Đề thi thử vào 10 môn Toán năm 2026 Trường THCS Yên Hòa (Hà Nội) lần 3 có đáp án

Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm \[\left[ {600\,;\,750} \right)\] với tần số \[40\].

Tần số tương đối của nhóm có tần số lớn nhất là \[\frac{{40.100}}{{150}}\% = 26,7\% \].

Kí hiệu các quả bóng đỏ trắng xanh là .

Không gian mẫu: $\Omega =\left\{{Đ}_1{Đ}_2;X_1{X}_2;T_1{T}_2;{Đ}_1{X}_1;{Đ}_1{X}_2;{Đ}_2{X}_1;{Đ}_2{X}_2;{Đ}_1{T}_1;{Đ}_1{T}_2;{Đ}_2{T}_1;{Đ}_2{T}_2;X_1{T}_1;X_1{T}_2;X_2{T}_1;X_2{T}_2\right\}$

Có \(9\) kết quả thuận lợi cho biến cố \[A\] là:

${Đ}_1{Đ}_2;{Đ}_1{X}_1;{Đ}_1{X}_2;{Đ}_2{X}_1;{Đ}_2{X}_2;{Đ}_1{T}_1;{Đ}_1{T}_2;{Đ}_2{T}_1;{Đ}_2{T}_2$

\(P\left( A \right) = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}\).

a) Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức \[A\], ta có: \(A = \frac{{\sqrt 9 + 1}}{{9 + \sqrt 9 + 1}} = \frac{4}{{13}}\).

Vậy \(A = \frac{4}{{13}}\)khi \(x = 9\).

b) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)\( = \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}\).

Do đó \(P = B - A = \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{{ - \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\).

c) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có:

\(Q = \frac{2}{P} + \sqrt x = \frac{{2\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{ - \sqrt x }} + \sqrt x = \frac{{ - 2{\rm{x}} - 2\sqrt x - 2 + x}}{{\sqrt x }}\)

\( = \frac{{ - x - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = - \left( {\sqrt x + 2 + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\)

Với \(a \ge 0;b \ge 0\) ta có: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\)

\(a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0\)

\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).

Với \(x > 0;x \ne 1\) thì \(\sqrt x > 0\)và \(\frac{2}{{\sqrt x }} > 0\)

Ta có:

\(\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{2}{{\sqrt x }}} \)

\(\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt 2 \)

\(\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} + 2 \ge 2\sqrt 2 + 2\)

\( - \left( {\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} + 2} \right) \le - 2\sqrt 2 - 2\)

\(Q \le - 2\sqrt 2 - 2\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(Q = - 2\sqrt 2 - 2\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}\) suy ra \(x = 2\) (TMĐK).

Giả sử trung bình mỗi tháng doanh nghiệp bán được \[x\] chiếc áo sơ mi \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\]

Lợi nhuận của doanh nghiệp sau \[12\] tháng là:

\[12\left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right)\] (đồng)

Do đó để doanh nghiệp thu được lợi nhuận ý nhât là \[1,38\]tỉ đồng thì\[12\left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right) \ge 1\,\,380\,\,000\,\,000\]

\[350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000 \ge 115\,\,000\,\,000\]

Vậy trung bình mỗi tháng doanh nghiệp phải bán được ít nhất \[1\,500\] chiếc áo sơ mi để doanh nghiệp thu được lợi nhuận ít nhất là \[1,38\]tỉ đồng sau \[1\] năm.

Gọi \[x\] là số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch (sản phẩm, \[x \in \mathbb{N}*\])

Số sản phẩm làm trong một ngày theo thực tế là: \[x + 10\] (sản phẩm)

Thời gian làm xong sản phẩm theo kế hoạch là: \[\frac{{600}}{x}\] (ngày)

Số sản phẩm làm được trong thực tế là: \[600 + 100 = 700\] (sản phẩm)

Thời gian làm xong sản phẩm theo thực tế là: \[\frac{{700}}{{x + 10}}\] (ngày)

Do thực tế hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:

\[\frac{{600}}{x} - \frac{{700}}{{x + 10}} = 1\]

\[\frac{{600\left( {x + 10} \right) - 700x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\]

Suy ra \[600x + 6000 - 700x = {x^2} + 10x\]

\[{x^2} + 110x - 6000 = 0\]

Tính được \(x = - 150\,\,\left( {ktm} \right)\,\,,\,\,\,x = 40\left( {tm} \right)\)

Vậy số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là \[40\] sản phẩm.

Xét phương trình \({x^2} - 4x + 2m + 1 = 0\) có:

\(\Delta ' = {( - 2)^2} - 1(2m + 1) = 3 - 2m\).

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}{\rm{, }}{x_2}\)thì:

\(\Delta ' > 0\) hay \(3 - 2m > 0\) suy ra \(m < \frac{3}{2}\).

Khi đó, áp dụng hệ thức Viète có: \({x_1} + {x_2} = 4\) và \({x_1}.{x_2} = 2m + 1\).

Ta có: \(x_1^2 + ({x_1} + {x_2}){x_2} = 4{m^2} + 3\)

\(x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = 4{m^2} + 3\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} = 4{m^2} + 3\)

\({\left( 4 \right)^2} - \left( {2m + 1} \right) = 4{m^2} + 3\)

\[4{m^2} + 2m - 12 = 0\]

\[2{m^2} + m - 6 = 0\]

\(\left( {2m - 3} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\)

\[m = \frac{3}{2}\] hoặc \[m = - 2\].

Kết hợp điều kiện ta được \(m = - 2\) là giá trị cần tìm.

Bán kính hình cầu là : \(r = 1,8:2 = 0,9\left( m \right)\)

Thể tích hình trụ là : \({V_1} = \pi .0,{9^2}.3,62 = 2,9322\pi \left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích hai nửa hình cầu là: \({V_2} = \frac{4}{3}\pi .0,{9^3} = 0,972\pi \left( {{m^3}} \right)\)

Thể tích của xe chở bồn nước là: \(V = {V_1} + {V_2} = 2,9322\pi + 0,972\pi = 3,9042\pi \left( {{m^3}} \right)\)

Số lít nước mỗi hộ dân sử dụng là: \(3,9042\pi :200 \approx 0,061\left( {{m^3}} \right) = 61\)lít

Vậy số nước mỗi hộ dân sử dụng là \(61\)lít.

a) • \(\widehat {AFH} = 90^\circ \) (vì CF là đường cao \(\Delta ABC\))

Xét \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\) nên \(\Delta AFH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\).

Suy ra \(A;H;F\)cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH\). (1)

• \(\widehat {AEH} = 90^\circ \) (vì BE là đường cao \(\Delta ABC\))

Xét \(\Delta AEH\) vuông tại \(E\) nên \(\Delta AEH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\).

Suy ra \(A;H;E\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(A,F,H,E\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH\).

b) Ta có: \(\widehat {ACM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (vì \[AD\] là đường cao \(\Delta ABC\)) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ \).

\(\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O))

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta ACM\)có: \(\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ \); \(\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\)

Do đó

\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow AD.AM = AB.AC\)

c) • Xét \(\Delta ABC\)có \(H\) là trực tâm nên \(BH \bot AC;CH \bot AB\) và \(BM \bot AB;CM \bot AC\)

Do \(\widehat {ABM} = \widehat {ACM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(CM\,{\rm{//}}\,BH\,;\,\,BM\,{\rm{//}}\,CH\).

Do đó tứ giác \(BHCM\) là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo \(HM\) và \(BC\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà K là trung điểm của \(BC\)nên K là trung điểm của \(HM\)\( \Rightarrow H,M,K\) thẳng hàng.

• Ta có \(\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (kề bù)

Chứng minh được tứ giác \(BFEC\) nội tiếp nên \(\widehat {FBC} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (tính chất)

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ABI}\)

Chứng minh: suy ra \(\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AE}}{{AB}}\)

Chứng minh: suy ra \(\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AB}}\)

\( \Rightarrow \frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}} \Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AM}} \Rightarrow PI\,{\rm{//}}\,HM\) (định lí Thalès đảo)

Vậy \(PI\,\,{\rm{//}}\,HM\)(đpcm)

Gọi \(x,y,z\) lần lượt là số hộp táo, cam , quýt mà cửa hàng nhập về (\(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))

Vì phải nhập đủ cả ba loại nên \(x,y,z \ge 1\).

Số tiền nhập táo, cam quýt không được vượt quá \(1\,\,000\,\,000\) đồng nên ta có

\(100\,\,000\,x + 200\,\,000\,y + 100\,\,000\,z \le 1\,\,000\,\,000\)

\(x + 2y + z \le 10\)\(\left( 1 \right)\)

Cửa hàng cần nhập ít nhất \(3\) hộp quả táo và cam cộng lại nên \(x + y \ge 3\)\(\left( 2 \right)\)

Lợi nhuận thu được là : \(200\,\,000\,x + 300\,\,000\,y + 100\,\,000\,z\)

Để lợi nhuận cao nhất ta cần ưu tiên nhập táo rồi đến cam, cuối cùng là quýt.

Giả sử, quýt và cam nhập số hộp ít nhất nên \(y = z = 1\)

Thay \(y = z = 1\) vào \(\left( 1 \right)\) thì \(x + 2.1 + 1 \le 10\) suy ra \(x \le 7\)

Chọn \(x = 7\), ta có: \(7 + 1 = 8 > 3\) (thỏa mãn \(\left( 2 \right)\))

Vậy số thùng táo cần nhập là \(7\), số thùng cam là \(1\) và số thùng quýt là \(1\).

Khi đó, lợi nhuận thu được tối đa là : \(200\,\,000\,.7 + 300\,\,000\,.1 + 100\,\,000\,.1 = 1\,\,800\,\,000\) (đồng).