Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 3;m} \right)\).

Để \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\) thì \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0 \Leftrightarrow 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).m = 0\)\( \Leftrightarrow m = - 8\).

Đáp án đúng là: D

\(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;2;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 4;4} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {8;16;16} \right) = 8\left( {1;2;2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nhận vectơ có tọa độ \(\left( {1;2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;1;0} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = - \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {1;0;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(B\left( { - 1;0;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0;1} \right)\) có phương trình là

\(\left( {x + 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z = 0\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(f'\left( x \right) = 2 + 3\sin x\).

b) \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {2x - 3\cos x} \right)dx} = {x^2} - 3\sin x + C\).

c) Có \(F\left( x \right) = {x^2} - 3\sin x + C\) mà \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^2} - 3\sin \frac{\pi }{2} + C = 3 \Leftrightarrow C = 6 - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\).

Vậy \(F\left( x \right) = {x^2} - 3\sin x + 6 - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\).

d) Vì \(f\left( x \right) = 2x - 3\cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(k\left( x \right).{e^x}\)nên

\(f'\left( x \right) = {\left( {2x - 3\cos x} \right)^\prime } = k\left( x \right).{e^x}\)\( \Leftrightarrow 2 + 3\sin x = k\left( x \right).{e^x}\)\( \Leftrightarrow k\left( x \right) = \frac{{2 + 3\sin x}}{{{e^x}}}\).

Suy ra \(k'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2 + 3\sin x}}{{{e^x}}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( {3\cos x - 2 - 3\sin x} \right){e^x}}}{{{e^{2x}}}} = \frac{{3\cos x - 2 - 3\sin x}}{{{e^x}}}\).

Do đó \(k'\left( x \right).{e^x} = 3\cos x - 2 - 3\sin x\).

Suy ra \(\int {k'\left( x \right).{e^x}dx} = \int {\left( {3\cos x - 2 - 3\sin x} \right)} dx = 3\sin x - 2x + 3\cos x + C\).

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) \(\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {g\left( x \right)} dx\)\( = 5 - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{11}}{2}\).

b) \(\int\limits_1^3 {\left[ {g\left( x \right) + 2x + 3} \right]dx = 10} \)\( \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx + \int\limits_1^3 {\left( {2x + 3} \right)dx = 10} } \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx + \left. {\left( {{x^2} + 3x} \right)} \right|_1^3 = 10} \)\( \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx + 14 = 10} \)\( \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = - 4} \).

c) \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{3}} {{e^{3x}}dx} = \left. {\frac{{{e^{3x}}}}{3}} \right|_0^{\frac{1}{3}} = \frac{e}{3} - \frac{1}{3}\).

Mà \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {{e^{3x}}dx} = F\left( {\frac{1}{3}} \right) - F\left( 0 \right)\) nên \(F\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{e}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{e}{3}\).

d) \(\int\limits_3^5 {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx} = \int\limits_3^5 {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}}dx} = \int\limits_3^5 {\frac{{2\left( {x - 2} \right) + 5}}{{x - 2}}dx} \)\( = \int\limits_3^5 {2dx} + \int\limits_3^5 {\frac{5}{{x - 2}}dx} \)

\( = \left. {\left( {2x + 5\ln \left| {x - 2} \right|} \right)} \right|_3^5\)\( = 10 + 5\ln 3 - 6 = 4 + 5\ln 3\).

Do đó \(a = 4;b = 5;c = 3\). Suy ra \(a + b + c = 12\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

Xét hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta có \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 3\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\; - 3 \le x \le - 1\\2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\; - 1 < x \le 1\\ - 2x + 4\;\;{\rm{khi}}\;1 < x \le 3\end{array} \right.\).

a) \({S_H} = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

b) Với \(x \in \left[ {2;3} \right]\) thì \( - 2x + 4 < 0\) nên \({S_2} = \int\limits_2^3 {\left| { - 2x + 4} \right|dx} = \left| {\int\limits_2^3 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} } \right| = 1\).

c) Ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {x + 3} \right)dx + \int\limits_{ - 1}^1 {2dx} + \int\limits_1^2 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} } \).

d) \({S_H} = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = {S_1} + {S_2} = {S_1} - \int\limits_2^3 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} \).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì \(0 - 2.0 + 2.0 - 7 = - 7 \ne 0\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) không đi qua gốc tọa độ.

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

c) Vì \(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right)\) có dạng \[x - 2y + 2z + D = 0\left( {D \ne - 7} \right)\].

Vì \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 3\) nên

\[\frac{{\left| {2 - 2.\left( { - 3} \right) + 2.4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3\]\[ \Leftrightarrow \left| {16 + D} \right| = 9\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}16 + D = 9\\16 + D = - 9\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = - 7\left( {KTM} \right)\\D = - 25\left( {TM} \right)\end{array} \right.\].

Vậy \[\left( Q \right):x - 2y + 2z - 25 = 0\].

Thay tọa độ điểm \(N\left( {7;0;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right):7 - 2.0 + 2.0 - 25 = - 18 \ne 0\].

Vậy \(\left( Q \right)\) không đi qua điểm \(N\left( {7;0;0} \right)\).

d) \[\left( Q \right):x - 2y + 2z - 25 = 0\].

Suy ra \(b = - 2;c = 2;d = - 25\). Do đó \(2.{\left( { - 2} \right)^2} + 2 + 25 = 35\)là số tự nhiên không chia hết cho 8.

Trả lời: 10

\(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]dx} \)\( = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {2xdx} \)\( = 2 + \left. {{x^2}} \right|_1^3 = 2 + 9 - 1 = 10\).

Trả lời: 9

Ta có \(F'\left( x \right) = a.{e^x} + \left( {ax + 2b} \right){e^x} = \left( {a + ax + 2b} \right){e^x}\).

Mà \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\a + 2b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\).

Do đó \({a^2} + 2{b^2} = 1 + {2.2^2} = 9\).

Trả lời: 9

Gọi \({t_1}\) là thời điểm khí cầu tiếp đất

Theo đề ta có \(\int\limits_0^{{t_1}} {\left( {10t - {t^2}} \right)dt} = 162\)\( \Leftrightarrow \left. {\left( {5{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^{{t_1}} = 162\)

\( \Leftrightarrow 5t_1^2 - \frac{{t_1^3}}{3} = 162\)\( \Leftrightarrow {t_1} = 9\) (do \(v\left( t \right) > 0\)).

Vậy vận tốc khi khí cầu tiếp đất là \(v\left( 9 \right) = 10.9 - {9^2} = 9\left( {{\rm{m/p}}} \right)\).

Trả lời: 29

Xét một thiết diện parabol có chiều cao là \(h\) và độ dài đáy \(2h\) và chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ bên

Parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(\left( P \right):y = a{x^2} + h\left( {a < 0} \right)\).

Có \(B\left( {h;0} \right) \in \left( P \right)\)\( \Leftrightarrow 0 = a{h^2} + h \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}\) (do \(h > 0\)).

Diện tích \(S\) của thiết diện \(S = \int\limits_{ - h}^h {\left( { - \frac{1}{h}{x^2} + h} \right)dx} = \frac{{4{h^2}}}{3}\), kết hợp với chiểu cao \(h = 3 - \frac{2}{5}x\) ta được diện tích thiết diện là \(S\left( x \right) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}\).

Thể tích không gian bên trong của đường hâm mô hình là:

\(V = \int\limits_0^5 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^5 {\frac{4}{3}{{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)}^2}dx} \approx 29\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\) .

Vậy \(V \approx 29\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

Trả lời: 36

Giả sử \(A\left( {m;0;0} \right),B\left( {0;n;0} \right),C\left( {0;0;p} \right)\).

Vì \(M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\n = 6\\p = 9\end{array} \right.\).

Do đó mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có dạng \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 18 = 0\).

Suy ra \(a = 6;b = 3;c = 2\). Do đó \(a.b.c = 18.2 = 36\).

Trả lời: 18

Theo giả thiết ta có \(a > 0,b > 0,c > 0\) và \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}abc\).

Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

Vì \(M \in \left( P \right)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\).

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số ta có \(1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}} \Rightarrow abc \ge 27\).

Do đó \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}abc \ge \frac{9}{2}\). Đăng thức xảy ra khi \(a = b = c = 3\).

Do đó \(a + 2b + 3c = 18\).