Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 THCS Mai Dịch (Hà Nội) tháng 5/2026 có đáp án

a) Tần số tương đối của nhóm \([6;8)\) là

\(100\%  - \left( {2\%  + 10\%  + 24\%  + 28\% } \right) = 36\% \)

b) Biết số học sinh trong nhóm \[\left[ {2;4} \right)\] là \[5\] em . Tính số học sinh lớp 9A đạt điểm giỏi (Điểm từ 8 trở lên được tính đạt điểm giỏi)

Tổng số học sinh lớp 9A là

\(5.100:10 = 50\) (học sinh)

Số học sinh lớp 9A đạt điểm giỏi là

\(28.50:100 = 14\) (học sinh)

Số bi màu vàng là \[120 - 56 - 36 = 28\] viên.

Xác suất của biến cố "Viên bi được chọn là viên bi màu vàng"là

\(P = \frac{{28}}{{120}} = \frac{7}{{30}}\)

1) Thay \[x = 0,25\] (TMĐK) vào biểu thức \[A\], ta được:

                \[A = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt {0,25}  - 3}}{{\sqrt {0,25}  - 1}} = \frac{{0,5 - 3}}{{0,5 - 1}} = \frac{{ - 2,5}}{{ - 0,5}} = 5\]

Vậy \[A = 5\] khi \[x = 0,25\]

2) với \[x \ge 0;x \ne 1\]

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{2}{{x - 1}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{1.\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[B = \frac{{x - \sqrt x  - \sqrt x  - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[B = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[B = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\]

Vậy \[B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\] với \[x \ge 0;x \ne 1\].

3) \[P = A.B = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\]

Ta có: \[\left| P \right| + P = 0\]

\[\left| P \right| =  - P\]

\[ \Rightarrow P \le 0\]

\[ \Rightarrow \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}} \le 0\]

Vì \[x \ge 0;x \ne 1\] \[ \Rightarrow \sqrt x  + 1 > 0\]

\[ \Rightarrow \sqrt x  - 3 \le 0\]

\[\sqrt x  \le 3\]

\[x \le 9\]

Kết hợp điều kiện: \[x \ge 0;x \ne 1\]

\[ \Rightarrow 0 \le x \le 9,x \ne 1\]

Vì \[x\] nhận giá trị nguyên lớn nhất \[ \Rightarrow x = 9\]

Vậy \[x = 9\] thì \[\left| P \right| + P = 0\].

Một cửa hàng văn phòng phẩm bán vở với giá \[10\,000\] đồng/quyển. Nếu khách hàng mua từ quyển thứ 11 trở đi, những quyển đó sẽ được giảm giá \[20\% \]. Bạn Nam có \[320\,000\] đồng. Hỏi Nam có thể mua tối đa bao nhiêu quyển vở?

Gọi số quyển vở tối đa Nam có thể mua là \[x\] (quyển, \[x \in {\mathbb{N}^ * }\])

Giá tiền \[10\] quyển sách đầu tiên bạn Nam mua là: \[10\,000.10 = 100\,000\] (đồng)

Số quyển sách Nam mua mà được giảm giá \[20\% \] là: \[x - 10\] (quyển)

Giá tiền Nam phải trả cho những quyển sách được giảm giá \[20\% \] là:

\[\left( {x - 10} \right).10\,000.\left( {100\%  - 20\% } \right) = 8\,000\left( {x - 10} \right) = 8\,000x - 80\,000\] (đồng)

Vì bạn Nam có \[320\,000\] đồng, nên ta có bất phương trình:
                \[8\,000x - 80\,000 + 100\,000 \le 320\,000\]

                \[8\,000x \le 300\,000\]

                \[x \le 37,5\]

                Mà \[x \in {\mathbb{N}^ * }\], \[x\] lớn nhất

                \[ \Rightarrow x = 37\](Thỏa mãn)

Vậy Nam có thể mua tối đa \[37\] quyển vở .

Một nhóm bạn trẻ cùng tham gia khởi nghiệp và dự định góp vốn là \[180\] triệu đồng, số tiền mỗi người góp là như nhau. Nếu có thêm \[3\] người tham gia cùng thì số tiền mỗi người góp giảm đi \[3\] triệu đồng. Hỏi ban đầu nhóm bạn trẻ đó có bao nhiêu người?

Gọi số người ban đầu trong nhóm bạn trẻ cùng tham gia khởi nghiệp và dự định góp vốn là \[x\](người, \[x \in {\mathbb{N}^ * }\])

Số tiền mỗi người góp lúc đầu là: \[\frac{{180}}{x}\] (triệu đồng)

Số người tham gia lúc sau là: \[x + 3\](người)

Số tiền mỗi người góp lúc đầu là: \[\frac{{180}}{{x + 3}}\] (triệu đồng)

Vì số tiền mỗi người góp giảm đi \[3\] triệu đồng nên ta có phương trình:

                \[\frac{{180}}{x} - \frac{{180}}{{x + 3}} = 3\]

                \[\frac{{180\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{180x}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{3x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\]

                \[\frac{{180x + 540 - 180x}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{3{x^2} + 9x}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\]

                \[180x + 540 - 180x = 3{x^2} + 9x\]

                \[3{x^2} + 9x - 180x - 540 + 180x = 0\]

                \[3{x^2} + 9x - 540 = 0\]

                \[{x^2} + 3x - 180 = 0\]

                \[\left( {x + 15} \right)\left( {x - 12} \right) = 0\]

*TH1: \[x + 15 = 0 \Rightarrow x =  - 15\](Loại)

*TH2: \[x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12\](Thỏa mãn)

Vậy ban đầu nhóm bạn trẻ đó có \[12\] người.

Cho phương trình \[{x^2} - mx - 4 = 0\] (1). Biết rằng phương trình (1) có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn hệ thức \[{x_1} - 3{x_1}{x_2} + {x_2} = 5\]. Tính giá trị của biểu thức \[T = {x_1}{x_2}^2 - 4{x_1}\].

Ta có: \[\Delta  = {\left( { - m} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = {m^2} + 16 > 0\] với mọi \[m\]

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] với mọi \[m\]

Theo định lý Viete, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} =  - 4\end{array} \right.\]

Ta có: \[{x_1} - 3{x_1}{x_2} + {x_2} = 5\]

           \[\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 3{x_1}{x_2} = 5\]

           \[m - 3.\left( { - 4} \right) = 5\]

         \[m + 12 = 5\]

         \[m =  - 7\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 7\\{x_1}{x_2} =  - 4\end{array} \right.\]

Ta có: \[T = {x_1}{x_2}^2 - 4{x_1}\]

             \[T = {x_1}{x_2}^2 + \left( {{x_1}{x_2}} \right){x_1}\]

           \[T = {x_1}{x_2}^2 + {x_1}^2{x_2}\]

           \[T = {x_1}{x_2}\left( {{x_2} + {x_1}} \right)\]

           \[T =  - 4.\left( { - 7} \right) = 28\]

Vậy \[T = 28\].

Đường kính vành mũ ngoài cùng là \({d_{{\rm{ngo\`a i }}}} = 32\;{\rm{cm}}\).

Bán kính vành ngoài là \(R = 32:2 = 16\;{\rm{cm}}\).

Độ rộng của vành mũ là \(10\;\,{\rm{cm}}\).

Bán kính đáy của phần hình nón là \(r = 16 - 10 = 6\;\,{\rm{cm}}\).

Đường sinh của phần hình nón là .\(l = 30\;\,{\rm{cm}}\).

a) Diện tích xung quanh phần hình nón của mũ là

\({S_{xq}} = \pi  \cdot r \cdot l \approx 3,14 \cdot 6 \cdot 30 = 565,2\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

b) Tổng diện tích vải cần làm mũ bao gồm: Diện tích xung quanh hình nón và diện tích phần vành mũ (hình vành khăn).

Diện tích phần vành mũ là

\({S_{{\rm{v\`a nh }}}} = \pi  \cdot {R^2} - \pi  \cdot {r^2} = \pi  \cdot \left( {{{16}^2} - {6^2}} \right)\)

\({S_{{\rm{v\`a nh }}}} \approx 3,14 \cdot (256 - 36) = 3,14 \cdot 220 = 690,8\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Tổng diện tích vải là

\(S = {S_{xq}} + {S_{{\rm{v\`a nh }}}} = 565,2 + 690,8 = 1256\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

a) Chứng minh bốn điểm \(K,E,B,I\) cùng thuộc một đường tròn.

Vì \(CD \bot AB\) tại \(I\) nên \(\widehat {CIB} = \widehat {CIA} = 90^\circ \) hay \(\widehat {KIB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta KIB\) vuông tại \(I\) nên ba điểm \(K,I,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(KB\). (1)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {KEB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta KEB\) vuông tại \(E\) nên ba điểm \(K,E,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(KB\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(K,E,B,I\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(KB\).

b) Chứng minh điểm \(Q\) thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)

Vì \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) và \(P,E,B\) thẳng hàng nên \(AE \bot BP\)

Vì \(CD \bot AB\) \(\left( {P \in CD} \right)\) nên \(PI \bot AB\)

Xét \(\Delta APB\) có: \(AE \bot BP\); \(PI \bot AB\)

\(AE\) cắt \(PI\) tại \(K\)

Suy ra \(K\) là trực tâm của \(\Delta APB\).

Suy ra \(BK \bot AP\)

Mà \(BK\) cắt \(AP\) tại \(Q\)

\( \Rightarrow \)\(BQ \bot AP\) tại \(Q\)

Suy ra \(\widehat {AQB} = 90^\circ \)

Suy ra điểm \(Q\) thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

Chứng minh \(IK\) là tia phân giác của góc \(\widehat {EIQ}\).

Xét đường tròn đường kính \(KB\) có: \(\widehat {KIE} = \widehat {KBE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ) hay \(\widehat {KIE} = \widehat {QBE}\)

Vì \(\widehat {KIA} = 90^\circ \) nên \(\Delta KIA\) vuông tại \(I\) nên ba điểm \(K,I,A\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(KA\). (3)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AQB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {AQK} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta AQK\) vuông tại \(Q\) nên ba điểm \(A,Q,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(KA\). (4)

Từ (3) và (4) suy ra bốn điểm \(A,Q,K,I\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(KA\).

Suy ra \(\widehat {QAK} = \widehat {QIK}\) hay \(\widehat {QAE} = \widehat {QIK}\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(\widehat {QAE} = \widehat {QBE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung )

Ta có: \(\widehat {KIE} = \widehat {QBE}\); \(\widehat {QAE} = \widehat {QIK}\); \(\widehat {QAE} = \widehat {QBE}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {QIK} = \widehat {KIE}\)

Suy ra \(IK\) là tia phân giác của góc \(\widehat {EIQ}\) (điều phải chứng minh)

c) Chứng minh khi dây \(CD\) thay đổi nhưng vẫn vuông góc với đường kính \(AB\) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác \(TQE\) luôn đi qua một điểm cố định.

Xét \(\Delta KEP\) vuông tại \(E\) có: \(ET\) là đường trung tuyến (do \(T\) là trung điểm của \(PK\))

\( \Rightarrow ET = PT = TK = \frac{{PK}}{2}\)

Khi đó \(\Delta TPE\) cân tại \(T\) \( \Rightarrow \widehat {TPE} = \widehat {TEP}\)

Xét \(\Delta OEB\) có: \(OE = OB = R\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OEB\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow \widehat {OEB} = \widehat {OBE}\)

Xét \(\Delta PIB\) vuông tại \(I\) có: \(\widehat {IPB} + \widehat {IBP} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {TPE} = \widehat {TEP}\); \(\widehat {OEB} = \widehat {OBE}\) (cmt)

Suy ra \[\widehat {TEP} + \widehat {OEB} = 90^\circ \]

\( \Rightarrow \widehat {OET} = 90^\circ \)

*Chứng minh tương tự được \(\widehat {OQT} = 90^\circ \)

Vì \(\widehat {OET} = 90^\circ \) nên \(\Delta OET\) vuông tại \(E\) suy ra ba điểm \(O,E,T\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OT\). (5)

Vì \(\widehat {OQT} = 90^\circ \) nên \(\Delta OQT\) vuông tại \(Q\) suy ra ba điểm \(O,Q,T\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OT\). (6)

Từ (5) và (6) suy ra bốn điểm \(O,Q,T,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OT\).

Hay tứ giác \(TQOE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OT\).

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác \(TQE\) luôn đi qua điểm \(O\).

Vậy khi dây \(CD\) thay đổi nhưng vẫn vuông góc với đường kính \(AB\) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác \(TQE\) luôn đi qua một điểm cố định.

Tổng số kiện hàng \[240\] kiện hàng hình lập phương cạnh \[1{\rm{ }}m\]. Do đó, thể tích của khối hình chữ nhật là \(V = {240.1^3} = 240\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\)

Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của khối hình chữ nhật lần lượt là \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] (với  \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\]là các số nguyên dương tính theo đơn vị mét, vì các kiện hàng có cạnh \[1{\rm{ }}m\] và phải xếp khít nhau)

Thể tích khối hàng là \(V = a.b.c = 240\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\)

Chu vi mặt đáy cần tối thiểu hóa là \(P = 2 \cdot \left( {a + b} \right)\)

Để chu vi đáy \(P = 2(a + b)\) nhỏ nhất thì tổng \((a + b)\) phải nhỏ nhất. Theo bất đẳng thức tích và tổng, với một tích \(a \cdot b\) cố định, tổng \((a + b)\) nhỏ nhất khi \(a\) và \(b\) gần nhau nhất (lý tưởng nhất là \(a \approx b \approx \sqrt {a \cdot b} \) ).

Ta biết \(a \cdot b = \frac{{240}}{c}\). Vì \(c\) là số nguyên dương (chiều cao tính bằng số lớp kiện hàng), ta sẽ xét các giá trị của \(c\) là ước của \[240\] sao cho diện tích đáy \(S = a \cdot b = \frac{{240}}{c}\) cho phép chọn được \[b\] gần nhau nhất.

Xét bảng:

 Chu vi mặt đáy nhỏ nhất có thể đạt được là \(4\,{\rm{m}}\).