Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 5}}{8} = \frac{{y - 9}}{6} = \frac{{z - 12}}{3}\) có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {8;\;6\;;\;3} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Do mặt cầu có đường kính bằng 10 nên bán kính bằng 5.

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( { - 6; - 9;15} \right)\) và đường kính bằng 10 có phương trình là:\({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 25\) .

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt chắn là: \(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} = 1\).

Đáp án đúng là: B

Công thức tính xác suất của biến cố \(A\) khi biết biến cố \(B\) đã xảy ra\(\left( {P\left( B \right) > 0} \right)\) là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Đáp án đúng là: B

\(P\left( B \right) = 0,2.0,7 + 0,8.0,6 = 0,62\).

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) \(f'\left( x \right) = \cos x + 1\).

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\)\( \Rightarrow 0 \le \cos x + 1 \le 2\) \( \Rightarrow 0 \le f'\left( x \right) \le 2\).

b) \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} = f\left( b \right) - f\left( a \right)\).

Vì \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(a < b \Rightarrow f\left( a \right) < f\left( b \right) \Rightarrow f\left( b \right) - f\left( a \right) > 0\).

c) Đổi cận: \(t = 0 \Rightarrow x = 0;t = \frac{\pi }{3} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\).

Do đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {\sin 2x + 2x} \right)dx} \).

d) \(S = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{2\pi } {\left| {\sin x + x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{2\pi } {\left( {\sin x + x} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - \cos x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{2\pi }\)\( = - 1 + 2{\pi ^2} + \frac{1}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{18}}\)\( = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{35{\pi ^2}}}{{18}}\).

Suy ra \(a + b = 35 + 18 = 53\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;1;0} \right)\) và vuông góc với \(d\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) - z = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - z - 5 = 0\).

Suy ra \(b = 1;c = - 1;d = - 5\). Do đó \(b + c + d = - 5\).

c) Gọi H là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=-t\\ 2x+y-z-5=0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=-t\\ 2+4t-2+t+t-5=0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{3}\\ y=-\frac{7}{6}\\ z=-\frac{5}{6}\\ t=\frac{5}{6}\end{array}\right.$

Suy ra $H\left(\frac{8}{3};-\frac{7}{6};-\frac{5}{6}\right)$

Vì \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(d\) nên \(H\) là trung điểm của \(M'M\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2.\frac{8}{3} - 2\\{y_{M'}} = 2.\left( { - \frac{7}{6}} \right) - 1\\{z_{M'}} = 2.\left( { - \frac{5}{6}} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = \frac{{10}}{3}\\{y_{M'}} = - \frac{{10}}{3}\\{z_{M'}} = - \frac{{10}}{6}\end{array} \right.\). Vậy \(M'\left( {\frac{{10}}{3}; - \frac{{10}}{3}; - \frac{{10}}{6}} \right)\).

d) Giả sử \(\Delta \) cắt đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) tại \(K\). Suy ra \(K\left( {1 + 2t; - 2 + t; - t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MK} = \left( {2t - 1;t - 3; - t} \right)\).

Vì \(\Delta \bot d\) nên \(\overrightarrow {MK} .\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2t - 1} \right).2 + \left( {t - 3} \right).1 + t = 0\)\( \Leftrightarrow t = \frac{5}{6}\).

Suy ra \(\overrightarrow {MK} = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{{13}}{6}; - \frac{5}{6}} \right) = \frac{2}{3}\left( {1; - \frac{{13}}{4}; - \frac{5}{4}} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {2;1;0} \right)\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; - \frac{{13}}{4}; - \frac{5}{4}} \right)\) có phương trình là

\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - \frac{{13}}{4}}} = \frac{z}{{ - \frac{5}{4}}}\). Suy ra \(a + b = - \frac{9}{2}\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \(IM = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}} = 3\).

b) Phương trình mặt cầu tâm \(I\) và đi qua điểm \(M\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).

c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 2\left( {x + 1} \right) + 2y - \left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 2y - z = 0\).

d) Gọi \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên trục \(Ox\). Khi đó \(M\left( {1;0;0} \right)\).

Suy ra \(IM = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} \).

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(MB = \sqrt 3 \).

Suy ra \(R = \sqrt {I{M^2} + M{B^2}} = \sqrt {16} \).

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(P\left( {A|D} \right) = \frac{{P\left( {A \cap D} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{0,78}}{{0,83}} \approx 0,94\).

b) \(P\left( {D|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap D} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,78}}{{0,82}} \approx 0,95\).

c) \(P\left( {A|\overline D } \right) = \frac{{P\left( {A \cap \overline D } \right)}}{{P\left( {\overline D } \right)}} = \frac{{P\left( A \right) - P\left( {A \cap D} \right)}}{{1 - P\left( D \right)}} = \frac{{0,82 - 0,78}}{{1 - 0,83}} \approx 0,24\).

d) \(P\left( {D|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {D \cap \overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( D \right) - P\left( {D \cap A} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0,83 - 0,78}}{{1 - 0,82}} \approx 0,28\).

Trả lời: 4

Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \cos x,\,y = x\) và hai đường thẳng \(x = 1,\,x = 3\). Khi đó diện tích hình phẳng được tính theo công thức

\(S = \int\limits_1^3 {\left| {\cos x - x} \right|{\rm{d}}x} \). Vì \(x \ge \cos x,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\) nên ta có:

\(S = \int\limits_1^3 {\left( {x - \cos x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \sin x} \right)} \right|_1^3 = 4 - \sin 3 + \sin 1 \approx 4\).

Trả lời: −1

Ta có \(\int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} + 3}}} = \int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{d\left( {{e^x} + 3} \right)}}{{{e^x} + 3}}} = \left. {\ln \left| {{e^x} + 3} \right|} \right|_0^{\ln 2}\)\( = \ln 5 - \ln 4\)\( = \ln 5 - 2\ln 2\).

Suy ra \(a = - 2;b = 1\). Do đó \(a + b = - 1\).

Trả lời: 9,8

Gọi parabol \(y = f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\). Parabol \(y = f\left( x \right)\) nhận \(Oy\) làm trục đối xứng nên ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\). Lại có đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) và điểm \(\left( {2;0} \right)\) nên \(a = \frac{1}{4}\) và \(c = - 1\).

Vậy parabol \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^2} - 1\).

Tương tự, ta cũng có parabol \(y = g\left( x \right) = - \frac{1}{4}{x^2} + 2\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là:

\(\frac{1}{4}{x^2} - 1 = - \frac{1}{4}{x^2} + 2 \Leftrightarrow x = \sqrt 6 \) hoặc \(x = - \sqrt 6 \).

Khi đó, diện tích của logo là:

\[\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left[ {\left( { - \frac{1}{4}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]dx} \\\,\,\, = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left( {3 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx = } \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } = 4\sqrt 6 \approx 9,8\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\end{array}\].

Trả lời: 15

Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (5;\,10;\, - 3)\), mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0\,;0\,;1)\).

Từ đó, góc \(\alpha \) giữa đường bay (một phần của đường thẳng \(AB\)) và sân bay (một phần của mặt phẳng\((Oxy))\) có \(\sin \alpha = \frac{3}{{\sqrt {134} }}\).

Suy ra \(\alpha \approx 15^\circ \).

Trả lời: 23,9

Đặt \(O\) là vị trí giao nhau giữa hai bức tường và nền nhà.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có \(M\left( {18;17;21} \right)\).

Vì khoảng cách từ tâm quả bóng đến bức tường bằng nhau nên tâm của quả bóng có tọa độ là \(I\left( {r;r;r} \right)\).

Do \(M\) nằm trên bề mặt bóng nên khoảng cách từ tâm I đến M chính bằng r.

Do đó ta có \(\sqrt {{{\left( {18 - r} \right)}^2} + {{\left( {17 - r} \right)}^2} + {{\left( {21 - r} \right)}^2}} = r\)\( \Leftrightarrow 3{r^2} - 112r + 1054 = {r^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{r^2} - 112r + 1054 = 0\)\( \Leftrightarrow r \approx 44,03\) hoặc \(r \approx 11,96\).

Vì quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên chọn \(r \approx 11,96\).

Do đó đường kính của bóng rổ khoảng 23,9 cm.

Trả lời: 13

Xét các biến cố:

A: “Bạn An lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên”;

B: “Bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội”.

Khi đó, \(P\left( A \right) = \frac{{20}}{{36}} = \frac{5}{9};P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\).

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn \(35\) bộ câu hỏi, trong đó có \(16\) câu hỏi về chủ đề xã hội, suy ra \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{16}}{{35}}\).

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn \(35\) bộ câu hỏi, trong đó có \(15\) câu hỏi về chủ đề xã hội, suy ra \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{15}}{{35}}\).

Xác suất bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội là

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = \frac{5}{9}.\frac{{16}}{{35}} + \frac{4}{9}.\frac{{15}}{{35}} = \frac{4}{9}\).

Suy ra \(a + b = 13\).