Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y + 3z + 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - \left( { - 2} \right) - 2.3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{3}{3} = 1\).

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là \(z = 0\).

Đáp án đúng là: A

Phương trình cần tìm là \(\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0\) hay \(x - 2y + 3z + 12 = 0\).

Đáp án đúng là: C

\(A\left( { - 1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)\) lần lượt là hình chiếu của \(M\left( { - 1;2; - 3} \right)\) trên các trục \(Ox,Oy,Oz\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 3}} = 1\).

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có \(g'\left( x \right) = 12{e^{2x}}\). Do đó \(g\left( x \right)\) không là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

b) \(\int {g\left( x \right)} dx = \int {6{e^{2x}}} dx = \int {3{e^{2x}}} d\left( {2x} \right) = 3{e^{2x}} + C\).

c) \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {\left[ {3{e^{2x}} - \ln 2 + 6{e^{2x}}} \right]dx} = \int {\left( {9{e^{2x}} - \ln 2} \right)dx} \)\( = \frac{9}{2}{e^{2x}} - x\ln 2 + C\).

d) \(\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx} = \int {\frac{{3{e^{2x}} - \ln 2}}{{6{e^{2x}}}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{2} - \frac{{\ln 2}}{{6{e^{2x}}}}} \right)dx} \)\( = \frac{1}{2}x + \frac{{\ln 2}}{{12{e^{2x}}}} + C\).

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x } \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^2\).

b) \(\int\limits_1^2 {3f\left( x \right)dx} = 3\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x } \right)dx} = \left. {3\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^2 = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{4} + 2{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^2\).

c) \(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + x} \right]dx} = \int\limits_1^4 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x + x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^4 = \frac{{209}}{{12}}\).

d) \(S = \int\limits_1^3 {\left| {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x } \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x } \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^3 = \frac{3}{2} + 2\sqrt 3 < 5\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} dx\)\( = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|} dx\).

b) \({S_2} = \int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4x} \right|dx} - {S_1}\).

c) \({S_2} = \int\limits_3^4 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} + {S_{\Delta OAB}} = \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} + \frac{1}{2}.3.3 = \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} + \frac{9}{2}\).

(với \(A\left( {3;0} \right),B\left( {3;3} \right)\)).

d) \(V = \pi \int\limits_0^3 {{x^2}dx} + \pi \int\limits_3^4 {{{\left( { - {x^2} + 4x} \right)}^2}dx} = 9\pi + \frac{{53\pi }}{{15}} = \frac{{188\pi }}{{15}} > 30\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Mặt phẳng \(x + 2y + 2z = 1\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;2;2} \right)\).

b) Thay tọa độ điểm \(A\left( { - 1;4;2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(x + 2y + 2z = 1\) ta được

\( - 1 + 2.4 + 2.2 - 1 = 10 \ne 0\). Do đó điểm \(A\left( { - 1;4;2} \right)\)không thuộc mặt phẳng \(x + 2y + 2z = 1\).

c) Mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có phương trình \(x = 0\).

Suy ra \(d\left( {A,\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{1} = 1\).

d) Có \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;4;2} \right)\) và \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 2;0; - 1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \( - 2\left( {x + 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0\) hay \(2x + z = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{1}{2}z = 0\).

Suy ra \(b = 0;c = \frac{1}{2}\). Do đó \(b - 2{c^2} + 1 = 0 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = \frac{1}{2} > 0\).

Trả lời: 3

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x - \cos x + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = - \cos x - \sin x + 2\tan x + C} \).

Mà \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 2\). Do đó \(F\left( x \right) = - \cos x - \sin x + 2\tan x + 2\).

Suy ra \(F\left( \pi \right) = - \cos \pi - \sin \pi + 2\tan \pi + 2 = 3\).

Trả lời: −8

Có \(F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right)\sqrt {2x - 3} + \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{\sqrt {2x - 3} }}\)\( = \frac{{\left( {2ax + b} \right)\left( {2x - 3} \right) + a{x^2} + bx + c}}{{\sqrt {2x - 3} }}\)

\( = \frac{{5a{x^2} + \left( {3b - 6a} \right)x - 3b + c}}{{\sqrt {2x - 3} }}\).

Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}5a = 20\\3b - 6a = - 30\\ - 3b + c = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 2\\c = 1\end{array} \right.\). Do đó \(P = abc = 4.\left( { - 2} \right).1 = - 8\).

Trả lời: 3,92

Vận tốc của viên đạn là \(v\left( t \right) = \int { - 9,8dt} = - 9,8t + C\).

Vì \(v\left( 0 \right) = 196\) nên \(C = 196\). Do đó \(v\left( t \right) = - 9,8t + 196\).

Khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất thì viên đạn có vận tốc bằng 0.

Suy ra  \( - 9,8t + 196 = 0 \Leftrightarrow t = 20\).

Quãng đường viên đạn đi từ mặt đất đến vị trí cao nhất là

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^{20} {\left( { - 9,8t + 196} \right)dt} = 1960\)(m)

Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là

\(2.1960 = 3920\) m \( = 3,92\) km.

Trả lời: 20,8

Chọn hệ trục tọa độ với \(O\) là trung điểm của \(MN\), trục hoành trùng với đường thẳng \(MN\).

Giả sử \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a < 0} \right)\).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(I\left( {0;6} \right),C\left( {6;0} \right),D\left( { - 6;0} \right)\).

Do đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}36a + 6b + c = 0\\36a - 6b + c = 0\\c = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{6}\\b = 0\\c = 6\end{array} \right.\).

Do đó \(\left( P \right):y = - \frac{1}{6}{x^2} + 6\).

Diện tích cần làm là \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - \frac{1}{6}{x^2} + 6} \right|dx} = \frac{{208}}{9}\).

Số tiền cần dùng là:\(\frac{{208}}{9}.900000 = 20800000\) đồng = 20,8 triệu đồng.

Trả lời: −4

Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {5; - 4;3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ nên \(\left( P \right):2x + y - 2z = 0\).

Do đó \(a = 2;c = - 2\). Vậy \(ac = - 4\).

Trả lời: 18

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {0; - 1;0} \right),\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) đi qua \(A\left( {1;0;1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;0; - 1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có dạng

\(\left( {x - 1} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(x - z = 0\).

Chiều cao của hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) chính là \(d\left( {C',\left( {ABD} \right)} \right)\).

Ta có \(d\left( {C',\left( {ABD} \right)} \right) = \frac{{\left| {4 - \left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{9\sqrt 2 }}{2}\). Suy ra \(a = 9;b = 2\).

Vậy \(ab = 18\).