Đề thi thử vào 10 môn Toán năm 2026 Trường THCS Yên Hòa (Hà Nội) lần 3 có đáp án
9 câu hỏi
Một siêu thị thống kê hóa đơn mua hàng (đơn vị: nghìn đồng) của \(150\) khách hàng đầu tiên trong ngày. Số liệu được ghi lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm sau:
Tính tần số tương đối của nhóm có tần số lớn nhất (làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm \[\left[ {600\,;\,750} \right)\] với tần số \[40\].
Tần số tương đối của nhóm có tần số lớn nhất là \[\frac{{40.100}}{{150}}\% = 26,7\% \].
Trong túi có \[6\] quả bóng bàn kích thước và chất liệu như nhau gồm \[2\] quả màu đỏ, \[2\] quả màu trắng, \[2\] quả màu xanh. Không nhìn vào túi mà lấy ra \[2\] quả bóng. Tính xác suất của biến cố A “lấy được ít nhất một quả bóng màu đỏ”.
Kí hiệu các quả bóng đỏ trắng xanh là .
Không gian mẫu:
Có \(9\) kết quả thuận lợi cho biến cố \[A\] là:
\(P\left( A \right) = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}\).
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}\); \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)
(a) Tính giá trị biểu thức \[A\] khi \(x = 9\).
(b) Rút gọn biếu thức \(P = B - A\).
(c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = \frac{2}{P} + \sqrt x \).
a) Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức \[A\], ta có: \(A = \frac{{\sqrt 9 + 1}}{{9 + \sqrt 9 + 1}} = \frac{4}{{13}}\).
Vậy \(A = \frac{4}{{13}}\)khi \(x = 9\).
b) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}}\)
\( = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)\( = \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}\).
Do đó \(P = B - A = \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{{ - \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\).
c) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có:
\(Q = \frac{2}{P} + \sqrt x = \frac{{2\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{ - \sqrt x }} + \sqrt x = \frac{{ - 2{\rm{x}} - 2\sqrt x - 2 + x}}{{\sqrt x }}\)
\( = \frac{{ - x - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = - \left( {\sqrt x + 2 + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\)
Với \(a \ge 0;b \ge 0\) ta có: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\)
\(a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0\)
\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).
Với \(x > 0;x \ne 1\) thì \(\sqrt x > 0\)và \(\frac{2}{{\sqrt x }} > 0\)
Ta có:
\(\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{2}{{\sqrt x }}} \)
\(\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt 2 \)
\(\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} + 2 \ge 2\sqrt 2 + 2\)
\( - \left( {\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} + 2} \right) \le - 2\sqrt 2 - 2\)
\(Q \le - 2\sqrt 2 - 2\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(Q = - 2\sqrt 2 - 2\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}\) suy ra \(x = 2\) (TMĐK).
Tổng chi phí của một doanh nghiệp sản xuất áo sơ mi là \[410\] triệu đồng/ tháng. Giá bán của mỗi chiếc áo sơ mi là \[350\] nghìn đồng. Hỏi trung bình mỗi tháng doanh nghiệp phải bán được ít nhất bao nhiêu chiếc áo sơ mi để thu được lợi nhuận ít nhất là \[1,38\] tỉ đồng sau một năm?
Giả sử trung bình mỗi tháng doanh nghiệp bán được \[x\] chiếc áo sơ mi \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\]
Lợi nhuận của doanh nghiệp sau \[12\] tháng là:
\[12\left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right)\] (đồng)
Do đó để doanh nghiệp thu được lợi nhuận ý nhât là \[1,38\]tỉ đồng thì\[12\left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right) \ge 1\,\,380\,\,000\,\,000\]
\[350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000 \ge 115\,\,000\,\,000\]
Vậy trung bình mỗi tháng doanh nghiệp phải bán được ít nhất \[1\,500\] chiếc áo sơ mi để doanh nghiệp thu được lợi nhuận ít nhất là \[1,38\]tỉ đồng sau \[1\] năm.
Một cơ sở sản xuất lập kế hoạch làm \[600\] sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất mỗi ngày tăng \[10\] sản phẩm. Vì thế không những hoàn thành sớm kế hoạch \[1\] ngày, mà còn vượt mức \[100\] sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phải làm bao nhiêu sản phẩm. (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).
Gọi \[x\] là số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch (sản phẩm, \[x \in \mathbb{N}*\])
Số sản phẩm làm trong một ngày theo thực tế là: \[x + 10\] (sản phẩm)
Thời gian làm xong sản phẩm theo kế hoạch là: \[\frac{{600}}{x}\] (ngày)
Số sản phẩm làm được trong thực tế là: \[600 + 100 = 700\] (sản phẩm)
Thời gian làm xong sản phẩm theo thực tế là: \[\frac{{700}}{{x + 10}}\] (ngày)
Do thực tế hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:
\[\frac{{600}}{x} - \frac{{700}}{{x + 10}} = 1\]
\[\frac{{600\left( {x + 10} \right) - 700x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\]
Suy ra \[600x + 6000 - 700x = {x^2} + 10x\]
\[{x^2} + 110x - 6000 = 0\]
Tính được \(x = - 150\,\,\left( {ktm} \right)\,\,,\,\,\,x = 40\left( {tm} \right)\)
Vậy số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là \[40\] sản phẩm.
Cho phương trình \({x^2} - 4x + 2m + 1 = 0\) (m là tham số). Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}{\rm{, }}{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + ({x_1} + {x_2}){x_2} = 4{m^2} + 3\).
Xét phương trình \({x^2} - 4x + 2m + 1 = 0\) có:
\(\Delta ' = {( - 2)^2} - 1(2m + 1) = 3 - 2m\).
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}{\rm{, }}{x_2}\)thì:
\(\Delta ' > 0\) hay \(3 - 2m > 0\) suy ra \(m < \frac{3}{2}\).
Khi đó, áp dụng hệ thức Viète có: \({x_1} + {x_2} = 4\) và \({x_1}.{x_2} = 2m + 1\).
Ta có: \(x_1^2 + ({x_1} + {x_2}){x_2} = 4{m^2} + 3\)
\(x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = 4{m^2} + 3\)
\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} = 4{m^2} + 3\)
\({\left( 4 \right)^2} - \left( {2m + 1} \right) = 4{m^2} + 3\)
\[4{m^2} + 2m - 12 = 0\]
\[2{m^2} + m - 6 = 0\]
\(\left( {2m - 3} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\)
\[m = \frac{3}{2}\] hoặc \[m = - 2\].
Kết hợp điều kiện ta được \(m = - 2\) là giá trị cần tìm.
Một xe bồn chở nước sạch cho một khu chung cư có 200 hộ dân. Bồn xe có kích thước như hình vẽ, mỗi đầu của bồn xe là 1 nửa hình cầu có đường kính là \(1,8\,\,{\rm{m}}\), phần hình trụ ở giữa có chiều cao là \(3,62\,\,{\rm{m}}\). Xe chở đầy bồn nước và lượng nước chia đều cho từng hộ dân. Tính xem mỗi hộ dân được nhận bao nhiêu lít nước sạch. (lấy \(\pi \approx 3,14\) Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Bán kính hình cầu là : \(r = 1,8:2 = 0,9\left( m \right)\)
Thể tích hình trụ là : \({V_1} = \pi .0,{9^2}.3,62 = 2,9322\pi \left( {{m^3}} \right)\)
Thể tích hai nửa hình cầu là: \({V_2} = \frac{4}{3}\pi .0,{9^3} = 0,972\pi \left( {{m^3}} \right)\)
Thể tích của xe chở bồn nước là: \(V = {V_1} + {V_2} = 2,9322\pi + 0,972\pi = 3,9042\pi \left( {{m^3}} \right)\)
Số lít nước mỗi hộ dân sử dụng là: \(3,9042\pi :200 \approx 0,061\left( {{m^3}} \right) = 61\)lít
Vậy số nước mỗi hộ dân sử dụng là \(61\)lít.
Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \((O)\). Vẽ các đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC\). Gọi điểm \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
(a) Chứng minh bốn điểm \(A,F,H,E\) cùng thuộc một đường tròn.
(b) Kẻ đường kính \(AM\) của đường tròn \((O)\). Chứng minh \(AD \cdot AM = AB \cdot AC\).
(c) Gọi điểm \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(AH\) và đường thẳng \(EF\). Gọi điểm \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(AM\) và đường thẳng \(BC\). Gọi điểm \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Chứng minh: các điểm \(H,K,M\) thẳng hàng và \(PI\) song song với \(HK\).
a) • \(\widehat {AFH} = 90^\circ \) (vì CF là đường cao \(\Delta ABC\))
Xét \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\) nên \(\Delta AFH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\).
Suy ra \(A;H;F\)cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH\). (1)
• \(\widehat {AEH} = 90^\circ \) (vì BE là đường cao \(\Delta ABC\))
Xét \(\Delta AEH\) vuông tại \(E\) nên \(\Delta AEH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\).
Suy ra \(A;H;E\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(A,F,H,E\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH\).
b) Ta có: \(\widehat {ACM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (vì \[AD\] là đường cao \(\Delta ABC\)) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ \).
\(\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O))
Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta ACM\)có: \(\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ \); \(\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\)
Do đó
\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow AD.AM = AB.AC\)
c) • Xét \(\Delta ABC\)có \(H\) là trực tâm nên \(BH \bot AC;CH \bot AB\) và \(BM \bot AB;CM \bot AC\)
Do \(\widehat {ABM} = \widehat {ACM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(CM\,{\rm{//}}\,BH\,;\,\,BM\,{\rm{//}}\,CH\).
Do đó tứ giác \(BHCM\) là hình bình hành.
Suy ra hai đường chéo \(HM\) và \(BC\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà K là trung điểm của \(BC\)nên K là trung điểm của \(HM\)\( \Rightarrow H,M,K\) thẳng hàng.
• Ta có \(\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (kề bù)
Chứng minh được tứ giác \(BFEC\) nội tiếp nên \(\widehat {FBC} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (tính chất)
Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ABI}\)
Chứng minh: suy ra \(\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AE}}{{AB}}\)
Chứng minh: suy ra \(\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AB}}\)
\( \Rightarrow \frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}} \Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AM}} \Rightarrow PI\,{\rm{//}}\,HM\) (định lí Thalès đảo)
Vậy \(PI\,\,{\rm{//}}\,HM\)(đpcm)
Một cửa hàng bán ba loại trái cây: táo, cam, quýt. Mỗi ngày, số lượng hộp quả táo, hộp quả cam, hộp quả quýt nhập về lần lượt được kí hiệu là \(x,y,z\) (\(x,y,z\) là các số tự nhiên). Cửa hàng có các thông tin và điều kiện như sau:
1) Chi phí nhập mỗi hộp quả táo là \(100\,\,000\) đồng, mỗi hộp quả cam là \(200\,\,000\) nghìn đồng và môi xhộp quả quýt là \(100\,\,000\) nghìn đồng.
2) Tổng chi phí nhập không được vượt quá \(1\,\,000\,\,000\) đồng,
3) Cửa hàng phải nhập đủ ba loại trái cây.
4) Cửa hàng cần nhập ít nhất \(3\) hộp quả táo và cam cộng lại.
Lợi nhuận (lãi) thu về từ việc bán mỗi loại trái cây là \(200\,\,000\) đồng cho mỗi hộp quả táo, \(300\,\,000\) đồng cho mỗi hộp quả cam và \(100\,\,000\) đồng cho mỗi hộp quả quýt.
Giả định rằng tất cả số trái cây nhập về đều được bán hết trong ngày, hãy chỉ ra phương án nhập hàng giúp người bán hàng có lợi nhuận cao nhất.
Gọi \(x,y,z\) lần lượt là số hộp táo, cam , quýt mà cửa hàng nhập về (\(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vì phải nhập đủ cả ba loại nên \(x,y,z \ge 1\).
Số tiền nhập táo, cam quýt không được vượt quá \(1\,\,000\,\,000\) đồng nên ta có
\(100\,\,000\,x + 200\,\,000\,y + 100\,\,000\,z \le 1\,\,000\,\,000\)
\(x + 2y + z \le 10\)\(\left( 1 \right)\)
Cửa hàng cần nhập ít nhất \(3\) hộp quả táo và cam cộng lại nên \(x + y \ge 3\)\(\left( 2 \right)\)
Lợi nhuận thu được là : \(200\,\,000\,x + 300\,\,000\,y + 100\,\,000\,z\)
Để lợi nhuận cao nhất ta cần ưu tiên nhập táo rồi đến cam, cuối cùng là quýt.
Giả sử, quýt và cam nhập số hộp ít nhất nên \(y = z = 1\)
Thay \(y = z = 1\) vào \(\left( 1 \right)\) thì \(x + 2.1 + 1 \le 10\) suy ra \(x \le 7\)
Chọn \(x = 7\), ta có: \(7 + 1 = 8 > 3\) (thỏa mãn \(\left( 2 \right)\))
Vậy số thùng táo cần nhập là \(7\), số thùng cam là \(1\) và số thùng quýt là \(1\).
Khi đó, lợi nhuận thu được tối đa là : \(200\,\,000\,.7 + 300\,\,000\,.1 + 100\,\,000\,.1 = 1\,\,800\,\,000\) (đồng).
