Đáp án đúng là: C

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Đáp án đúng là: D

\(\int {\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\int {\cos 3xd\left( {3x} \right)} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C\).

Đáp án đúng là: A

\(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1 = - \frac{1}{2} - \ln 2\).

Suy ra \(m = 2;n = - 1\). Do đó \(S = 1\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(S = \int\limits_0^m {\left| {2x + 4} \right|dx} = 21\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^m {\left( {2x + 4} \right)dx} = 21\)\( \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^m = 21\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 21 = 0\)

\( \Leftrightarrow m = 3\) (do \(m > 0\)). Suy ra \(m \in \left( {\frac{5}{2};4} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;2;1} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) = 60^\circ \).

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có \(\overrightarrow v = \left( {1;2;3} \right)\) là vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là \(\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\).

b) Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(\frac{{ - 1}}{1} \ne \frac{2}{2} = \frac{3}{3} \Rightarrow A\left( { - 1;2;3} \right) \notin d\).

c) Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 3t\end{array} \right.\).

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 3t\\{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 3t\\{t^2} + 4{t^2} + {\left( {3t - 1} \right)^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{4}{7}\\x = - \frac{4}{7}\\y = - \frac{8}{7}\\z = - \frac{{12}}{7}\end{array} \right.\).

Vậy \(d\) và \(\left( S \right)\) có 2 điểm chung.

d) Vì trục \(Ox\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) nên để mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song \(d\) và trục \(Ox\) thì \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0;3; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mà \(\overrightarrow a = - \overrightarrow n \) nên \(\left( P \right)\) cũng nhận \(\overrightarrow a = \left( {0; - 3;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

Xét các biến cố A: “Chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress”;

Biến cố B: “Chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày”.

Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,3;P\left( B \right) = 0,4;P\left( {B|A} \right) = 0,8\).

Suy ra xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là

\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,3.0,8 = 0,24\).

Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày là

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,24}}{{0,4}} = 0,6\).

Trả lời: 0

Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x\sin 2x}}{{1 + \sin x}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin x{{\cos }^2}x}}{{1 + \sin x}}} dx\)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}}{{1 + \sin x}}} dx\)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x\left( {1 - \sin x} \right)} dx\)

\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2{{\sin }^2}x} dx\)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)} dx\)\( = \left. { - 2\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\left( {x - \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)

\( = 2 - \frac{\pi }{2}\).

Suy ra \(a = 2;b = - 2\). Do đó \(a + b = 0\).

Trả lời: 4

Vì \(M\left( { - 1;a;b} \right) \in d\) nên \(d:\frac{{ - 1 - 1}}{2} = \frac{{a - 2}}{1} = \frac{b}{{ - 2}}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = - 1\\\frac{b}{{ - 2}} = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\).

Suy ra \({2^{ab}} = {2^2} = 4\).

Trả lời: 2

Ta có \(I\left( {0;0;2} \right)\). Do đó \(\left| {\overrightarrow {OI} } \right| = 2\).

Trả lời: 0,8

Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,8.0,25 = 0,2\).

Có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2}}{{0,25}} = 0,8\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Ta có \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(\left( {0;2} \right);\left( {2,5;1,5} \right);\left( { - 2,5;1,5} \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 2\\{2,5^2}a + 2,5b + c = 1,5\\{\left( { - 2,5} \right)^2}a - 2,5b + c = 1,5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{{25}}\\b = 0\\c = 2\end{array} \right.\). Suy ra \(\left( P \right):y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\).

Suy ra diện tích cổng sắt là

\(S = 2\int\limits_0^{2,5} {\left| { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right|dx} = 2\int\limits_0^{2,5} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)dx} = \left. {2\left( { - \frac{2}{{75}}{x^3} + 2x} \right)} \right|_0^{2,5} = \frac{{55}}{6}\) (m²).

Ông Bình cần phải trả số tiền là \(\frac{{55}}{6}.1200000 = 11000000\) (đồng).

Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của Modem wifi quán cafe X trong không gian là mặt cầu tâm \(C\left( {1; - 1;1} \right)\), bán kính \(R = 1,5\).

Ta có \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2,25\).

Ta có khoảng cách \(CA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \approx 3,16 > 1,5\).

Vì \(CA > R\) nên điểm A nằm ngoài mặt cầu.

Vậy bạn A đã không bắt được tín hiệu phát sóng từ Modem wifi quán cafe X.

Ta có khoảng cách \(CB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} = 3 > 1,5\).

Vì \(CB > R\) nên điểm B nằm ngoài mặt cầu.

Vậy bạn B đã không bắt được tín hiệu phát sóng từ Modem wifi quán cafe X.

Gọi biến cố A: “Lấy được 1 viên bi màu trắng từ hộp thứ II”;

Biến cố \({A_1}\): “Lấy được 2 viên bi màu trắng ở hộp I”;

Biến cố \({A_2}\): “Lấy được 1 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu đen ở hộp I”;

Biến cố \({A_3}\): “Lấy được 2 viên bi màu đen ở hộp I”.

Biến cố B: “Viên bi màu trắng đó thuộc hộp I”.

Cần tính \(P\left( {B|A} \right)\).

Theo đề ta có \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{9}\); \(P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_5^1.C_5^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{5}{9}\); \(P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{9}\).

Ta có \(P\left( {A|{A_1}} \right) = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3};P\left( {A|{A_2}} \right) = \frac{7}{{12}};P\left( {A|{A_3}} \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\).

Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {A|{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right).P\left( {A|{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right).P\left( {A|{A_3}} \right)\)

\( = \frac{2}{9}.\frac{2}{3} + \frac{5}{9}.\frac{7}{{12}} + \frac{2}{9}.\frac{1}{2} = \frac{7}{{12}}\).

Suy ra \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {{A_2}} \right).P\left( {A|{A_2}} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{5}{9}.\frac{7}{{12}}}}{{\frac{7}{{12}}}} = \frac{5}{9}\).