{8a}}{3}.\)
Với \(a = 3\) thì \(d\left( {C,\left( {AB'D'} \right)} \right) = 8\).
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
