Đề thi cuối kì 1 Toán 8 sưu tầm (Đề 3)

${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4= {\left(\mathrm{x}-2\right)}^2$

Vậy đa thức ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4$ được phân tích thành nhân tử là ${\left(\mathrm{x}-2\right)}^2$

Giá trị phân thức $\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)}{{\mathrm{x}}^2-9}$ xác định khi và chỉ khi ${\mathrm{x}}^2-9\ne 0\Rightarrow {\mathrm{x}}^2\ne 9\Rightarrow \mathrm{x}\ne \pm 3$

Độ dài đáy nhỏ hình thang là: 3 – 0,4 = 2,6 (cm)

Độ dài đường trung bình của hình thang là: (3 + 2,6) : 2 = 2,8 (cm)

Phân thức đối của phân thức $\frac{2\mathrm{x}-1}{5-\mathrm{x}}$ là $\frac{-\left(2\mathrm{x}-1\right)}{5-\mathrm{x}}=\frac{1-2\mathrm{x}}{5-\mathrm{x}}$.

Vì D là điểm đối xứng với C qua B nên B là trung điểm của DC.

=> DB = BC

Xét $\mathrm{\Delta ADC}$ có: DB = BC = BA

=> AB là đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta ABC}$ và $\mathrm{AB}=\frac{1}{2}\mathrm{DC}$

=> $\mathrm{\Delta ADC}$ vuông tại A.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ADC ta có:

${\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{DC}}^2$

$\Rightarrow {\mathrm{AD}}^2={\mathrm{DC}}^2-{\mathrm{AC}}^2={20}^2-{12}^2=256$

=> AD = 16cm

$\mathrm{\Delta ABC}$ có cạnh đáy BC = 6cm và đường cao AH = 4cm.

$$\begin{gathered} {\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AH}\cdot \mathrm{BC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6 \\ =12\left({\mathrm{cm}}^2\right) \end{gathered}$$

a) Tính EM.

Xét tam giác ABC ta có:

M là trung điểm của BC

E là trung điểm của AC

=> EM là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow \mathrm{EM}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}=6\mathrm{cm}$

b) Vẽ tia Bx song song với AC sao cho Bx cắt EM tại D. Chứng minh rằng tứ giác ABDE là hình vuông.

Vì EM là đường trung bình của $\mathrm{\Delta ABC}$ nên EM // AB.

=> ED // AB

Ta lại có: $\left.\begin{array}{l}\mathrm{D}\in \mathrm{Bx}\\ \mathrm{Bx}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{AE}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{BD}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{AE}$

Xét tứ giác ABDE ta có:

ED // AB

BD // AE

=> Tứ giác ABDE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}\mathrm{AB}=4\mathrm{cm}\\ \mathrm{AC}=8\mathrm{cm}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{AB}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}\\ \mathrm{AE}=\mathrm{EC}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}\end{array}\right\} \\ \Rightarrow \mathrm{AE}=\mathrm{AB} \end{gathered}$$

=> Hình bình hành ABDE là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

Mà $\widehat{\mathrm{BAE}}={90}^{\circ }$ nên hình thoi ABDE là hình vuông (dấu hiệu nhận biết)

c) Gọi I là giao điểm của BE và AD. Gọi K là giao điểm của BE với AM. Chứng minh rằng: Tứ giác BDCE là hình bình hành và DC = 6IK.

Vì ABDE là hình vuông nên:

+ BD // AE => BD // EC

+ $\left.\begin{array}{l}\mathrm{BD}=\mathrm{AE}\\ \mathrm{AE}=\mathrm{EC}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{BD}=\mathrm{EC}$

Xét tứ giác BDCE ta có:

BD // EC

BD = EC

Suy ra, tứ giác BDEC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

=> BE = CD (tính chất)

Theo đề bài, ta có: ABDE là hình vuông có I là giao điểm hai đường chéo

$\Rightarrow \mathrm{IA}=\mathrm{IB}=\mathrm{ID}=\mathrm{IE}=\frac{1}{2}\mathrm{BE}$

Xét $\mathrm{\Delta ADE}$ có:

EI là đường trung tuyến ứng với AD

AM là đường trung tuyến ứng với DE

Mà K là giao điểm của AM và EI. Suy ra. K là trọng tâm $\mathrm{\Delta ADE}$.

 $\text{⇒IK=}\frac{1}{3}\mathrm{IE}=\frac{1}{6}\mathrm{BE}=\frac{1}{6}\mathrm{DC}$

=> DC = 6IK (đpcm)

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất hình chữ nhật lần lượt là a và b (a, b > 0; đơn vị: m)

 => a + b = 30 (m)

Diện tích của mảnh đấy hình chữ nhật là $\mathrm{S}=\mathrm{ab}\left({\mathrm{m}}^2\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và b ta được:

$\mathrm{a}+\mathrm{b}\ge 2\sqrt{\mathrm{ab}}\Rightarrow \mathrm{ab}\le \frac{{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}^2}{4}$$\Rightarrow \mathrm{ab}\le 225$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 15m

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật bằng 225cm khi a = b = 15m.