Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Trường THCS Hải Hòa (Nghệ An) có đáp án
8 câu hỏi
(1,5 điểm).
Thời gian của các bạn trong lớp 9A hàng ngày đi từ nhà đến trường được cho bởi bảng sau:
Thời gian (phút) | [5; 8) | [8; 11) | [11; 14) | [14; 17) |
Số học sinh | 9 | 16 | 13 | 2 |
a) 0,5đ
| +) Tần số của nhóm: \(\left[ {8;11} \right)\) là: 16 | 0,25 |
+) Tần số tương đối của nhóm: \(\left[ {11;14} \right)\) là: \(\frac{{13}}{{9 + 16 + 13 + 2}}.100\% = 32,5\% \) | 0,25 |
Tấm bìa \(A\)
| Tấm bìa \(B\)
|
b) 0,75đ
| +) Không gian mẫu của phép thử là: \(\Omega = \left\{ \begin{array}{l}\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;1} \right);\left( {3;2} \right);\left( {3;3} \right);\\\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right)\end{array} \right\}\) +) Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = 15\) | 0,25 |
+) Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(M\)là: \(\left( {1;1} \right)\); \(\left( {1;2} \right);\,\left( {2;1} \right)\); \(\left( {1;3} \right);\,\,\left( {3;1} \right)\); \(\left( {4;1} \right);\,\,\left( {2;2} \right)\). | 0,25 | |
+) Xác suất của biến cố M: \(P\left( M \right) = \frac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{7}{{15}}\) | 0,25 |
(2,0 điểm).
a) Tính:\(A = \sqrt {12} + \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} + 1\).
b) Rút gọn biểu thức: \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{x - 3}}{{1 - x}}\)với \(x \ge 0,x \ne 1\)
c) Tìm a để đường thẳng \(y = (2a + 1)x - 3\)(với\(a \ne - \frac{1}{2}\)) cắt đường parabol \(y = - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ bằng \[ - 1.\]a) 0,5đ
| \(A = \sqrt {12} + \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} + 1 = 2\sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 (\sqrt 3 - 1)}}{{(\sqrt 3 - 1)}} + 1\) | 0,25 |
\( = 2\sqrt 3 - \sqrt 3 + 1 = \sqrt 3 + 1\) | 0,25 | |
b) 1,0đ
| Với \(x \ge 0,x \ne 1\)ta có: \[P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = \frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x + 1} \right) - 2\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right) + x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\] | 0,25 |
\[ = \frac{{x + \sqrt x - 2x + 2\sqrt x + x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\] | 0,25 | |
\[ = \frac{{3\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\] | 0,25 | |
\[ = \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\] | 0,25 | |
c) 0,5đ
| Thay \[x = - 1\] vào \(y = - 2{x^2}\) ta có: \[y = - 2.{\left( { - 1} \right)^2} = - 2\] | 0,25 |
Thay \[x = - 1\] và \[y = - 2\] vào ham số: \(y = (2a + 1)x - 3\) ta được:\[ - 2 = \left( {2a + 1} \right) \cdot \left( { - \,1} \right)--3\] Suy ra \[a\; = - 1\] (thỏa mãn điều kiện \(a \ne - \frac{1}{2}\)) Vậy \[a\; = - 1\] là giá trị cần tìm. |
0,25 |
(2,5 điểm).
Xung đột chiến tranh giữa Mỹ và Iran dẫn đến tuyến vận chuyển qua eo biển Hormuz – nơi trung chuyển khoảng 20% dầu toàn cầu – bị gián đoạn, khiến thị trường thiếu xăng dầu. Thời gian gần đây giá xăng dầu liên tục tăng đột biết ảnh hưởng lớn đến chi phí đối với các phương tiện cơ giới. Tháng 2 năm 2026, tập đoàn ô tô VinFast sản xuất được 100 xe ô tô. Nhận thấy nhu cầu thị trường tăng, tháng 3 tập đoàn đã tăng số lượng sản xuất ô tô lên x% so với tháng 2, tháng 4 tập đoàn tiếp tục tăng số lượng sản xuất ô tô lên 2x% so với tháng 3. Biết rằng số lượng ô tô sản xuất trong tháng 4 là 132 xe. Tính x.
a) 0,75đ
| Số xe tập đoàn ô tô VinFast sản xuất được trong tháng 3 là: 100 + 100.x% = 100 + x (xe) | 0,25 |
Số xe tập đoàn ô tô VinFast sản xuất được trong tháng 4 là: (100 + x) + (100 + x).2x% = 0,02x 2 + 3x + 100 (xe) | 0,25 | |
Theo bài ra ta có: 0,02x 2 + 3x + 100 = 132 Suy ra: 0,02x 2 + 3x – 32 = 0 Giải phương trình ta được: x1 = 10 (thỏa mãn); x2 = - 160 (loại) Vậy: x = 10. | 0,25 |
Góp phần hưởng ứng FESTIVAL du lịch “Cửa Lò – Bốn mùa biển gọi”, giáo dục học sinh hiểu biết, tự hào và quảng bá về quê hương Cửa Lò. Liên đội trường THCS Hải Hòa dự định trồng một vườn hoa cúc biển. Biết rằng nếu trồng thêm 3 luống, mỗi luống bớt đi 2 cây thì trồng thêm được 34 cây. Nếu bớt đi 5 luống, mỗi luống trồng thêm 5 cây thì trồng ít hơn dự định 50 cây. Hỏi lúc đầu liên đội trường THCS Hải Hòa dự định trồng bao nhiêu cây hoa cúc biển ?
b) 0,75đ | Gọi \(x\) là số luống và \(y\)là số cây mỗi luống ban đầu trường dự định trồng \[\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\] Số cây ban đầu trường dự định trồng là: \(xy\) ( cây) Theo bài ra ta có hệ : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) - 34 = xy\\\left( {x - 5} \right)\left( {y + 5} \right) + 50 = xy\end{array} \right.\) | 0,25 |
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3y = 40\\x - y = - 5\end{array} \right.\) | 0,25 | |
Giải hệ ta có : \(x = 25,y = 30\,\,\,\left( {t/m} \right)\). Vậy số cây ban đầu trường dự định trồng là: 25. 30 = 750 cây | 0,25 |
Cho phương trình: \({x^2} - 3x + 1 = 0\) có hai nghiệm\({x_1},{x_2}\) . Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức: \(P = \frac{{5 + 26{x_1} + 19{x_2} + \sqrt[3]{{20{x_2} - 5}}}}{{\sqrt {57{x_1} + 16} + 2{x_2}}}\)
c) 1,0đ | Ta có: \(\Delta = {( - 3)^2} - 4.1.1 = 5 > 0\) nên PT có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\) Theo định lí Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\, > 0\\{x_1}.{x_2} = 1\,\, > 0\end{array} \right.\) Suy ra: \({x_1} = 3 - {x_1};\,\,{x_2}\, = 3 - {x_2}\,v\`a \,\,{x_1};\,{x_2}\, > 0\) | 0,25 |
Vì x1 là nghiệm của PT nên \({x_1}^2 - 3{x_1} + 1 = 0\,\,Suy\,ra:\,\,9x_1^2 + 9 = 27{x_1}\) Ta có:\(57{x_1} + 16 = 30{x_1} + 16 + \,9x_1^2 + 9 = {(3{x_1} + 5)^2}\) Suy ra: \(\sqrt {57{x_1} + 16} + 2{x_2} = \sqrt {{{(3{x_1} + 5)}^2}} + 2{x_2} = 3{x_1} + 5 + 2{x_2}\) | 0,25 | |
Vì x2 là nghiệm của PT nên \({x_2}^2 - 3{x_2} + 1 = 0\,\,\) Suy ra: \({x_2}({x_2}^2 - 3{x_2} + 1) = 6({x_2}^2 - 3{x_2} + 1) = 0\,\,\) Hay: \({x_2}^3 - 3{x^2}_2 + {x_2} = 6{x_2}^2 - 18{x_2} + 6 = 0\,\,\) Suy ra: \({x_2}^3 + 3{x^2}_2 - 17{x_2} + 6 = 0\,\,\) Ta có: \(20{x_2} - 5 = 20{x_2} - 5 + {x_2}^3 + 3{x^2}_2 - 17{x_2} + 6 = {x_2}^3 + 3{x^2}_2 + 3{x_2} + 1\, = {({x_2} + 1)^3}\) Suy ra: \(\sqrt[3]{{20{x_2} - 5}} = \sqrt[3]{{{{({x_2} + 1)}^3}}} = {x_2} + 1\) | 0,25 | |
Ta có: \(\begin{array}{l}P = \frac{{5 + 26{x_1} + 19{x_2} + \sqrt[3]{{20{x_2} - 5}}}}{{\sqrt {57{x_1} + 16} + 2{x_2}}} = \frac{{5 + 26{x_1} + 19{x_2} + {x_2} + 1}}{{3{x_1} + 5 + 2{x_2}}}\\ = \frac{{26{x_1} + 20(3 - {x_1}) + 6}}{{3{x_1} + 5 + 2(3 - {x_1})}} = \frac{{6{x_1} + 66}}{{{x_1} + 11}} = \frac{{6({x_1} + 11)}}{{{x_1} + 11}} = 6\end{array}\) Vậy P = 6. | 0,25 |
(3,0 điểm).
Cho đường tròn tâm O và điểm \(A\)nằm ngoài đường tròn, từ \(A\)kẻ các tiếp tuyến \(AM,AN\)với đương tròn \(\left( {M,N} \right.\)là các tiếp điểm). Lấy điểm K thuộc cung nhỏ \(MN,\)kẻ tiếp tuyến với đường tròn \(\left( O \right)\)tại K cắt \(AM,AN\)theo thứ tự tại \(E,F\). Gọi giao điểm của \(OE,OF\)với \(MN\)theo thứ tự là P và \(Q\). Chứng minh rằng:
a) Tứ giác \(AMON\)là tứ giác nội tiếp.
b) \(\widehat {EOF} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\) và \(ME.OF = OE.MP\).
c) \(OK,EQ,FP\)đồng quy.
a) 1,5 đ Hình vẽ |
|
Chứng minh rằng : tứ giác \(AMON\)là tứ giác nội tiếp Vì \(AM,AN\)là 2 tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat {AMO} = \widehat {ANO} = 90^\circ \)
| |
Suy ra: \(\Delta AMO\) và \(\Delta ANO\) nội tiếp đường tròn đường kính AO. Suy ra tứ giác\(AMON\)là tứ giác nội tiếp. | |
b) 1,0 đ
| Chứng minh rằng: \(\widehat {EOF} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\) Vì \(EM,EK\)là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \(OE\)là phân giác của \(\widehat {KOM}\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\widehat {EOK} = \frac{1}{2}\widehat {KOM}\) \(FN,FK\)là tiếp tuyến của (O) nên \[OF\]là phân giác của \(\widehat {KON}\) tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)nên \(\widehat {FOK} = \frac{1}{2}\widehat {KON}\). Ta có \(\widehat {MON} = \widehat {KOM} + \widehat {KON}\) \[\frac{1}{2}\widehat {MON} = \frac{1}{2}\widehat {KOM} + \frac{1}{2}\widehat {KON}\] \[\frac{1}{2}\widehat {MON} = \widehat {EOK} + \widehat {FOK}\, = \widehat {EOF}\] |
Chứng minh rằng: \(ME.OF = OE.MP\) Vì \(AM,AN\)là 2 tiếp tuyến của (O) ta c/m được : \(AO \bot MN\) Suy ra \(\widehat {EMN} = \widehat {AOM} = 90^\circ - \widehat {OMN}\) mà \(\widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\) nên \[\widehat {EMN} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\] Mà \(\widehat {EOF} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)nên \(\widehat {EMN} = \widehat {EOF}\)hay \(\widehat {EMP} = \widehat {EOF}\) Vì \(EM,EK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(EO\)là phân giác của \(\widehat {KEM}\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\widehat {MEO} = \widehat {KEO}\) hay \(\widehat {MEP} = \widehat {FEO}\) Xét \(\Delta MEP\)và \(\Delta OEF\)có: \[\widehat {EMP} = \widehat {EOF}\,\,{\rm{(cmt)}}\,;\,\,\widehat {MEP} = \widehat {FEO}\,\,{\rm{(cmt)}}\] Suy ra (g.g) Suy ra \(\frac{{ME}}{{OE}} = \frac{{MP}}{{OF}}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) Suy ra \(ME.OF = OE.MP\) (đpcm). | |
c) 0,5 đ
| Chứng minh rằng \(OK,EQ,FP\)đồng quy Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. Vẽ đường tròn (O) đi qua 3 điểm A, B, C. Gọi \[D'\] là giao điểm của AD và (O). Khi đó tứ giác \[ABCD'\] nội tiếp đường tròn (O). Suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {AD'C} = 180^\circ \) Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (gt) Suy ra \(\widehat {ADC} = \widehat {AD'C}\) Suy ra D trùng \[D'\] hay \(D \in (O)\) Mà tứ giác \[ABCD'\] nội tiếp đường tròn (O). Suy ra: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh tương tự: Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc thì tứ giác đó nội tiếp. Áp dụng bổ đề trên ta có: Chứng minh tứ giác \(EMOQ\)nội tiếp. Suy ra \(\widehat {EMO} + \widehat {EQO} = 180^\circ \)mà \[\widehat {EMO} = 90^\circ \,\,{\rm{suy}}\,\,{\rm{ra}}\,\,\widehat {EQO} = 90^\circ \,\,{\rm{hay}}\,\,EQ \bot FO\]. Vì \(EM,EK\)là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \(EM = EK\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Vì do đó \(\frac{{KE}}{{OE}} = \frac{{EP}}{{EF}}\) Xét \(\Delta KEP\)và \(\Delta OEF\)có \(\widehat {FEO}\,\,{\rm{chung}},\,\,\frac{{KE}}{{OE}} = \frac{{EP}}{{EF}}\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\) Do đó Suy ra \(\widehat {EKP} = \widehat {EOF}\)(hai góc tương ứng) Tứ giác \(KFOP\)có \(\widehat {EKP} = \widehat {EOF}\,\,{\rm{(cmt)}}\)mà hai góc này cùng bù với \(\widehat {PKF}\). Suy ra tứ giác \(KFOP\)là tứ giác nội tiếp Suy ra \(\widehat {FKO} = \widehat {FPO}\)(cùng chắn cung \(OF)\) Mà \(\widehat {FKO} = 90^\circ \,\,(KF\)là tiếp tuyến của (O)) suy ra \[\widehat {FPO} = 90^\circ \] hay \[FP \bot EO\]. Tam giác \(OEF\)có:\(OK \bot EF\)(EF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại K) \(EQ \bot FO\,\,{\rm{(cmt)}},\,\,FP \bot EO\,\,{\rm{(cmt)}}\) Suy ra \(OK,\,\,EQ,\,\,FP\)lần lượt là các đường cao của \(\Delta OEF\,\,\) Do đó \(OK,\,\,EQ,\,\,FP\) đồng quy (đpcm) |
(1,0 điểm).
a) Một cái ly thủy tinh như hình vẽ 1, phần phía trên có hình dạng là mặt xung quanh của hình nón (không có đáy) với chiều cao 7 cm, đườngtrònđáycóbánkính4cm. Biếtrằngtronglyđangchứanước vớimứcnướcđang cáchmiệnglylà3cm.Tính thể tích lượng nước trong ly(kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai; lấy 3,bỏ qua bề dày của ly).
b) Cửa hầm lò khai thác than có dạng một Parabol, khoảng cách từ điểm cao nhất của cửa đến mặt đất là 4 mét, khoảng cách giữa hai chân cửa là 4 mét. Người ta muốn gia cố cho cửa lò bằng một khung thép hình chữ nhật sao cho hai đỉnh dưới của khung thép chạm đất, hai đỉnh trên của khung thép chống vào mái hầm (hình vẽ 2 minh họa). Tìm kích thước của khung thép sao cho diện tích của hình chữ nhật tạo bởi khung thép lớn nhất.
a) 0,5 đ
|
Nếucắtcáilibởimặtphẳngchứatrục của cái li ta được như hình vẽ. Tacó: ÁpdụngđịnhlíThalès,tacó: \(\frac{{FE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{DC}}\) suy ra: \(FE = \frac{{AC.DE}}{{DC}} = \frac{{4.(7 - 3)}}{7} = \frac{{16}}{7}\) Thể tích rượu có trong ly: \(V = \frac{1}{3}\pi E{F^2}.DE = \frac{1}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{{16}}{7}} \right)^2} \cdot 4 = \frac{{1024}}{{147}}\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right) \approx 21,87c{m^3}\) |
|
b) 0,5 đ
|
Đặt hệ tọa độ như hình vẽ, coi khung sắt là hình chữ nhật ABCD. Khi đó (P) đi qua các điểm \[O\left( {0\,;\,\,0} \right)\,;\,\,\left( { - 2\,;\,\, - 4} \right)\,;\,\,\left( {2\,;\,\, - 4} \right)\] nên parabol (P) có phương trình \[y = - {x^2}.\] Giả sử \[C \in \left( P \right)\] suy ra\[\left( {0 < x < 2} \right)\]. Khi đó \(BC = 2x\); suy ra . | 0,25 |
Ta có: Suy ra \[{S^2} \le \frac{{1024}}{{27}}\] hay \[S \le \frac{{32\sqrt 3 }}{9}\]. Dấu xảy ra khi \[{x^2} = \frac{{4 - {x^2}}}{2}\]suy ra\[x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]. Vậy kích thước của khung thép có chiều rộng là \[\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]; chiều dài là \[\frac{8}{3}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]. | 0,25 |
