Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 THCS Gia Quất - Ngọc Thụy (Hà Nội) tháng 4/2026 có đáp án

a) Số học sinh đạt điểm trong nhóm [6;8) là:

\(200 - (4 + 20 + 48 + 56) = 72\)(học sinh)

b)  Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {8;10} \right)\) là: \(f = \frac{n}{N}.100\%  = \frac{{56}}{{200}}.100\%  = 28\% .\)

Không gian mẫu của phép thử là \[\Omega  = \left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}...;{\rm{ 19;}}\,\,20} \right\}\]. Không gian mẫu có 20 phần tử.

Vì các thẻ trong hộp là cùng loại nên các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A  là  3 ; 6 ; 9 ; 12 

Xác suất của biến cố \[A\] là \(P\left( A \right) = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5}\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 64.\)

Thay \(x = 64\) (TMĐK) vào biểu thức \[A\] ta được: \(A = \frac{{\sqrt {64}  - 2}}{{\sqrt {64}  - 3}} = \frac{6}{5}\)

Vậy khi \(x = 64\) thì \(A = \frac{6}{5}\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{9\sqrt x  - 10}}{{4 - x}}\,\,(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9)\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{3\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{9\sqrt x  - 10}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 2\sqrt x  + 3\sqrt x  - 6 - 9\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)\( = \frac{{x - 4\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\), \(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9\,\) (đpcm)

3) Tìm các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = B:A\) nhận giá trị nguyên.

Xét \(P = B:A\) , \(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9\,\)

\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}:\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}}\)

Vì \(x \ge 0\)\( \Rightarrow \)\(\sqrt x  \ge 0\) nên \[\sqrt x  + 2 > 0\], mà \( - 5 < 0\) suy ra \[\frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} < 0\]

\( \Rightarrow \)\(1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} < 1\)

 \(P < 1\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(x \ge 0\) \( \Rightarrow \)\(\sqrt x  \ge 0\) nên \(\sqrt x  + 2 \ge 2\) suy ra \(\frac{1}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} \ge \frac{{ - 5}}{2}\)

\(1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} \ge 1 + \frac{{ - 5}}{2}\)

\(1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}\)

Vậy \(P \ge \frac{{ - 3}}{2}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{ - 3}}{2} \le P < 1\) mà \(P \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \left\{ { - 1\,;\,\;0} \right\}\)

Nếu \(P = 0\) thì \(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} = 0\) \( \Rightarrow x = 9\)(loại).

Nếu \(P =  - 1\) thì \(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} =  - 1\)

\( \Rightarrow \sqrt x  - 3 =  - \sqrt x  - 2\)

\(2\sqrt x  = 1\)

\(\sqrt x  = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = \frac{1}{4}\) là giá trị cần tìm.

Gọi giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện lần lượt là \(x,y\,\)(nghìn đồng) với \(0 < x < 850;\;0 < y < 850.\)

Vì giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện có tổng số tiền \(850\;000\)đồng nên ta có phương trình: \(x + y = 850\,\,\) \(\left( 1 \right)\)

Giá của một chiếc bàn là sau khi giảm giá 10% là: \(x - 10\% x = x - 0,1x = 0,9x\)(nghìn đồng)

Giá của một chiếc quạt điện sau khi giảm giá 20% là: \(y - 20\% y = y - 0,2y = 0,8y\)(nghìn đồng)

Vì bác Minh đã trả ít hơn \(125\;000\) đồng khi mua hai sản phẩm trên nên ta có phương trình: \(0,9x + 0,8y = 850 - 125 = 725\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 850}\\{0,9x + 0,8y = 725}\end{array}} \right.\]

Giải hệ phương trình, tìm được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 450\\y = 400\end{array} \right.\)

Vậy giá niêm yết một chiếc bàn là là: \[450\](nghìn đồng).

Giá niêm yết một chiếc quạt điện là: \[400\](nghìn đồng).

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là \[x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\] (\[x > 4\]).

Vận tốc ca nô chạy xuôi dòng từ \[A\] đến \[B\] là: \[x + 4\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].

Vận tốc ca nô chạy ngược dòng từ \[B\] đến \[A\] là: \[x - 4\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].

Thời gian ca nô ca nô chạy xuôi dòng từ\[A\] đến \[B\] là: \[\frac{{48}}{{x + 4}}\] giờ.

Thời gian ca nô chạy ngược dòng từ \[B\] đến\[A\] là: \[\frac{{48}}{{x - 4}}\] giờ.

Vì thời gian cả đi lẫn về hết \[5\] giờ nên theo bài ra ta có phương trình:

\[\frac{{48}}{{x + 4}} + \frac{{48}}{{x - 4}} = 5\]

\[\frac{{48\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{48\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{5\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\]

\[\frac{{96x}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{5{x^2} - 80}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\]

\[5{x^2} - 96x - 80 = 0\]

Tìm được\[\,{x_1} = 20\] (tmđk); \[{x_2} =  - \frac{4}{5}\] (loại)

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là \[20\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].

Cho phương trình \[{x^2} - 2x{\rm{  + }}\,m - {\rm{ }}1 = 0\] (\[m\]là tham số).

Ta có:

\(\Delta  = {\left( { - 2} \right)^2} - 4\,.\;1\,.\left( {m - 1} \right)\)

\( = 8 - 4m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\,;\;{x_2}\) thì \(\Delta  > 0\)

Hay \(8 - 4m > 0\)

\(m < 2\) \(\left( * \right)\)

Với \(m < 2\)phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\,;\;{x_2}\)

Theo định lý Vi-et, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}.{x_2} = m - 1}\end{array}} \right.\)

Ta có: \[x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 12\]

\((x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2) - 3{x_1}{x_2} = 12\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 12\)

\(4 - 3\left( {m - 1} \right) = 12\)

\[m =  - \frac{5}{3}\] (thỏa mãn \(\left( * \right)\))

Vậy \(m =  - \frac{5}{3}\) thỏa mãn ycbt.

a) Tính diện tích nhôm để làm một vỏ lon nước.

Bán kính đáy của vỏ lon hình trụ là: \(7:2 = 3,5\) (cm)

Diện tích nhôm để làm vỏ lon nước là:

\({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi  \cdot 3,5 \cdot 7,8 + 2\pi  \cdot {3,5^2} = 79,1\pi {\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

b) Vỏ lon mẫu mới hình trụ có chiều cao 12,5 cm và bán kính đáy 2,8 cm nên diện tích nhôm để làm vỏ lon nước là:

\({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi  \cdot 2,8 \cdot 12,5 + 2\pi  \cdot {2,8^2} = 85,68\pi {\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Vì \(85,68\pi  > 79,1\pi \) nên mẫu mới sử dụng nguyên liệu nhiều hơn.

a) Có \(CD \bot AB\) tại \(I\) nên \(\widehat {KIB} = {90^0}\)

\(\Delta KIB\) vuông tại \(I\) nên ba điểm \[K,B,I\]thuộc đường tròn đường kính \[KB\](1)

Xét \[(O)\] có \(\widehat {AEB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \) \(\widehat {KEB} = {90^0}\)

\(\Delta KEB\) vuông tại \(E\) nên ba điểm \[K,E,B\]thuộc đường tròn đường kính \[KB\] (2)

Từ (1) (2) ta suy ra 4 điểm \[K,{\rm{ }}E,{\rm{ }}B,{\rm{ }}I\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[KB\]

b) Gọi \[P\] là giao điểm của hai tia \[BE\] và \[DC\], \(Q\) là giao điểm của \[AP\] và \[BK\]. Chứng minh \(AP \bot BK\) tại \(Q\) và \(PQ.PA = PE.PB\).

+) \(\Delta ABP\) có 2 đường cao \[PI;AE\]cắt nhau tại \(K \Rightarrow \)\(K\)là trực tâm của tam giác \(\Delta ABP\)

\( \Rightarrow \)\(AP \bot BK\)tại \(Q\) .

+) Có \(\widehat {PQB} = {90^0}\) \( \Rightarrow \)\(Q \in (O)\)

Xét \(\Delta PEA\) và \(\Delta PQB\) có

\(\widehat {QPB} = \widehat {EPA}\)

\(\widehat {PEA} = \widehat {PQB} = {90^0}\) (cmt)

Suy ra, \(\Delta PEA\~\Delta PQB(g - g)\)\( \Rightarrow \frac{{PE}}{{PQ}} = \frac{{PA}}{{PB}}{\rm{ hay }}PA.PQ = PE.PB{\rm{ (dpcm)}}\)

c) Chứng minh: \[JE\]là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)

Xét \(\Delta PEK\) vuông tại \(E\) có \[EJ\]là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[PK\]nên \(JK = JE = JP\)

Suy ra \(\Delta PJE\) cân tại \(J\)nên \(\widehat {JPE} = \widehat {JEP}\)

\(\Delta OEB\) cân tại \(O\) (\(OE = OB = R\)) nên \(\widehat {OBE} = \widehat {OEB}\)

Xét \(\Delta PIB\) vuông tại \(I\) có \(\widehat {IBP} + \widehat {IPB} = {90^0}\)

Hay \(\widehat {JPE} + \widehat {OBE} = {90^0}\) suy ra \(\widehat {JEO} = {90^0}\)

Vậy \[JE\] là tiếp tuyến của \((O)\)

d) Chứng minh: \(KM//IF\)

Gọi \(H\) là trực tâm \(\Delta PQE\)\( \Rightarrow \)\(QH//KE\)

Chứng minh tứ giác \[QHEK\]là hình bình hành (vì \(QH//KE\); \(QK//HE\))

Suy ra     \[K,M,H\]thẳng hàng

Chứng minh \(\Delta PIA\~\Delta PFE(g - g)\) nên \(\frac{{PI}}{{PF}} = \frac{{PA}}{{PE}}\)

Chứng minh \(\Delta PHE\~\Delta PKA(g - g)\) nên \(\frac{{PK}}{{PH}} = \frac{{PA}}{{PE}}\)

Suy ra \(\frac{{PH}}{{PF}} = \frac{{PK}}{{PI}}\)

Áp định lí Thales đảo trong \(\Delta PIF\) suy ra \(KH//IF\) hay \(KM//IF\) (đpcm)

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là \(x\) (máy). Điều kiện: \(x > 0\).    

Trong một giờ, số quả bóng pickleball sản xuất được là \(40x\) (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất \(10\,000\) quả bóng là \(\frac{{10\,000}}{{40x}} = \frac{{250}}{x}\) (giờ)

Mỗi giờ phải trả \(160\) nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là \(100\) nghìn đồng nên chi phí sản xuất là \(100\,000x + \frac{{250}}{x}.160000 = 100\,000x + \frac{{40000000}}{x}\) (đồng)

+ Chứng minh BĐT Cauchy: Cho hai số \(a,b \ge 0\), ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\\a - 2\sqrt {ab}  + b \ge 0\\a + b \ge 2\sqrt {ab} \end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\)

+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(100\,000x\) và \(\frac{{40000000}}{x}\), ta được:

\(\begin{array}{l}100\,000x + \frac{{40000000}}{x} \ge 2\sqrt {100\,000x.\frac{{40000000}}{x}} \\100\,000x + \frac{{40000000}}{x} \ge 4000\,000\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(100\,000x = \frac{{40000000}}{x}\) nên \({x^2} = \frac{{40000000}}{{100\,000}}\) suy ra \({x^2} = 400\)

Suy ra \(x = 20\) (TM)

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là \(20\) máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.