Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\] có vectơ pháp tuyến là \[\left( {1; - 2;3} \right)\].

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\)có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\) là

\(2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0\) hay \(2x - y + 3z + 9 = 0\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;3; - 1} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 1;2;0} \right)\).

Có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {2;1;3} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Điểm đối xứng với \(A\) qua trục \(Oy\) có tọa độ là\[\left( { - 2;3; - 4} \right)\].

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng \(\left( Q \right):x + y + 3z = 0,\left( R \right):2x - y + z = 0\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;3} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Vì \(\left( P \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right)\), \(\left( R \right)\) nên \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {4;5; - 3} \right)\).

Ta lại có \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( {2;1; - 3} \right)\) nên  \(\left( P \right):4\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y - 1} \right) - 3\left( {z + 3} \right) = 0\) hay \(4x + 5y - 3z - 22 = 0\).

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\).

b) Ta có \(\int {f'\left( x \right)} dx = \int {\left( {8{x^3} + \sin x} \right)dx} = 2{x^4} - \cos x + {C_1}\).

Vì \(f\left( 0 \right) = 3 \Rightarrow {C_1} = 4\). Do đó \(f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 4\).

c) \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 4} \right)} dx = \frac{{2{x^5}}}{5} - \sin x + 4x + C\).

d) Có \(F\left( x \right) = \frac{{2{x^5}}}{5} - \sin x + 4x + C\) và \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2\).

Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{2{x^5}}}{5} - \sin x + 4x + 2\). Vậy \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1\).

a) \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^\pi {\sin 2xdx} \)\( = \left. {\left( { - \frac{{\cos 2x}}{2}} \right)} \right|_0^\pi \)\( = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\).

b) Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x} dx = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 + F\left( 0 \right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx = } \)\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} } \]\[ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} } \]\[ = 1 - 1 = 0\].

d) \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = 2\int\limits_0^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f\left( x \right)dx} \)\( = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} - 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\sin 2xdx} \)

\( = 2 + 2 = 4\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

Ta có: \({V_1} = \pi \int\limits_0^4 {{{(\sqrt x )}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^4 x \;{\rm{d}}x = 8\pi \); \({V_2} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\frac{1}{2}\sqrt x } \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}x} \;{\rm{d}}x = 2\pi \).

Khi đó, \({V_1} - {V_2} = 6\pi \). Vậy thể tích của vật thể \({\rm{A}}\) là \(6\pi \approx 18,8\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {2;1;3} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0\) ta được \(2.2 - 1 - 2.3 + 19 = 16 \ne 0\).

Do đó \(\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0\) không đi qua điểm \(M\left( {2;1;3} \right)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{P'}}} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_{P'}}} \\1 \ne 19\end{array} \right.\) nên \(\left( P \right)//\left( {P'} \right)\).

c) \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{3} > 6\).

d) Vì \(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng: \(2x - y - 2z + D = 0\left( {D \ne 19} \right)\).

Ta có \(A\left( {0;19;0} \right) \in \left( P \right)\) nên \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 19 + D} \right|}}{3} = 5\)

\( \Leftrightarrow \left| { - 19 + D} \right| = 15\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 19 + D = 15\\ - 19 + D = - 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 34\\D = 4\end{array} \right.\).

TH1: \(\left( Q \right):2x - y - 2z + 34 = 0\)

Có \(d\left( {O,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {34} \right|}}{3} = \frac{{34}}{3}\).

TH2: \(\left( Q \right):2x - y - 2z + 4 = 0\)

Có \(d\left( {O,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| 4 \right|}}{3} = \frac{4}{3}\).

Trả lời: 7

\(\int\limits_1^3 {\left( {x + \frac{2}{x}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^3} = \frac{9}{2} + 2\ln 3 - \frac{1}{2} = 4 + 2\ln 3\).

Suy ra \(a = 4;b = 3\). Do đó \(a + b = 7\).

Trả lời: 7

Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos 2xdx} = \frac{1}{2}\sin 2x + C.\)

Vì \(F\left( \pi \right) = 1\) nên \(\frac{1}{2}\sin 2\pi + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\).

Do đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 1\).

Phương trình \(F\left( x \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 2x + 1 = 1\)\( \Leftrightarrow \sin 2x = 0\)\( \Leftrightarrow 2x = k\pi \)\( \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ {0;3\pi } \right]\) nên \(x = 0;x = \frac{\pi }{2};x = \pi ;x = \frac{{3\pi }}{2};x = 2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{2},x = 3\pi \).

Trả lời: 12,5

Quãng đường anh nhìn thấy chướng ngại vật trước khi hãm phanh là \({S_1} = 2{v_0}\left( {\rm{m}} \right)\).

Vận tốc kể từ khi hãm phanh là \(v\left( t \right) = \int { - 6dt} = - 6t + C\).

Mà \(v\left( 0 \right) = {v_0}\) nên \(v\left( t \right) = - 6t + {v_0}\).

Quãng đường anh đi được trong 3 giây đầu tiên kể từ lúc hãm phanh là

\({S_2} = \int\limits_0^3 {\left( { - 6t + {v_0}} \right)} dt = \left. {\left( { - 3{t^2} + {v_0}t} \right)} \right|_0^3 = - 27 + 3{v_0}\).

Vì \({S_1} + {S_2} = 35,5\) nên \(5{v_0} - 27 = 35,5 \Leftrightarrow {v_0} = 12,5\;{\rm{m/s}}\).

Trả lời: 40

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là m, chiều rộng là n \(\left( {m > n > 0} \right)\).

Ta có diện tích hình chữ nhật là \(s = mn = 200\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho đỉnh của parabol là \(I\left( {0;n} \right)\). Parabol đi qua hai điểm \(A\left( { - \frac{m}{2};0} \right)\) và \(B\left( {\frac{m}{2};0} \right)\).

Do đó parabol có dạng \(y = - \frac{{4n}}{{{m^2}}}{x^2} + n\).

Vậy phần diện tích trồng cỏ là \(S = 2\int\limits_0^{\frac{m}{2}} {\left( { - \frac{{4n}}{{{m^2}}}{x^2} + n} \right)dx} = \frac{{2mn}}{3}\).

Vậy số tiền trồng cỏ cần là: \(\frac{{2mn}}{3}.300000 = \frac{{2.200}}{3}.300000 = 40000000 = 40\) triệu đồng.

Trả lời: 7

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(M,N,P\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2; - 3;1} \right)\) lên các mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\).

Khi đó, \(M\left( {2; - 3;0} \right),N\left( {2;0;1} \right),P\left( {0; - 3;1} \right)\).

\(\overrightarrow {MN} = \left( {0;3;1} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 2;0;1} \right)\).

\(\left( {MNP} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {3; - 2;6} \right)\).

Mặt khác, \(\left( {MNP} \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 3;0} \right)\) nên có phương trình là:

\(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 3} \right) + 6\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \(3x - 2y + 6z - 12 = 0\).

Suy ra \(a = 3;b = - 2;c = 6\). Do đó \(a + b + c = 7\).

Trả lời: 2

Gọi \(C\left( {0;y;0} \right) \in Oy\) với \(y > 0\).

Ta có \(OA = 1,OB = 2,OC = y\) và \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc.

Suy ra \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{3}y\).

Theo đề ta có \(\frac{1}{3}y = 2 \Leftrightarrow y = 6 \Rightarrow C\left( {0;6;0} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{6} + \frac{z}{2} = 1\).

Điểm \(S\left( { - 1;6;m} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{1} + \frac{6}{6} + \frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 2\).