Đáp án đúng là: A

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \\20 \ne 40\end{array} \right.\) nên \(\left( P \right)//\left( Q \right)\).

Đáp án đúng là: D

Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;2;4} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\) ta được:

\(1 + 2.2 - 4 - 1 = 0\) (đúng). Do đó \(A \in \left( P \right)\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + \frac{3}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + C\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\int\limits_0^1 {\left[ {4x - 3f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {4x{\rm{d}}x - 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} } = \left. {2{x^2}} \right|_0^1 - 3.3 = 2 - 9 = - 7.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có tọa độ trung điểm \(I\)của \(AB\) là \(I\left( {3;2; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2; - 2} \right)\).

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua \(I\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \) nên có phương trình là \(4\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - z - 5 = 0\).

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) \(S = \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) .

b) \(S = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} = \frac{4}{3}\).

c) \[V = \pi \int\limits_0^2 {{f^2}\left( x \right)dx} \].

d) \[V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}} \right)dx} = \frac{{16\pi }}{{15}}\].

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 5;8;1} \right)\) có phương trình là:

\( - 5\left( {x - 1} \right) + 8\left( {y - 2} \right) + \left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5x - 8y - z + 8 = 0\).

b) Thay tọa độ điểm \(A(1;1;5)\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\), ta được

\(5.1 - 8.1 - 5 + 8 = 0\) đúng. Vậy điểm \(A \in \left( P \right)\).

c) Ta có \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {5.1 - 8.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right) + 8} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {8^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{30}}{{3\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \).

d) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là \[5x - 8y - z = 0\].

Trả lời: 8

Ta có \({\left[ {\left( {ax + b} \right){e^{ - x}} + C} \right]^\prime } = a{e^{ - x}} - \left( {ax + b} \right){e^{ - x}} = - ax{e^{ - x}} + \left( {a - b} \right){e^{ - x}}\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - a = 2\\a - b = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 5\end{array} \right.\). Vậy \(a - 2b = 8\).

Trả lời: 1

\(\int\limits_1^7 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^7 {f\left( x \right)dx} = 4 - 3 = 1\).

Trả lời: 4

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;4;3} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {m; - n; - 6} \right)\).

Để \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = k\overrightarrow {{n_Q}} \\ - 5 \ne k.2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = km\\4 = k.\left( { - n} \right)\\3 = k.\left( { - 6} \right)\\ - 5 \ne k.2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\n = 8\\k = - \frac{1}{2}\\ - 5 \ne \left( { - \frac{1}{2}} \right).2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\n = 8\end{array} \right.\).

Do đó \(m + n = 4\).

Trả lời: 3

Ta có \(d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{3} = 1\)\( \Leftrightarrow m = 3\) (do \(m > 0\)).

Ta có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {6tdt} = 3{t^2} + C\).

Do khi bắt đầu tăng tốc \({v_0} = 10{\rm{m/s}}\). Suy ra \(C = 10\).

Do đó \(v\left( t \right) = 3{t^2} + 10\).

Quãng đường anh ta đi được trong thời gian 10 giây là \(S = \int\limits_0^{10} {\left( {3{t^2} + 10} \right)dt} = 1100\)(m).

Vì \(AB = 4{\rm{dm}}\) và \(BC = 8{\rm{dm}}\)nên \(A\left( { - 2;4} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {2; - 4} \right),D\left( { - 2; - 4} \right)\).

Ta có \(\left( P \right):y = {x^2}\) hoặc \(y = - {x^2}\).

Diện tích phần tô đậm là \({S_1} = 4\int\limits_0^2 {{x^2}dx} = \frac{{32}}{3}\)(dm²).

Diện tích hình chữ nhật là \(S = 4.8 = 32\)(dm²).

Diện tích phần trắng là: \({S_2} = S - {S_1} = 32 - \frac{{32}}{3} = \frac{{64}}{3}\)(dm²).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có \(A\left( {0;0;0} \right),\overrightarrow {AE} = \left( {0;0;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {0; - 1;0} \right)\).

Đặt \(M\left( {a;b;c} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {a;b;c} \right)\).

Để cho \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {CD} \) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}a + 0 = 0\\b + 0 = - 3\\c + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 3\\c = - 1\end{array} \right.\). Suy ra \(M\left( {0; - 3; - 1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\) có dạng: \(x + y + z - 1 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\) bằng

\(d\left( {M,\left( {EBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 3 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy khoảng cách cần tìm bằng \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).