Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {2\,;\,1;\,2} \right)\) bán kính bằng \(3\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\).

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \({M_1}\left( {1;\, - 1;\,1} \right),\)có 1 vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \({M_2}\left( { - 1;\,0;\,1} \right),\)có 1 vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;\,2;\,1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \({d_1}\) và song song với đường thẳng \({d_2}\) suy ra \(\left( P \right)\)đi qua điểm\({M_1}\left( {1;\, - 1;\,1} \right),\)có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {4;\,0;\,4} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(4\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y + 1} \right) + 4\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z - 2 = 0\).

Dễ thấy điểm \(Q\left( {0;\,1;\,2} \right) \in \left( P \right).\)

Đáp án đúng là: C

Ta có: mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):2x - z + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {2;0; - 1} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( {1;3;2} \right)\)

Đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 2;0} \right)\) song song với \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) nên nhận \(\left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( {1;3;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của đường thẳng là: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Khi B đã xảy ra, nghĩa là lần gieo đầu tiên ra số lẻ (1, 3 hoặc 5).

Do đó, không gian mẫu mới là

\[B = {\rm{ }}\{ \left( {1,1} \right);\left( {1,2} \right);\left( {1,3} \right);\left( {1,4} \right);\left( {1,5} \right);\left( {1,6} \right);\left( {3,1} \right);\left( {3,2} \right);\left( {3,3} \right);\left( {3,4} \right);\left( {3,5} \right);\left( {3,6} \right);\]

\[\left( {5,1} \right);\left( {5,2} \right);\left( {5,3} \right);\left( {5,4} \right);\left( {5,5} \right);\left( {5,6} \right)\} \]

Khi đó, biến cố \(A\) khi biết \(B\) đã xảy ra là

\[A|B{\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {\left( {1,1} \right);\left( {1,3} \right);\left( {1,5} \right);\left( {3,1} \right);\left( {3,3} \right);\left( {3,5} \right);\left( {5,1} \right);\left( {5,3} \right);\left( {5,5} \right)} \right\}\].

Đáp án đúng là: A

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {\left. A \right|\bar B} \right).\)

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) \(Q\left( t \right) = \int {Q'\left( t \right)dt} = \int {\left( {4{t^3} - 72{t^2} + 288t} \right)dt} = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2} + C\).

Vì \(Q\left( 2 \right) = 500\) nên \({2^4} - {24.2^3} + {144.2^2} + C = 500\)\( \Leftrightarrow C = 100\).

Do đó \(Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2} + 100\).

b) Ta có \(Q\left( 5 \right) = {5^4} - {24.5^3} + {144.5^2} + 100 = 1325\).

c) Có \(Q'\left( t \right) = 4{t^3} - 72{t^2} + 288t = 0 \Leftrightarrow t = 0;t = 6;t = 12\).

Có \(Q\left( 0 \right) = 100;Q\left( 6 \right) = {6^4} - {24.6^3} + {144.6^2} + 100 = 1396\);

\(Q\left( {12} \right) = {12^4} - {24.12^3} + {144.12^2} + 100 = 100\).

Do đó lượng khách tham quan lớn nhất là \(1396\) người khi \(t = 6\) giờ.

d) Ta có \(Q''\left( t \right) = 12{t^2} - 144t + 288\); \(Q''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 6 \pm 2\sqrt 3 \).

Có \(Q'\left( 0 \right) = 0;Q'\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right) = 4.{\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right)^3} - 72.{\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right)^2} + 288.\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right) \approx 333\);

\(Q'\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right) = 4.{\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right)^3} - 72.{\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right)^2} + 288.\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right) \approx - 333\);

\(Q'\left( {13} \right) = {4.13^3} - {72.13^2} + 288.13 \approx 364\).

Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm \(t = 13\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) \({I_1} = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{x^2} + 3} \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {x\left( {{x^2} + 3} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + 3x} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{7}{4}\).

\({I_2} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {x\left( {{x^2} + 3} \right)} \right|dx} \)\( = - \int\limits_{ - 1}^0 {x\left( {{x^2} + 3} \right)dx} \)\( = - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} + 3x} \right)dx} \)\( = \left. { - \left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 = \frac{7}{4}\).

b) \(I = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \frac{7}{2}\).

c) \(J = \int\limits_0^m {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^m {\left| {x\left( {{x^2} + 3} \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^m {x\left( {{x^2} + 3} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^m {\left( {{x^3} + 3x} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^m = \frac{{{m^4}}}{4} + \frac{{3{m^2}}}{2}\).

Mà \(J = 4\) nên \(\frac{{{m^4}}}{4} + \frac{{3{m^2}}}{2} = 4\)\( \Leftrightarrow {m^4} + 6{m^2} - 16 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \sqrt 2 \).

d) \(\int\limits_0^1 {x\left( {{x^2} + 3 - a\sqrt x } \right)dx = } \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + 3x - a{x^{\frac{3}{2}}}} \right)dx = } \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{2}{5}a{x^{\frac{5}{2}}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{7}{4} - \frac{2}{5}a = 0\)\( \Leftrightarrow a = \frac{{35}}{8}\).

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 67 = 0\) có tâm là \(I\left( {1;2; - 3} \right)\).

b) \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \left( { - 67} \right)} = 9\).

c) Có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.2 + \left( { - 3} \right) - 13} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{3} = 6 < R\). Suy ra \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\).

d) Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = - 4 + 7t\\{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 67 = 0\end{array} \right.\)

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2\\ z=-4+7t\\ {\left(1+t\right)}^2+2^2+{\left(-4+7t\right)}^2-2\left(1+t\right)-4.2+6\left(-4+7t\right)-67=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2\\ z=-4+7t\\ 50t^2-14t-80=0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2\\ z=-4+7t\\ t\approx -1,13\vee t\approx 1,41\end{array}\right.$

Suy ra \(\Delta \)và \(\left( S \right)\) cắt nhau tại hai điểm.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

\(A\) là biến cố “Học sinh đó là nữ”.

\(B\) là biến cố “Học sinh đó tham gia câu lạc bộ tiếng Anh”.

Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,55;P\left( {B|A} \right) = 0,2;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,15\).

a) \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,55 = 0,45\).

b) \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,15\);

\(P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 0,8\).

c) \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,55.0,2 + 0,45.0,15 = 0,1775\).

d) \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,45.0,15}}{{0,1775}} = \frac{{27}}{{71}}\).

Trả lời: 4

Ta có \(F\left( x \right) = \int {{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C} \).

Theo giả thiết \(F\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{e^0} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{2}\).

Khi đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} - \frac{1}{2} = 4\).

Trả lời: 240

Cốc hình trụ có bán kính R = 6 cm, chiều cao h = 10 cm.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(x\left( { - 6 \le x \le 6} \right)\) cắt vật thể theo theo thiết diện có diện tích là \(S\left( x \right)\).

Ta có \(S\left( x \right) = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}B{C^2}\tan \alpha = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right)\frac{h}{R} = \frac{{5\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}\).

Vậy thể tích lượng nước trong cốc là \(V = \int\limits_{ - 6}^6 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 6}^6 {\frac{{5\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}dx} = 240\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

Trả lời: 5

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;0\,;1} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {2\,;2\,;1} \right)\)\( \Rightarrow IA = 3\). Kẻ một tiếp tuyến \(AB\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\), với \(B\) là tiếp điểm.

Ta có tam giác \(ABI\) vuông tại \(B\) nên ta có \(AB = \sqrt {I{A^2} - I{B^2}} = \sqrt 5 \).

Gọi \(H\left( {x\,;y\,;z} \right)\) là chân đường cao kẻ từ \(B\) của tam giác \(ABI\).

Ta có: \(I{B^2} = IH.IA \Rightarrow IH = \frac{{I{B^2}}}{{IA}} = \frac{4}{3} \Rightarrow IH = \frac{4}{9}.IA\).

Từ suy ra được \(\overrightarrow {IH} = \frac{4}{9}\overrightarrow {IA} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 0 = \frac{4}{9}.2\\y - 0 = \frac{4}{9}.2\\z - 1 = \frac{4}{9}.1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{9}\\y = \frac{8}{9}\\z = \frac{{13}}{9}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{8}{9}\,;\frac{8}{9}\,;\frac{{13}}{9}} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với đường thẳng \(IA\) nên nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {2\,;2\,;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Hơn nữa mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(H\).

Vậy \(\left( \alpha \right)\) có phương trình: \(2.\left( {x - \frac{8}{9}} \right) + 2.\left( {y - \frac{8}{9}} \right) + 1.\left( {z - \frac{{13}}{9}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 5 = 0\).

Suy ra \(a + b + c = 5\).

Trả lời: 6

Vì \(I \in d\) nên \(I\left( {t;1 + t;2 + t} \right)\).

Theo đề ta có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2t - 2 - t - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {t - 2 - 2t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \left| {t - 6} \right| = \left| { - t - 4} \right|\)\( \Leftrightarrow t = 1\). Suy ra \(I\left( {1;2;3} \right)\). Do đó \(P = 6\).

Trả lời: 0,24

Từ giả thiết ta có \(P\left( B \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,6 = 0,4;\,\,P\left( {A|B} \right) = 0,3;\,\,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,15\).

Theo công thức xác suất từng phần, ta có :

\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6.0,3 + 0,4.0,15 = 0,24\).