Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Gia Quất (Hà Nội) Tháng 4/2026 có đáp án
9 câu hỏi
Điểm khảo sát môn Toán của \(200\)học sinh khối 9 được thống kê trong bảng sau:
Nhóm | [0; 2) | [2; 4) | [4; 6) | [6; 8) | [8; 10) |
Tần số (n) | 4 | 20 | 48 | ? | 56 |
a) Tìm số học sinh đạt điểm trong nhóm [6; 8).
b) Tìm tần số tương đối của nhóm [8; 10).
| 1đ |
a) Số học sinh đạt điểm trong nhóm [6;8) là: \(200 - (4 + 20 + 48 + 56) = 72\)(học sinh) |
0,5 |
- Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {8;10} \right)\) là: \(f = \frac{n}{N}.100\% = \frac{{56}}{{200}}.100\% = 28\% .\) |
0,5 |
2) | 0,5đ |
Không gian mẫu của phép thử là \[\Omega = \left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}...;{\rm{ 19;}}\,\,20} \right\}\]. Không gian mẫu có 20 phần tử. Vì các thẻ trong hộp là cùng loại nên các kết quả của phép thử là đồng khả năng. + Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A là 3; 6; 9; 12 |
0,25 |
Xác suất của biến cố \[A\]là \(P\left( A \right) = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5}\) | 0,25
|
(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{9\sqrt x - 10}}{{4 - x}}\) với \(x\, \ge \,0,\,\,\,x\, \ne \,4,\,\,\,x\, \ne \,9.\)
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 64.\)
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\)
3) Tìm các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = B:A\) nhận giá trị nguyên.
1 |
| 0,25đ |
Thay \(x = 64\) (TMĐK) vào biểu thức \[A\] ta được \(A = \frac{{\sqrt {64} - 2}}{{\sqrt {64} - 3}} = \frac{6}{5}\) Vậy khi \(x = 64\) thì \(A = \frac{6}{5}\) |
0,25 | |
2 |
| 0,75đ |
\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{9\sqrt x - 10}}{{4 - x}}\,\,(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9)\) \(B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{9\sqrt x - 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\) \(B = \frac{{x + 2\sqrt x + 3\sqrt x - 6 - 9\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\) \(B = \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\) |
0,25
0,25 | |
| \(B = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\) \(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\)
|
0,25 |
3 |
| 0,5đ |
\(P = B:A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}:\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x + 2}}\) Vì \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x - 3 < \sqrt x + 2\) suy ra \(P < 1\) \(\left( 1 \right)\) Vì \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 2 \ge 2\) suy ra \(\frac{1}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 5}}{2}\) hay \(1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x + 2}} \ge 1 + \frac{{ - 5}}{2}\) Vậy \(P \ge \frac{{ - 3}}{2}\)\(\left( 2 \right)\) Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{ - 3}}{2} \le P < 1\) mà \(P \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \left\{ { - 1;\,0} \right\}\) |
0,25 | |
Nếu \(P = 0\) thì \(\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = 0\) \( \Rightarrow x = 9\)(loại). Nếu \(P = - 1\) thì \(\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = - 1\)\( \Rightarrow \sqrt x - 3 = - \sqrt x - 2\) \( \Rightarrow 2\sqrt x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}(tm)\) Vậy \(x = \frac{1}{4}\) là giá trị cần tìm. |
0,25 |
Gọi giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện lần lượt là \(x,y\,\)(nghìn đồng) với \(0 < x < 850;\;0 < y < 850.\) | 0,25 |
Giá của một chiếc bàn là sau khi giảm giá 10% là: \(x - 0,1x = 0,9x\)(nghìn đồng) Giá của một chiếc quạt điện sau khi giảm giá 20% là: \(y - 0,2y = 0,8y\)(nghìn đồng) Vì giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện có tổng số tiền \(850\,\,000\)đồng nên ta có phương trình: \(x + y = 850\,\,\,\left( 1 \right)\) |
0,25 |
Vì bác Minh đã trả ít hơn \(125\,\,000\) đồng khi mua hai sản phẩm trên nên ta có phương trình: \(0,9x + 0,8y = 850 - 125 = 725\) (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 850}\\{0,9x + 0,8y = 725}\end{array}} \right.\] |
0,25 |
Giải hệ phương trình, tìm được \((x;y) = (450;400)\) Vậy giá niêm yết một chiếc bàn là là: \[450\](nghìn đồng) giá niêm yết một chiếc quạt điện là: \[400\](nghìn đồng) |
0,25 |
Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ \[A\] đến \[B\] và ngay sau đó chuyển động ngược dòng nước từ \[B\] về \[A\]. Quãng đường \[AB\] dài \[48\,{\rm{km}}\], tổng thời gian cả đi và về của ca nô là \[5\] giờ; vận tốc của dòng nước là \[4\,km/h\,.\] Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc riêng của ca nô không thay đổi.
Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là \[x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\] ĐK: \[x > 4\]. | 0,25 |
Khi đó vận tốc ca nô chạy xuôi dòng từ \[A\] đến\[B\]là: \[x + 4\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\]. Vận tốc ca nô chạy ngược dòng từ \[B\] đến\[A\]là: \[x - 4\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\]. Thời gian ca nô ca nô chạy xuôi dòng từ\[A\] đến\[B\]là: \[\frac{{48}}{{x + 4}}\] giờ. Thời gian ca nô chạy ngược dòng từ \[B\] đến\[A\]là: \[\frac{{48}}{{x - 4}}\] giờ. |
0,25 |
Vì thời gian cả đi lẫn về hết \[5\] giờ nên theo bài ra ta có phương trình: \[\frac{{48}}{{x + 4}} + \frac{{48}}{{x - 4}} = 5\] | 0,25 |
\[5{x^2} - 96x - 80 = 0\] Tìm được\[\,{x_1} = 20\] (tmđk); \[{x_2} = - \frac{4}{5}\] (loại) Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là \[20\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\]. |
0,25 |
Tính được\(\Delta \)= 8 – 4m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2: \(\begin{array}{l}\Delta > 0\\8 - 4m > 0\\m < 2\end{array}\) Với \(m < 2\)phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Theo định lý Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}.{x_2} = m - 1}\end{array}} \right.\) Ta có: \[x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 12\] \(\begin{array}{l}(x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2) - 3{x_1}{x_2} = 12\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 12\\4 - 3(m - 1) = 12\\m = \frac{{ - 5}}{3}\,(tm)\end{array}\) Vậy \(m = \frac{{ - 5}}{3}\) |
0,25
0,25 |
Để đựng nước ngọt có gas, nhà sản xuất đã thiết kế chiếc lon hình trụ tròn dáng thấp, đáy to có chiều cao \[7,8\;cm\] và đường kính đáy \[7\,cm\] được làm bằng nhôm.
a) Tính diện tích nhôm để làm một vỏ lon nước.
b) Để cải tiến mẫu mã, nhà thiết kế đã làm theo mẫu mới với dáng thon dài chiều cao của lon \[12,5\;cm\]và bán kính đáy \[2,8\;cm.\] Kiểu dáng nào sử dụng nguyên liệu nhiều hơn? (coi các mép gấp là không đáng kể).Bán kính đáy của vỏ lon hình trụ là: \[7:2 = 3,5\;(cm)\] Diện tích nhôm để làm vỏ lon nước là: \[{S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .3,5.7,8 + 2\pi {.3,5^2} = 79,1\pi \;\left( {c{m^2}} \right)\] | 0,25
0,25 |
Vỏ lon mẫu mới hình trụ có chiều cao \[12,5\;cm\]và bán kính đáy \[2,8\;cm\] nên diện tích nhôm để làm vỏ lon nước là: \[{S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .2,8.12,5 + 2\pi {.2,8^2} = 85,68\pi \;\left( {c{m^2}} \right)\] Vì \[85,68\pi \; > 79,1\pi \] nên mẫu mới sử dụng nguyên liệu nhiều hơn. |
0,5
|
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\), lấy điểm \(I\) nằm giữa \(A\) và \(O\), qua điểm \(I\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt đường tròn tại \(C\) và \(D\). Lấy điểm \[E\] thuộc cung nhỏ \[BC\] (\[E\] khác \[B\] và \[C\]). Hai dây \[AE\] và \[DC\] cắt nhau tại \[K\].
a) Chứng minh: 4 điểm \[K,E,B,I\] cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \[P\] là giao điểm của hai tia \[BE\] và \[DC\], \[Q\] là giao điểm của \[AP\] và \[BK\]. Chứng minh \(AP \bot BK\) tại \[Q\] và \[PQ.PA = PE.PB\].
c) Kẻ \(PF \bot EQ\) tại \[F\]. Gọi \[J\] là trung điểm \[PK\], \[JO\] cắt \[EQ\] tại \[M\]. Chứng minh \[JE\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] và \[KM//IF\].
Vì \(\Delta KIB\) vuông tại I nên ba điểm K, I, B thuộc đường tròn đường kính KB (1)
Suy ra \[\widehat {KEB} = 90^\circ \]
Chỉ ra được: \[\widehat {PEA} = \widehat {PQB} = 90^\circ \]
Xét \[\Delta PEA\] và \[\Delta PQB\] có
\[\widehat {QPB} = \widehat {EPA}\]
\[\widehat {PEA} = \widehat {PQB} = 90^\circ \,\,(cmt)\]
Suy ra,
Do đó \[\frac{{PE}}{{PQ}} = \frac{{PA}}{{PB}}\] hay \[PA.PQ = PE.PB\] (đpcm).
Suy ra cân tại J
Nên \[\widehat {JPE} = \widehat {JEP}\]
Vì \[\Delta OEB\] cân tại O (\[OE = OB = R\]) nên \[\widehat {OBE} = \widehat {OEB}\]
Xét \[\Delta PIB\] vuông tại I có \[\widehat {IBP} + \widehat {IPB} = 90^\circ \]
Hay \[\widehat {JPE} + \widehat {OBE} = 90^\circ \] suy ra \[\widehat {JEO} = 90^\circ \]
Vạy JE là tiếp tuyến của (O)
Chứng minh tứ giác QHEK là hình bình hành
Suy ra K, M, H thẳng hàng
Chứng minh nên \[\frac{{PI}}{{PF}} = \frac{{PA}}{{PE}}\]
Chứng minh nên \[\frac{{PK}}{{PH}} = \frac{{PA}}{{PE}}\]
Suy ra \[\frac{{PH}}{{PF}} = \frac{{PK}}{{PI}}\]
Áp định lí Thalès đảo trong \[\Delta PIF\] suy ra \[KH\,{\rm{//}}\,IF\] hay \[KM\,{\rm{//}}\,IF\](đpcm)
(0,5 điểm)
Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất \(10\,000\) quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất \(40\) quả bóng pickleball trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là \(100\) nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là \(160\) nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là \(x\) (máy) Điều kiện \(x > 0\). Trong một giờ, số quả bóng pickleball sản xuất được là \(40x\) (quả bóng) Như vậy, số giờ để sản xuất \(100\,\,000\) quả bóng là \(\frac{{10\,000}}{{40x}} = \frac{{250}}{x}\) (giờ) Mỗi giờ phải trả \(160\) nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là \(100\) nghìn đồng nên chi phí sản xuất là \(100\,\,000x + \frac{{250}}{x}.160\,\,000 = 100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}\) (đồng) Chứng minh BĐT Cauchy: Cho hai số \(a,b \ge 0\), ta có \(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\\a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\a + b \ge 2\sqrt {ab} \end{array}\) Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\) |
0,25
|
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(100\,\,000x\) và \(\frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}\), ta được: \(100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x} \ge 2\sqrt {100\,\,000x.\frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}} \) \(100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x} \ge 40\,\,000\,\,000\) Dấu "=" xảy ra khi \(100\,\,000x = \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}\) \(\begin{array}{l}{x^2} = \frac{{40\,\,000\,\,000\,}}{{100\,\,000}}\\{x^2} = 400\end{array}\) Suy ra \(x = 20\) (TM) Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là \(20\) máy để chi phí sản xuất là thấp nhất. |
0,25 |
